精品解析：甘肃省天水市秦安县第一中学2026-2027学年高三第一次检测考试数学试题

秦安一中2026～2027学年高三第一次检测考试 数学 命题人：张小慧 杨宝亚 核对人：王树晴 审题人：王利民 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 以下关于函数的极值的说法正确的是（ ） A. 极大值为，极小值为11 B. 极大值为11，极小值为 C. 极大值为，极小值为 D. 既无极大值，也无极小值 7. 已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 9 8. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）（附：） A. 22% B. 33% C. 44% D. 55% 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 10. 给出下列说法，正确的有（ ） A. 函数单调递增区间是 B. 已知的定义域为，则的取值范围是 C. 若函数在定义域上为奇函数，则 D. 若函数在定义域上为奇函数，且为增函数 11. 已知函数（ ） A. 若在上单调递增，则实数的取值范围是 B. 若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 C. 当，在区间上不单调，则实数的取值范围是 D. 若的单调递减区间为，则． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若函数，且的图象过定点，则点的坐标是____________． 13. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________． 14. 已知函数的定义域为，且为奇函数，若函数的图象与的图象的公共点为，则________． 四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17）满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知关于的不等式的解集为． （1）求，的值； （2）解关于x的不等式． 16. （1）化简下式 （2）已知，，试用表示； （3）已知，求的值． 17. 已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增 （1）求函数的解析式; （2）设函数，求函数在区间上的最小值 18. 已知函数． （1）判断并证明的单调性； （2）若，，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秦安一中2026～2027学年高三第一次检测考试 数学 命题人：张小慧 杨宝亚 核对人：王树晴 审题人：王利民 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照并集和补集计算即可. 【详解】由题意得，，所以． 故选：B. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在定理，分析计算，即可得答案. 【详解】因为函数和均为单调递增函数， 所以函数为单调递增函数， 又，， 所以， 所以由零点存在定理可知函数的零点所在的区间为． 故选：B 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】，， ，故， ， 故， 故选：A 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性、区间函数值符号及对应幂、指数复合函数的增长趋势，应用排除法确定答案即可. 【详解】由且定义域，即是偶函数，排除D； 当时，，即，此时，排除C； 当趋向时，、均趋向，但随变大，的增速比快， 所以趋向于，排除B. 故选：A. 6. 以下关于函数的极值的说法正确的是（ ） A. 极大值为，极小值为11 B. 极大值为11，极小值为 C. 极大值为，极小值为 D. 既无极大值，也无极小值 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值. 【详解】函数定义域为, 所以， 令，解得， 令，解得或， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，， 所以在处取得极小值，在处取得极大值， 即，. 故选：C 7. 已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距离公式计算最小距离即可. 【详解】设曲线在点处的切线与直线平行， 由，得，则或， 则动点到直线的距离的最小值为. 所以点到直线的距离的最小值为， 故选：B. 8. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）（附：） A. 22% B. 33% C. 44% D. 55% 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中所给公式，利用代入法，结合对数的运算公式和换底公式进行即可. 【详解】由题意可知：大约增加了 ， 故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，，，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，因为， 所以的最大值为，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：ABD. 10. 给出下列说法，正确的有（ ） A. 函数单调递增区间是 B. 已知的定义域为，则的取值范围是 C. 若函数在定义域上为奇函数，则 D. 若函数在定义域上为奇函数，且为增函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算对数函数的定义域可得A；借助对数函数的定义域可将问题转化为，可得，计算即可得B；运用奇函数的定义计算即可得C；运用奇函数的定义及复合函数单调性判断即可求解D. 【详解】A选项，由，得，故A错误； B选项，定义域为，则恒成立， 则，∴，故B正确； C选项，定义域为，且为奇函数， ∴，∴， 当时，，满足题意，故C正确； D选项，∵， ∴的定义域为， 且， ∴为奇函数， 又时，，均为增函数， ∴也是增函数，而为增函数， ∴为增函数，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数（ ） A. 若在上单调递增，则实数的取值范围是 B. 若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 C. 当，在区间上不单调，则实数的取值范围是 D. 若的单调递减区间为，则． 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用导数工具分和两种情况研究函数的单调性，再逐一根据各选项条件和·单调性定义列得方程或不等式即可求解判断 . 【详解】由题可得， 所以当时恒成立，此时函数在定义域上单调递增； 当时，满足， 则令，得（舍去）， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 对于A，由上可得当时符合条件，当时，则， 所以若在上单调递增，则实数的取值范围是，故A正确； 对于B，由上可得， 若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是，故B错误； 对于C，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在区间上不单调，则， 所以实数的取值范围是，故C错误； 对于D，若的单调递减区间为，则，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若函数，且的图象过定点，则点的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的性质和图象进行求解即可. 【详解】令，则， 又，所以的图象过定点． 故答案为：. 13. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】函数在区间上单调递减， 由函数图象抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以有，解得，即实数的取值范围是. 14. 已知函数的定义域为，且为奇函数，若函数的图象与的图象的公共点为，则________． 【答案】2026 【解析】 【分析】分析函数和的图象均关于某个点中心对称，由此得到交点也关于该点中心对称，由中心对称的性质得到答案. 【详解】由题意可知函数关于点对称，且函数也关于点对称. 所以函数的图象与的图象的公共点也关于点对称， 所以. 四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17）满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知关于的不等式的解集为． （1）求，的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【小问1详解】 由题意知，不等式对应的方程的两个实数根为2和3， 由根与系数的关系，得， 解得，. 【小问2详解】 由，知不等式可化为， 即，解得， 所以所求不等式的解集为． 16. （1）化简下式 （2）已知，，试用表示； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【详解】（1） ． （2） ； （3）． ，． 所以． 17. 已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增 （1）求函数的解析式; （2）设函数，求函数在区间上的最小值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据幂函数的定义和性质列关系式求即可；(2) 分别在，，条件下，结合二次函数的单调性求函数在区间上的最小值即可. 【小问1详解】 因为幂函数在区间上单调递增， 所以，故或1， 当时，不满足偶函数，故舍去； 当时，满足偶函数， 故； 【小问2详解】 因为，由(1)可得，函数的图象的对称轴为， 当即时， 函数在区间上单调递增， 所以， 当即时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 当即时，函数在区间上单调递减，所以， 综上所述： 18. 已知函数． （1）判断并证明的单调性； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1）在单调递减，证明如下： 由， 定义域为，求导得， 当时，，因此在单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）通过导数判断函数的单调性即可； （2）根据单调性以及定义域将转化为，参变分离后转化为最值问题求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知在单调递减，故， 等价于，所以恒成立； 设，则，当时，， 所以在单调递增，则， 设，则在单调递减，所以； 因此，的取值范围为． 19. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义及导数的运算求解即可. （2）通过参变分离，得到存在，使得成立；构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. （3）通过参变分离，构造函数，，，根据导数与单调性及最值的关系得到；令，结合，构造函数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 当时，，于是. ，于是， 所以函数在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 存在，使得成立，即存在，使得， 也即存在，使得成立. 令，则. 令，则， 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以. 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，得， 而. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 于是 令，则. 当时，，单调递增，而， 故，则. 令，则，于是，，且. 故. 令，则. 令，则，故单调递增， 于是，故，在单调递增. 又，于是. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $