第1章 勾股定理 单元测试卷 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学（上册）专项测试卷 勾　股　定　理 满分：100 分　　考试时间：90 分钟 题　号 一 二 三 附加题 总　分 得　分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在 Rt△ABC 中，两直角边长分别为 5 和 12，则斜边长为（　　） A. 7　　B. 13　　C. 17　　D. 60 2. 下列四组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A. 1，2，3　　B. 2，3，4　　C. 5，12，13　　D. 4，5，6 3. 在平面直角坐标系中，点 P(5，-12) 到原点的距离是（　　） A. 17　　B. 13　　C. 7　　D. 4. 在边长为 1 的正方形网格中，若格点三角形三边长的平方分别为 13、52、65，则该三角形是（　　） A. 锐角三角形　　B. 直角三角形　　C. 钝角三角形　　D. 等腰直角三角形 5. 等腰三角形的腰长为 10，底边长为 12，则底边上的高为（　　） A. 6　　B. 8　　C. 10　　D. 12 6. 台风过后，一根旗杆在离地 3 m 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 4 m 处，则旗杆断裂前的高度为（　　） A. 5 m　　B. 7 m　　C. 8 m　　D. 9 m 7. 若直角三角形的两条直角边长分别为 6 和 8，则斜边上的高为（　　） A. 4.8　　B. 5　　C. 10　　D. 2.4 8. 一个长、宽、高分别为 4 cm、3 cm、12 cm 的长方体盒子，盒内可放直木棒的最大长度为（　　） A. 12 cm　　B. 13 cm　　C. 14 cm　　D. 15 cm 9. 下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A. 对顶角相等　　B. 若 a=b，则 a²=b²　　C. 两直线平行，同位角相等　　D. 全等三角形的周长相等 10. 由四个全等直角三角形拼成的「弦图」中，大正方形面积为 25，小正方形面积为 1，直角三角形两直角边长为 a、b，则 (a+b)² 的值为（　　） A. 25　　B. 36　　C. 49　　D. 64 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a=9，b=12，则 c=________。 12. 若 |a-6|+√(b-8)+(c-10)²=0，则以 a、b、c 为三边长的三角形是________三角形。 13. 我国古代数学名著《九章算术》中有「引葭赴岸」问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。则水深为________尺（1 丈=10 尺）。 14. 一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边的长为________。 15. 在矩形纸片 ABCD 中，AB=8 cm，BC=10 cm。将纸片沿 AE 折叠，使顶点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，则 EC=________cm。 16. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点 C 到斜边 AB 的距离为________。 三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分。解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 17.（8 分）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，根据下列条件求解： （1）（2 分）若 a=5，b=12，求 c； （2）（3 分）若 c=25，a=7，求 b 及斜边上的高 h； （3）（3 分）若 a:b=3:4，c=20，求△ABC 的面积。 18.（10 分）在边长为 1 的正方形网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上，小聪选取的格点使 AB²=13，BC²=52，AC²=65。请完成下列解答： （1）（3 分）直接写出 AB、BC、AC 的长； （2）（4 分）判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）（3 分）求△ABC 的面积及点 B 到 AC 的距离。 19. （12 分）如图，某港口 P 位于东西方向海岸线上。「远航号」「海天号」两船同时离开港口 P，「远航号」沿北偏东 53°方向以 16 n mile/h 的速度航行，「海天号」沿北偏西方向以 12 n mile/h 的速度航行。它们离开港口 1.5 小时后分别到达点 Q、R 处，此时两船相距 30 n mile。 （1）（4 分）求 PQ、PR 的长度； （2）（4 分）判断△PQR 的形状，并求「海天号」航行方向（即求∠RPN 的度数，已知 PQ 与正北方向夹角为 53°）； （3）（4 分）若在「远航号」航线 PQ 上距 Q 6 n mile 处有一安全检查点 S（S 在 PQ 线段上），求「海天号」从 R 沿直线驶往 S 的距离 RS，并判断 RS 是否大于 24 n mile（大于则视为航行安全）。 20.（10 分）一架长 10 m 的梯子 AB 斜靠在竖直墙上，梯子底端 B 到墙脚 O 的水平距离 OB=6 m。 （1）（4 分）求梯子顶端 A 距离地面的高度 OA； （2）（6 分）若梯子顶端 A 沿墙下滑 2 m 到达 A′ 处，小敏认为「梯子底端 B 将水平向外滑动 2 m」。你同意她的看法吗？请通过计算说明理由，并求出实际滑动的距离。 21.（12 分）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 O 出发。甲船沿正北方向以每小时 12 海里的速度航行，乙船以每小时 16 海里的速度沿某一方向航行。2 小时后，甲船到达 A 处，乙船到达 B 处，此时测得 A、B 两处相距 40 海里。 （1）（4分）求 OA、OB 的长； （2）（4 分）判断甲、乙两船的航线 OA 与 OB 是否互相垂直，并说明理由； （3）（ 分）求 △AOB 的面积。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B B C A B C C 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11. 15 12. 直角 13. 12（设水深 x 尺，由 x²+5²=(x+1)² 解得 x=12） 14. 5 或 √7（当 4 为直角边时 c=5；当 4 为斜边时 c=√(16-9)=√7） 15. 3（由折叠得 AF=AD=10，BF=√(10²-8²)=6，FC=4；设 EC=x，则 EF=DE=8-x，在 Rt△EFC 中 x²+4²=(8-x)²，得 x=3） 16. 36/5（即 7.2；由面积法 h=(9×12)/15=36/5） 三、解答题（共 52 分） 17.（共 8 分） （1）c = √(a²+b²) = √(5²+12²) = √169 = 13。（2 分） （2）b = √(c²-a²) = √(25²-7²) = √576 = 24；（1 分） 　　 由 (1/2)ab = (1/2)ch 得 h = (a·b)/c = (7×24)/25 = 168/25 = 6.72。（2 分） （3）设 a=3k，b=4k（k>0），则 c=5k。由 c=20 得 k=4，故 a=12，b=16； 　　 S△ABC = (1/2)×12×16 = 96。（3 分） 18.（共 10 分） （1）AB = √13，BC = 2√13，AC = √65。（3 分） （2）因为 AB²+BC² = 13+52 = 65 = AC²，由勾股定理逆定理得∠B=90°，故△ABC 是直角三角形。（4 分） （3）S△ABC = (1/2)·AB·BC = (1/2)×√13×2√13 = 13；（1 分） 　　 设点 B 到 AC 的距离为 h，由 (1/2)·AC·h = 13 得 h = 26/√65 = 2√65/5。（2 分） 19.（共 12 分） （1）PQ = 16×1.5 = 24（n mile），PR = 12×1.5 = 18（n mile）。（4 分） （2）因为 PQ²+PR² = 24²+18² = 900 = 30² = QR²，由勾股定理逆定理得∠QPR=90°； 　　 由「远航号」沿北偏东 53°航行知∠QPN=53°，故∠RPN = 90°-53° = 37°， 　　 即「海天号」沿北偏西 37°方向航行。（4 分） （3）PS = PQ-QS = 24-6 = 18，在 Rt△RPS 中，∠RPS=90°，PR=18，PS=18， 　　 故 RS = √(18²+18²) = 18√2 ≈ 25.46（n mile）；（2 分） 　　 因为 18√2 ≈ 25.46 > 24，所以沿直线 RS 航行是安全的。（2 分） 20.（共 10 分） （1）在 Rt△AOB 中，∠AOB=90°，AB=10，OB=6， 　　 OA = √(AB²-OB²) = √(100-36) = √64 = 8（m）。答：OA=8 m。（4 分） （2）不同意。（1 分）顶端下滑后 OA′ = 8-2 = 6（m），A′B′=AB=10 m。 　　 在 Rt△A′OB′ 中，OB′ = √(10²-6²) = √64 = 8（m）；（3 分） 　　 BB′ = OB′-OB = 8-6 = 2（m）。本题底端外移恰好也是 2 m，但这是 OA=8、下滑 2 m 这组 　　 特定数据下的巧合（仅当下滑距离与外移距离相等时，对应 OA=OB 的对称情形才恒成立）， 　　 普遍情形下「下滑距离≠外移距离」，故不能笼统说梯子底端外移距离等于顶端下滑距离。（2 分） 21.（共 12 分） （1）甲船 2 小时航行的路程 OA = 12 × 2 = 24（海里），乙船 2 小时航行的路程 OB = 16 × 2 = 32（海里）。（4 分） （2）在 △AOB 中，因为 OA² + OB² = 24² + 32² = 576 + 1024 = 1600，而 AB² = 40² = 1600，所以 OA² + OB² = AB²。由勾股定理的逆定理，得 ∠AOB = 90°，即甲、乙两船的航线 OA 与 OB 互相垂直。（4 分） （3）S△AOB = × OA × OB = × 24 × 32 = 384（平方海里）。答：△AOB 的面积为 384 平方海里。（4 分）【点拨】先用“速度×时间”求出 OA、OB，再比较三边的平方判定直角；三条边的长度都已知时，用逆定理比直接测量角度更方便。 1 学科网（北京）股份有限公司 $