第1章 勾股定理 单元测试卷2026～2027学年北师大版（2024）数学八年级上册

第1章 勾股定理 单元测试卷（2026~2027学年） 第1章 勾股定理 单元测试卷 北师大版（2024）八上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．17m B．18m C．25m D．26m 【答案】A 【解答】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度==12， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5＝17（米）．故选：A． （来源：2023春•郧阳区期末） 2．（3分）下列各组数是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．，， 【答案】B 【解答】解：A、 ∵22+32≠42， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B、 ∵52+122＝132， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意；C、 ∵0.32+0.42＝0.52， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意；D、 ∵()2≠()2+()2， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：B． （来源：2025秋•大庆校级期末） 3．（3分）如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形M的面积为（　　） A．240 B． C． D．24 【答案】D 【解答】解：两个大正方形的面积分别为132和108，如图， ∴AB2＝132，BC2＝108，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AC2＝AB2﹣BC2＝132﹣108＝24， ∴小正方形M的面积为24，故选：D． （来源：2025春•昌江县校级期中） 4．（3分）如图，在3×3网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则边AC的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由勾股定理得：AC==，故选：C． （来源：2025秋•鲤城区校级期末） 5．（3分）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】D 【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），故选：D． （来源：2023春•潘集区期末） 6．（3分）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 【答案】B 【解答】解：根据勾股定理得出：AB===5， ∴EF＝AB＝5， ∴阴影部分面积是25，故选：B． （来源：2024秋•余江区期末） 7．（3分）如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边向外作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形，…，按此规将律，则图3中所有正方形的面积和为（　　） A．100 B．350 C．300 D．250 【答案】A 【解答】解： ∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB===5， ∴图1中正方形的面积和为：32+42+52＝25+25＝2×25＝50，图2中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+25+25＝25+50，图3中所有正方形面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25+25+25+25＝2×25+50＝100，故选：A． （来源：2026春•鞍山月考） 8．（3分）如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　　） A．1 B．3 C．3- D． 【答案】C 【解答】解：由题意可得，∠ADC＝90°，AE＝AB＝3， ∵AD2+DE2＝AE2，AD＝2， ∴22+DE2＝32， ∴DE=， ∴CE=CD-DE=3-，故选：C． （来源：2026•定远县校级一模） 9．（3分）如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 米． 【答案】24 【解答】解： ∵AB＝9米，AC＝12米，根据勾股定理得BC==15米，于是折断前树的高度是15+9＝24米．故答案为：24． （来源：2024秋•绥化期末） 10．（3分）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ． 【答案】 【解答】解：由勾股定理可得：斜边长2＝52+122，则斜边长＝13，直角三角形面积S=×5×12=×13×斜边的高，可得：斜边的高=．故答案为：． （来源：2023春•潮南区期末） 11．（3分）若△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则△ABC的面积是 ． 【答案】6 【解答】解：已知等式整理得：（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）+（c2﹣10c+25）＝0，即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，解得：a＝3，b＝4，c＝5， ∵32+42＝52， ∴△ABC为直角三角形． ∴△ABC的面积=×3×4＝6．故答案为：6． （来源：2026秋•单元） 12．（3分）如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝ ． 【答案】6 【解答】解：由折叠的性质知：AD＝AF，DE＝EF＝8﹣3＝5；在Rt△CEF中，EF＝DE＝5，CE＝3，由勾股定理可得：CF＝4，若设AD＝AF＝x，则BC＝x，BF＝x﹣4；在Rt△ABF中，由勾股定理可得：82+（x﹣4）2＝x2，解得x＝10，故BF＝x﹣4＝6．故答案为：6． （来源：2020春•嘉荫县期末） 13．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为12cm，高为8cm，在圆柱的侧面与底面的交点处，过点A和点C嵌有一圈金属丝（点A与点C相对），则这圈金属丝的长度的最小值为 ． 【答案】20cm 【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度． ∵圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm， ∴AB＝8cm，BC＝BC′＝6cm， ∴AC2＝82+62＝100， ∴AC＝10cm， ∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝20cm．故答案为：20cm． （来源：2026秋•单元） 14．（3分）小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，34.5，37，39.5，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有 种．三、解答题 【答案】2 【解答】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，则AC＝108﹣80＝28（cm），BC＝80﹣59＝21（cm），在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即282+212＝AB2， ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于AB长，即最大时为=35（cm）， ∴小莹可选择的扫地机尺寸直径可以为：34，34.5，共2种，故答案为：2． （来源：2024•吉林一模） 15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，在AB同侧分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 cm2． 【答案】24 【解答】解：由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2，即BC2+AC2﹣AB2＝0．S阴影＝以BC为直径的半圆面积+以AC为直径的半圆面积+S△ABC﹣以AB为直径的半圆面积=π()2+π()2+AC⋅BC-π()2 =π(BC2+AC2-AB2)+×6×8 ＝24（cm2）；故答案为：24． （来源：2026春•南川区校级期中） 16．（3分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“豫点”．如图△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝3，BC＝7，∠C＝45°，若点D是BC边上的“豫点”，则线段CD的长为 ． 【答案】92或2 【解答】解：如图△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝3，BC＝7，∠C＝45°， ∴∠CAE＝90°﹣∠C＝45°， ∴∠CAE＝∠C， ∴CE＝AE＝3，设CD＝x（0＜x＜7）， ∴BD＝BC﹣BD＝7﹣x，BE＝BC﹣CE＝4，①如图1，当点D在BE上时，则3＜x＜7， ∴DE＝CD﹣CE＝x﹣3，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝32+（x﹣3）2＝18﹣6x+x2， ∵点D是BC边上的“豫点”， ∴AD2＝BD•CD＝x（7﹣x）＝7x﹣x2， ∴7x﹣x2＝18﹣6x+x2，解得：x=或x＝2＜3（不合题意，舍去）， ∴此时CD=；②如图2，当点D与点E重合时，则x＝3， ∴AD2＝AE2＝9，BD•CD＝BE•CE＝12， ∴AD2≠BD•CD，这与点D是BC边上的“豫点”矛盾，则x＝3的情形不存在；③如图3，当点D在CE上时，则0＜x＜3， ∴DE＝CE﹣CD＝3﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝32+（3﹣x）2＝18﹣6x+x2， ∵点D是BC边上的“豫点”， ∴AD2＝BD•CD＝x（7﹣x）＝7x﹣x2， ∴7x﹣x2＝18﹣6x+x2，解得：x＝2或x=＞3（不合题意，舍去）， ∴此时CD＝2；综上所述，线段CD的长为或2．故答案为：或2． （来源：2026•鹿邑县模拟） 17．（6分）如图，已知长方体的长为4dm、宽为2dm、高为8dm．一只壁虎如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短的路程是多少？ 【答案】见解析 【解答】解：如图，根据题意，如图所示，路径有以下三种情况： （1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B，BC，CA剪开，得图1，AB′2＝AB2+BB′2＝（4+2）2+82＝100； （2）沿AC，CC′，C′B′，B′D，D′A′，A′A剪开，得图2，AB′2＝AC2+B′C＝42+（8+2）2＝16+100＝116； （3）沿AD，DD′，D′B′，B′C′，C′A′，A′A剪开，得图3，AB′2＝AD2+B′D2＝22+（4+8）2＝4+144＝148．综上所述，最短路径应为图1所示， ∴AB′2＝100，即AB′＝10dm，因此最短路程是10dm． （来源：2026春•牧野区校级月考） 18．（6分）已知：a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1（1）当n＝199时，写出a+b的值 （用科学记数法表示结果）； （2）当n＝3时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是 ．（直接写出答案） （3）嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】24 【解答】解： （1）a+b＝（n2+1+2n）＝（n+1）2，当n＝199时，a+b＝（199+1）2＝2002＝40000＝4×104；当答案为：4×104； （2） ∵a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1，当n＝3时，a＝32+1＝10，b＝2×3＝6，c＝32﹣1＝8， ∴b2+c2＝100＝a2， ∴这个三角形是直角三角形，且a是斜边， ∴这个三角形的面积是×6×8=24，故答案为：24； （3）嘉淇的发现正确，理由如下： ∵b2+c2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+（n2）2﹣2n2+1＝（n2+1）2＝a2， ∴b2+c2＝a2， ∴当n取大于1的整数时，a、b、c为一组勾股数． （来源：2024春•安次区校级期中） 19．（6分）如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙BO＝6米． （1）此时梯子顶端A离地面多少米？（2）若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处？ 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵∠AOB＝90°，AB＝10米，BO＝6米， ∴AO===8（米），答：此时梯子顶端离地面8米； （2） ∵梯子下滑了3米， ∴梯子距离地面的高度CO＝8﹣3＝5（米）， ∴BD+BO=DO===5（米）， ∴DB=DO-OB=(5-6)米，即梯子底端B将向左滑动了(5-6)米，答：梯子底端B将向左滑动(5-6)米到D处． （来源：2026春•越秀区校级期中） 20．（6分）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图①，在△ABC中，CD为BA边上的高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）． （1）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝ ； （2）如图②，在△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值． 【答案】265 【解答】解： （1）如图1中，作BH⊥AC于H． ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC==10， ∵⋅AC⋅BH=⋅AB⋅BC， ∴BH=， ∴h（AC）＝AC﹣BH＝10-=，故答案为：； （2）如图2中，作CD⊥AB于D．设BD＝x，则AD＝21﹣x． ∵CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2， ∴202﹣（21﹣x）2＝132﹣x2，解得x＝5， ∴CD===12， ∴h（AB）＝AB﹣CD＝21﹣12＝9． （来源：2026秋•单元） 21．（6分）为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点A处，另一端固定在地面上的点B处，电线杆AC垂直于地面BC．已知AC＝8m，BC＝6m（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． （1）求钢丝绳AB的长度． （2）为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点B调整为点D（点D在CB的延长线上），点A的位置不变．若B，D两点的距离为9m，求钢丝绳增加的长度． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵BC＝6m，AC⊥BC，AC＝8m， ∴在Rt△ABC中，AB===10(m)，答：钢丝绳的长度AB为10m． （2） ∵BC＝6m，BD＝9m， ∴CD＝BD+BC＝15m， ∵AC⊥BC，AC＝8m， ∴在Rt△ACD中，AD===17(m)， ∴钢丝绳增加的长度为AD﹣AB＝17﹣10＝7（m），答：钢丝绳增加的长度为7m． （来源：2026春•安顺期末） 22．（6分）如图，每个小方格的边长都是1，求： （1）求△ABC的周长； （2）画出BC边上的高，并求△ABC的面积； （3）画出AB边上的高，并求出高． 【答案】见解析 【解答】解： （1）AB==4，AC==2，BC＝2，故△ABC的周长为4+2+2； （2）如图所示，AD是BC边上的高，△ABC的面积=×2×4＝4； （3）如图所示，CE是AB边上的高，高＝4×2÷4=． （来源：2026春•千山区月考） 23．（8分） 项目背景 我校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长均为7cm，其中一条边长固定为2cm，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三 解决问题 任务一 小明画出了锐角△ABC，AB＝AC，BC＝2cm，则S2＝ cm2． 任务二 小金画出了直角△DEF，∠DFE＝90°，EF＝2cm，计算S2的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角△GHI，∠GIH＝120°，HI＝2cm，则S2＝ cm2． 【答案】6.25 【解答】解：任务一：由条件可知AB＝AC＝2.5cm， ∴S2=AC2=2．52=6.25cm2；故答案为：6.25；任务二：由条件可知DE+DF＝5；由勾股定理得DE2﹣DF2＝EF2＝4，即（DE+DF）（DE﹣DF）＝4， ∴DE-DF=，解得：DF=， ∴S2=DF2=()2=；任务三：如图，过H作HM⊥GI交GI延长线于点M， ∵∠GIH＝120°， ∴∠MHI＝∠GIH﹣∠M＝120°﹣90°＝30°， ∴IM＝1；由勾股定理得：HM==；设GI＝b，GH＝a，则a+b＝7﹣HI＝5，GM＝GI+IM＝b+1；在Rt△GHM中，由勾股定理得GH2﹣GM2＝HM2，即（a+b+1）（a﹣b﹣1）＝3， ∴a-b=，解得：b=，S2=()2=．故答案为：． （来源：2024秋•瑞安市月考） 24．（8分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1． （1）判断△ABC是否为直角三角形． （2）求△ABC最长边上的高． 【答案】见解析 【解答】解： （1）△ABC为直角三角形，由勾股定理得，AB==，AC==2，BC==5， ∵（）2+（2）2＝52， ∴AB2+AC2＝25＝BC2， ∴∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形； （2）设最长边BC上的高为h，由题意得，S△ABC=AB⋅AC=BC⋅h， ∴h===2． （来源：2025秋•江西期末） 25．（10分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m． （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】见解析 【解答】解： （1）由题意可知：AC+BC＝8米， ∵∠A＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2，又 ∵AB＝4米， ∴AC＝3（米），BC＝5（米），故旗杆距地面3米处折断； （2）如图， ∵D点距地面AD＝3﹣1.25＝1.75（米）， ∴B'D＝8﹣1.75＝6.25（米）， ∴AB′==6（米）， ∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险． （来源：2026春•葫芦岛期末） 26．（10分）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（注：凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁．） （1）已知：如图，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝70°，求∠C，∠D的度数． （2）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝8，请直接写出对角线AC的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝70°， ∴∠D＝∠B＝70°， ∴∠C＝360°﹣70°﹣70°﹣60°＝160°； （2）分两种情况：①当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD，BC相交于点E，如图1所示： ∵∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝10，AD＝8， ∴∠E＝30°， ∴AE＝2AB＝20， ∴DE＝AE﹣AD＝20﹣8＝12， ∵∠EDC＝90°，∠E＝30°， ∴CD==4． ∴AC===4．②当∠BCD＝∠DAB＝60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图2所示：则∠AMD＝90°，四边形BNDM是矩形， ∵∠DAB＝60°，AD＝8，AB＝10， ∴∠ADM＝30°， ∴AM=AD＝4． ∴DM=AM＝4． ∴BM＝AB﹣AM＝10﹣4＝6， ∵四边形BNDM是矩形， ∴DN＝BM＝6，BN＝DM＝4， ∵∠BCD＝60°， ∴CN==2． ∴BC＝CN+BN＝6． ∴AC===4．综上所述：AC的长为4或4． （来源：2026•巴彦县二模） 27．（10分）已知下列4个等式：第1个等式：32＝2×2+5＝4+5；第2个等式：52＝2×6+13＝12+13；第3个等式：72＝2×12+25＝24+25；第4个等式：92＝2×20+41＝40+41； （1）观察上述等式，请写出第5个等式； （2）写出第n个等式，并证明； （3）我们还发现：第1个等式中32可以写成32＝52﹣42，第2个等式中52可以写成52＝132﹣122，…，以此类推．形如“3，4，5”或“5，12，13”这样能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为“勾股数”，请写出其中一个数为85的“勾股数”． 【答案】见解析 【解答】解： （1）第1个等式：32＝2×2+5＝4+5；第2个等式：52＝2×6+13＝12+13；第3个等式：72＝2×12+25＝24+25；第4个等式：92＝2×20+41＝40+41； ∴第5个等式：112＝2×30+61＝60+61； （2）第n个等式为（2n+1）2＝2×n×（n+1）+2n2+2n+1．证明： ∵（2n+1）2＝4n2+4n+1，2×n×（n+1）+2n2+2n+1＝4n2+4n+1， ∴（2n+1）2＝2×n×（n+1）+2n2+2n+1； （3） ∵第一组：3＝2×1+1；4＝2×1×（1+1）；5＝2×1×（1+1）+1．第二组：5＝2×2+1；12＝2×2×（2+1）；13＝2×2×（2+1）+1．第三组：7＝2×3+1；24＝2×3×（3+1）；25＝2×3×（3+1）+1．第四组：9＝2×4+1；40＝2×4×（4+1）；41＝2×4×（4+1）+1．…则第n组第一个数为：2n+1，第二个数为：2×n×（n+1）＝2n（n+1），第三个数为：2×n×（n+1）+1＝2n2+2n+1， ∴当2n+1＝85， ∴n＝42， ∴第二个数为：2×n×（n+1）＝3612，第三个数为2n2+2n+1＝3613，当2n（n+1）＝85时，解得n=不是正整数，当2n2+2n+1＝85时，解得n＝6（负值舍去）， ∴第一个数为：13，第二个数为：84， ∴这组勾股数为85，3612，3613或13，84，85． （来源：2026春•南海区校级月考） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第1章 勾股定理 单元测试卷（2026~2027学年） 第1章 勾股定理 单元测试卷 北师大版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第1章 勾股定理 单元测试卷（2026~2027学年） 第1章 勾股定理 单元测试卷 北师大版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第1章 勾股定理 单元测试卷（2026~2027学年） 第1章 勾股定理 单元测试卷 北师大版（2024）八上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．17m B．18m C．25m D．26m 【答案】A 【解答】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度==12， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5＝17（米）．故选：A． （来源：2023春•郧阳区期末） 2．（3分）下列各组数是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．，， 【答案】B 【解答】解：A、 ∵22+32≠42， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B、 ∵52+122＝132， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意；C、 ∵0.32+0.42＝0.52， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意；D、 ∵()2≠()2+()2， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：B． （来源：2025秋•大庆校级期末） 3．（3分）如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形M的面积为（　　） A．240 B． C． D．24 【答案】D 【解答】解：两个大正方形的面积分别为132和108，如图， ∴AB2＝132，BC2＝108，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AC2＝AB2﹣BC2＝132﹣108＝24， ∴小正方形M的面积为24，故选：D． （来源：2025春•昌江县校级期中） 4．（3分）如图，在3×3网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则边AC的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由勾股定理得：AC==，故选：C． （来源：2025秋•鲤城区校级期末） 5．（3分）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】D 【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），故选：D． （来源：2023春•潘集区期末） 6．（3分）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 【答案】B 【解答】解：根据勾股定理得出：AB===5， ∴EF＝AB＝5， ∴阴影部分面积是25，故选：B． （来源：2024秋•余江区期末） 7．（3分）如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边向外作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形，…，按此规将律，则图3中所有正方形的面积和为（　　） A．100 B．350 C．300 D．250 【答案】A 【解答】解： ∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB===5， ∴图1中正方形的面积和为：32+42+52＝25+25＝2×25＝50，图2中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+25+25＝25+50，图3中所有正方形面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25+25+25+25＝2×25+50＝100，故选：A． （来源：2026春•鞍山月考） 8．（3分）如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　　） A．1 B．3 C．3- D． 【答案】C 【解答】解：由题意可得，∠ADC＝90°，AE＝AB＝3， ∵AD2+DE2＝AE2，AD＝2， ∴22+DE2＝32， ∴DE=， ∴CE=CD-DE=3-，故选：C． （来源：2026•定远县校级一模） 9．（3分）如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 米． 【答案】24 【解答】解： ∵AB＝9米，AC＝12米，根据勾股定理得BC==15米，于是折断前树的高度是15+9＝24米．故答案为：24． （来源：2024秋•绥化期末） 10．（3分）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ． 【答案】 【解答】解：由勾股定理可得：斜边长2＝52+122，则斜边长＝13，直角三角形面积S=×5×12=×13×斜边的高，可得：斜边的高=．故答案为：． （来源：2023春•潮南区期末） 11．（3分）若△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则△ABC的面积是 ． 【答案】6 【解答】解：已知等式整理得：（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）+（c2﹣10c+25）＝0，即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，解得：a＝3，b＝4，c＝5， ∵32+42＝52， ∴△ABC为直角三角形． ∴△ABC的面积=×3×4＝6．故答案为：6． （来源：2026秋•单元） 12．（3分）如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝ ． 【答案】6 【解答】解：由折叠的性质知：AD＝AF，DE＝EF＝8﹣3＝5；在Rt△CEF中，EF＝DE＝5，CE＝3，由勾股定理可得：CF＝4，若设AD＝AF＝x，则BC＝x，BF＝x﹣4；在Rt△ABF中，由勾股定理可得：82+（x﹣4）2＝x2，解得x＝10，故BF＝x﹣4＝6．故答案为：6． （来源：2020春•嘉荫县期末） 13．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为12cm，高为8cm，在圆柱的侧面与底面的交点处，过点A和点C嵌有一圈金属丝（点A与点C相对），则这圈金属丝的长度的最小值为 ． 【答案】20cm 【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度． ∵圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm， ∴AB＝8cm，BC＝BC′＝6cm， ∴AC2＝82+62＝100， ∴AC＝10cm， ∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝20cm．故答案为：20cm． （来源：2026秋•单元） 14．（3分）小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，34.5，37，39.5，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有 种．三、解答题 【答案】2 【解答】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，则AC＝108﹣80＝28（cm），BC＝80﹣59＝21（cm），在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即282+212＝AB2， ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于AB长，即最大时为=35（cm）， ∴小莹可选择的扫地机尺寸直径可以为：34，34.5，共2种，故答案为：2． （来源：2024•吉林一模） 15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，在AB同侧分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 cm2． 【答案】24 【解答】解：由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2，即BC2+AC2﹣AB2＝0．S阴影＝以BC为直径的半圆面积+以AC为直径的半圆面积+S△ABC﹣以AB为直径的半圆面积=π()2+π()2+AC⋅BC-π()2 =π(BC2+AC2-AB2)+×6×8 ＝24（cm2）；故答案为：24． （来源：2026春•南川区校级期中） 16．（3分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“豫点”．如图△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝3，BC＝7，∠C＝45°，若点D是BC边上的“豫点”，则线段CD的长为 ． 【答案】92或2 【解答】解：如图△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝3，BC＝7，∠C＝45°， ∴∠CAE＝90°﹣∠C＝45°， ∴∠CAE＝∠C， ∴CE＝AE＝3，设CD＝x（0＜x＜7）， ∴BD＝BC﹣BD＝7﹣x，BE＝BC﹣CE＝4，①如图1，当点D在BE上时，则3＜x＜7， ∴DE＝CD﹣CE＝x﹣3，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝32+（x﹣3）2＝18﹣6x+x2， ∵点D是BC边上的“豫点”， ∴AD2＝BD•CD＝x（7﹣x）＝7x﹣x2， ∴7x﹣x2＝18﹣6x+x2，解得：x=或x＝2＜3（不合题意，舍去）， ∴此时CD=；②如图2，当点D与点E重合时，则x＝3， ∴AD2＝AE2＝9，BD•CD＝BE•CE＝12， ∴AD2≠BD•CD，这与点D是BC边上的“豫点”矛盾，则x＝3的情形不存在；③如图3，当点D在CE上时，则0＜x＜3， ∴DE＝CE﹣CD＝3﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝32+（3﹣x）2＝18﹣6x+x2， ∵点D是BC边上的“豫点”， ∴AD2＝BD•CD＝x（7﹣x）＝7x﹣x2， ∴7x﹣x2＝18﹣6x+x2，解得：x＝2或x=＞3（不合题意，舍去）， ∴此时CD＝2；综上所述，线段CD的长为或2．故答案为：或2． （来源：2026•鹿邑县模拟） 17．（6分）如图，已知长方体的长为4dm、宽为2dm、高为8dm．一只壁虎如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短的路程是多少？ 【答案】见解析 【解答】解：如图，根据题意，如图所示，路径有以下三种情况： （1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B，BC，CA剪开，得图1，AB′2＝AB2+BB′2＝（4+2）2+82＝100； （2）沿AC，CC′，C′B′，B′D，D′A′，A′A剪开，得图2，AB′2＝AC2+B′C＝42+（8+2）2＝16+100＝116； （3）沿AD，DD′，D′B′，B′C′，C′A′，A′A剪开，得图3，AB′2＝AD2+B′D2＝22+（4+8）2＝4+144＝148．综上所述，最短路径应为图1所示， ∴AB′2＝100，即AB′＝10dm，因此最短路程是10dm． （来源：2026春•牧野区校级月考） 18．（6分）已知：a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1（1）当n＝199时，写出a+b的值 （用科学记数法表示结果）； （2）当n＝3时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是 ．（直接写出答案） （3）嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】24 【解答】解： （1）a+b＝（n2+1+2n）＝（n+1）2，当n＝199时，a+b＝（199+1）2＝2002＝40000＝4×104；当答案为：4×104； （2） ∵a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1，当n＝3时，a＝32+1＝10，b＝2×3＝6，c＝32﹣1＝8， ∴b2+c2＝100＝a2， ∴这个三角形是直角三角形，且a是斜边， ∴这个三角形的面积是×6×8=24，故答案为：24； （3）嘉淇的发现正确，理由如下： ∵b2+c2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+（n2）2﹣2n2+1＝（n2+1）2＝a2， ∴b2+c2＝a2， ∴当n取大于1的整数时，a、b、c为一组勾股数． （来源：2024春•安次区校级期中） 19．（6分）如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙BO＝6米． （1）此时梯子顶端A离地面多少米？（2）若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处？ 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵∠AOB＝90°，AB＝10米，BO＝6米， ∴AO===8（米），答：此时梯子顶端离地面8米； （2） ∵梯子下滑了3米， ∴梯子距离地面的高度CO＝8﹣3＝5（米）， ∴BD+BO=DO===5（米）， ∴DB=DO-OB=(5-6)米，即梯子底端B将向左滑动了(5-6)米，答：梯子底端B将向左滑动(5-6)米到D处． （来源：2026春•越秀区校级期中） 20．（6分）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图①，在△ABC中，CD为BA边上的高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）． （1）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝ ； （2）如图②，在△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值． 【答案】265 【解答】解： （1）如图1中，作BH⊥AC于H． ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC==10， ∵⋅AC⋅BH=⋅AB⋅BC， ∴BH=， ∴h（AC）＝AC﹣BH＝10-=，故答案为：； （2）如图2中，作CD⊥AB于D．设BD＝x，则AD＝21﹣x． ∵CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2， ∴202﹣（21﹣x）2＝132﹣x2，解得x＝5， ∴CD===12， ∴h（AB）＝AB﹣CD＝21﹣12＝9． （来源：2026秋•单元） 21．（6分）为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点A处，另一端固定在地面上的点B处，电线杆AC垂直于地面BC．已知AC＝8m，BC＝6m（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． （1）求钢丝绳AB的长度． （2）为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点B调整为点D（点D在CB的延长线上），点A的位置不变．若B，D两点的距离为9m，求钢丝绳增加的长度． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵BC＝6m，AC⊥BC，AC＝8m， ∴在Rt△ABC中，AB===10(m)，答：钢丝绳的长度AB为10m． （2） ∵BC＝6m，BD＝9m， ∴CD＝BD+BC＝15m， ∵AC⊥BC，AC＝8m， ∴在Rt△ACD中，AD===17(m)， ∴钢丝绳增加的长度为AD﹣AB＝17﹣10＝7（m），答：钢丝绳增加的长度为7m． （来源：2026春•安顺期末） 22．（6分）如图，每个小方格的边长都是1，求： （1）求△ABC的周长； （2）画出BC边上的高，并求△ABC的面积； （3）画出AB边上的高，并求出高． 【答案】见解析 【解答】解： （1）AB==4，AC==2，BC＝2，故△ABC的周长为4+2+2； （2）如图所示，AD是BC边上的高，△ABC的面积=×2×4＝4； （3）如图所示，CE是AB边上的高，高＝4×2÷4=． （来源：2026春•千山区月考） 23．（8分） 项目背景 我校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长均为7cm，其中一条边长固定为2cm，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三 解决问题 任务一 小明画出了锐角△ABC，AB＝AC，BC＝2cm，则S2＝ cm2． 任务二 小金画出了直角△DEF，∠DFE＝90°，EF＝2cm，计算S2的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角△GHI，∠GIH＝120°，HI＝2cm，则S2＝ cm2． 【答案】6.25 【解答】解：任务一：由条件可知AB＝AC＝2.5cm， ∴S2=AC2=2．52=6.25cm2；故答案为：6.25；任务二：由条件可知DE+DF＝5；由勾股定理得DE2﹣DF2＝EF2＝4，即（DE+DF）（DE﹣DF）＝4， ∴DE-DF=，解得：DF=， ∴S2=DF2=()2=；任务三：如图，过H作HM⊥GI交GI延长线于点M， ∵∠GIH＝120°， ∴∠MHI＝∠GIH﹣∠M＝120°﹣90°＝30°， ∴IM＝1；由勾股定理得：HM==；设GI＝b，GH＝a，则a+b＝7﹣HI＝5，GM＝GI+IM＝b+1；在Rt△GHM中，由勾股定理得GH2﹣GM2＝HM2，即（a+b+1）（a﹣b﹣1）＝3， ∴a-b=，解得：b=，S2=()2=．故答案为：． （来源：2024秋•瑞安市月考） 24．（8分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1． （1）判断△ABC是否为直角三角形． （2）求△ABC最长边上的高． 【答案】见解析 【解答】解： （1）△ABC为直角三角形，由勾股定理得，AB==，AC==2，BC==5， ∵（）2+（2）2＝52， ∴AB2+AC2＝25＝BC2， ∴∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形； （2）设最长边BC上的高为h，由题意得，S△ABC=AB⋅AC=BC⋅h， ∴h===2． （来源：2025秋•江西期末） 25．（10分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m． （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】见解析 【解答】解： （1）由题意可知：AC+BC＝8米， ∵∠A＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2，又 ∵AB＝4米， ∴AC＝3（米），BC＝5（米），故旗杆距地面3米处折断； （2）如图， ∵D点距地面AD＝3﹣1.25＝1.75（米）， ∴B'D＝8﹣1.75＝6.25（米）， ∴AB′==6（米）， ∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险． （来源：2026春•葫芦岛期末） 26．（10分）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（注：凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁．） （1）已知：如图，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝70°，求∠C，∠D的度数． （2）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝8，请直接写出对角线AC的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝70°， ∴∠D＝∠B＝70°， ∴∠C＝360°﹣70°﹣70°﹣60°＝160°； （2）分两种情况：①当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD，BC相交于点E，如图1所示： ∵∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝10，AD＝8， ∴∠E＝30°， ∴AE＝2AB＝20， ∴DE＝AE﹣AD＝20﹣8＝12， ∵∠EDC＝90°，∠E＝30°， ∴CD==4． ∴AC===4．②当∠BCD＝∠DAB＝60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图2所示：则∠AMD＝90°，四边形BNDM是矩形， ∵∠DAB＝60°，AD＝8，AB＝10， ∴∠ADM＝30°， ∴AM=AD＝4． ∴DM=AM＝4． ∴BM＝AB﹣AM＝10﹣4＝6， ∵四边形BNDM是矩形， ∴DN＝BM＝6，BN＝DM＝4， ∵∠BCD＝60°， ∴CN==2． ∴BC＝CN+BN＝6． ∴AC===4．综上所述：AC的长为4或4． （来源：2026•巴彦县二模） 27．（10分）已知下列4个等式：第1个等式：32＝2×2+5＝4+5；第2个等式：52＝2×6+13＝12+13；第3个等式：72＝2×12+25＝24+25；第4个等式：92＝2×20+41＝40+41； （1）观察上述等式，请写出第5个等式； （2）写出第n个等式，并证明； （3）我们还发现：第1个等式中32可以写成32＝52﹣42，第2个等式中52可以写成52＝132﹣122，…，以此类推．形如“3，4，5”或“5，12，13”这样能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为“勾股数”，请写出其中一个数为85的“勾股数”． 【答案】见解析 【解答】解： （1）第1个等式：32＝2×2+5＝4+5；第2个等式：52＝2×6+13＝12+13；第3个等式：72＝2×12+25＝24+25；第4个等式：92＝2×20+41＝40+41； ∴第5个等式：112＝2×30+61＝60+61； （2）第n个等式为（2n+1）2＝2×n×（n+1）+2n2+2n+1．证明： ∵（2n+1）2＝4n2+4n+1，2×n×（n+1）+2n2+2n+1＝4n2+4n+1， ∴（2n+1）2＝2×n×（n+1）+2n2+2n+1； （3） ∵第一组：3＝2×1+1；4＝2×1×（1+1）；5＝2×1×（1+1）+1．第二组：5＝2×2+1；12＝2×2×（2+1）；13＝2×2×（2+1）+1．第三组：7＝2×3+1；24＝2×3×（3+1）；25＝2×3×（3+1）+1．第四组：9＝2×4+1；40＝2×4×（4+1）；41＝2×4×（4+1）+1．…则第n组第一个数为：2n+1，第二个数为：2×n×（n+1）＝2n（n+1），第三个数为：2×n×（n+1）+1＝2n2+2n+1， ∴当2n+1＝85， ∴n＝42， ∴第二个数为：2×n×（n+1）＝3612，第三个数为2n2+2n+1＝3613，当2n（n+1）＝85时，解得n=不是正整数，当2n2+2n+1＝85时，解得n＝6（负值舍去）， ∴第一个数为：13，第二个数为：84， ∴这组勾股数为85，3612，3613或13，84，85． （来源：2026春•南海区校级月考） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第1章 勾股定理 单元测试卷（2026~2027学年） 第1章 勾股定理 单元测试卷 北师大版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．17m B．18m C．25m D．26m 2．（3分）下列各组数是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．，， 3．（3分）如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形M的面积为（　　） A．240 B． C． D．24 4．（3分）如图，在3×3网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则边AC的长是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 6．（3分）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 7．（3分）如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边向外作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形，…，按此规将律，则图3中所有正方形的面积和为（　　） A．100 B．350 C．300 D．250 8．（3分）如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　　） A．1 B．3 C．3- D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 　　　　 米． 10．（3分）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为　　　　 ． 11．（3分）若△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则△ABC的面积是　　　　 ． 12．（3分）如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝　　　　 ． 13．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为12cm，高为8cm，在圆柱的侧面与底面的交点处，过点A和点C嵌有一圈金属丝（点A与点C相对），则这圈金属丝的长度的最小值为　　　　 ． 14．（3分）小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，34.5，37，39.5，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有 　　　　 种． 15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，在AB同侧分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 　　　　 cm2． 16．（3分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“豫点”．如图△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝3，BC＝7，∠C＝45°，若点D是BC边上的“豫点”，则线段CD的长为　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图，已知长方体的长为4dm、宽为2dm、高为8dm．一只壁虎如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短的路程是多少？ 18．（6分）已知：a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1 （1）当n＝199时，写出a+b的值 　　　　 （用科学记数法表示结果）； （2）当n＝3时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是 　　　　 ．（直接写出答案） （3）嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算说明理由． 19．（6分）如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙BO＝6米． （1）此时梯子顶端A离地面多少米？ （2）若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处？ 20．（6分）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图①，在△ABC中，CD为BA边上的高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）． （1）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝　　　　 ； （2）如图②，在△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值． 21．（6分）为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点A处，另一端固定在地面上的点B处，电线杆AC垂直于地面BC．已知AC＝8m，BC＝6m（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． （1）求钢丝绳AB的长度． （2）为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点B调整为点D（点D在CB的延长线上），点A的位置不变．若B，D两点的距离为9m，求钢丝绳增加的长度． 22．（6分）如图，每个小方格的边长都是1，求： （1）求△ABC的周长； （2）画出BC边上的高，并求△ABC的面积； （3）画出AB边上的高，并求出高． 23．（8分） 项目背景 我校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长均为7cm，其中一条边长固定为2cm，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三 解决问题 任务一 小明画出了锐角△ABC，AB＝AC，BC＝2cm，则S2＝　　　　 cm2． 任务二 小金画出了直角△DEF，∠DFE＝90°，EF＝2cm，计算S2的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角△GHI，∠GIH＝120°，HI＝2cm，则S2＝　　　　 cm2． 24．（8分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1． （1）判断△ABC是否为直角三角形． （2）求△ABC最长边上的高． 25．（10分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m． （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 26．（10分）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（注：凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁．） （1）已知：如图，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝70°，求∠C，∠D的度数． （2）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝8，请直接写出对角线AC的长． 27．（10分）已知下列4个等式：第1个等式：32＝2×2+5＝4+5；第2个等式：52＝2×6+13＝12+13；第3个等式：72＝2×12+25＝24+25；第4个等式：92＝2×20+41＝40+41； （1）观察上述等式，请写出第5个等式； （2）写出第n个等式，并证明； （3）我们还发现：第1个等式中32可以写成32＝52﹣42，第2个等式中52可以写成52＝132﹣122，…，以此类推．形如“3，4，5”或“5，12，13”这样能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为“勾股数”，请写出其中一个数为85的“勾股数”． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第1章 勾股定理 单元测试卷（2026~2027学年） 第1章 勾股定理 单元测试卷 北师大版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．17m B．18m C．25m D．26m 2．（3分）下列各组数是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．，， 3．（3分）如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形M的面积为（　　） A．240 B． C． D．24 4．（3分）如图，在3×3网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则边AC的长是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 6．（3分）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 7．（3分）如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边向外作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形，…，按此规将律，则图3中所有正方形的面积和为（　　） A．100 B．350 C．300 D．250 8．（3分）如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　　） A．1 B．3 C．3- D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 　　　　 米． 10．（3分）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为　　　　 ． 11．（3分）若△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则△ABC的面积是　　　　 ． 12．（3分）如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝　　　　 ． 13．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为12cm，高为8cm，在圆柱的侧面与底面的交点处，过点A和点C嵌有一圈金属丝（点A与点C相对），则这圈金属丝的长度的最小值为　　　　 ． 14．（3分）小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，34.5，37，39.5，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有 　　　　 种． 15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，在AB同侧分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 　　　　 cm2． 16．（3分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“豫点”．如图△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝3，BC＝7，∠C＝45°，若点D是BC边上的“豫点”，则线段CD的长为　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图，已知长方体的长为4dm、宽为2dm、高为8dm．一只壁虎如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短的路程是多少？ 18．（6分）已知：a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1 （1）当n＝199时，写出a+b的值 　　　　 （用科学记数法表示结果）； （2）当n＝3时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是 　　　　 ．（直接写出答案） （3）嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算说明理由． 19．（6分）如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙BO＝6米． （1）此时梯子顶端A离地面多少米？ （2）若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处？ 20．（6分）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图①，在△ABC中，CD为BA边上的高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）． （1）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝　　　　 ； （2）如图②，在△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值． 21．（6分）为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点A处，另一端固定在地面上的点B处，电线杆AC垂直于地面BC．已知AC＝8m，BC＝6m（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． （1）求钢丝绳AB的长度． （2）为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点B调整为点D（点D在CB的延长线上），点A的位置不变．若B，D两点的距离为9m，求钢丝绳增加的长度． 22．（6分）如图，每个小方格的边长都是1，求： （1）求△ABC的周长； （2）画出BC边上的高，并求△ABC的面积； （3）画出AB边上的高，并求出高． 23．（8分） 项目背景 我校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长均为7cm，其中一条边长固定为2cm，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三 解决问题 任务一 小明画出了锐角△ABC，AB＝AC，BC＝2cm，则S2＝　　　　 cm2． 任务二 小金画出了直角△DEF，∠DFE＝90°，EF＝2cm，计算S2的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角△GHI，∠GIH＝120°，HI＝2cm，则S2＝　　　　 cm2． 24．（8分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1． （1）判断△ABC是否为直角三角形． （2）求△ABC最长边上的高． 25．（10分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m． （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 26．（10分）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（注：凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁．） （1）已知：如图，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝70°，求∠C，∠D的度数． （2）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝8，请直接写出对角线AC的长． 27．（10分）已知下列4个等式：第1个等式：32＝2×2+5＝4+5；第2个等式：52＝2×6+13＝12+13；第3个等式：72＝2×12+25＝24+25；第4个等式：92＝2×20+41＝40+41； （1）观察上述等式，请写出第5个等式； （2）写出第n个等式，并证明； （3）我们还发现：第1个等式中32可以写成32＝52﹣42，第2个等式中52可以写成52＝132﹣122，…，以此类推．形如“3，4，5”或“5，12，13”这样能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为“勾股数”，请写出其中一个数为85的“勾股数”． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $