6.2 等差数列（10大题型归纳）讲义-2027届高三数学一轮复习（新高考专用）

6.2　等差数列 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、等差数列的有关概念 3 知识点二、等差数列公式 3 知识点三、性质 3 常用二级结论 4 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 7 题型一：等差数列概念与通项 7 题型二：实际应用 7 题型三：等差数列性质 8 题型四：等差数列前 n 项和 9 题型五：前n项和最值 10 题型六：奇偶项和问题 10 题型七：数列不等关系 11 题型八：恒成立问题 12 题型九：等差数列证明 13 题型十：绝对值问题 14 05 课后拓展精练 17 知识点一、等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 知识点二、等差数列公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 知识点三、性质 1、由等差数列生成新的等差数列 （1）公差为的等差数列具有如下性质：下标成公差为的等差数列的项组成以md为公差的等差数列，即在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． （2）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数． （3）若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列 {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2、若，则． （1）若，则； （2）若，则． （3）有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和： 3、若，则． 常用二级结论 1、等差数列中：，则有可以求出，甚至． 2、等差数列中：为首项是，公差是的等差数列，若，则特别的，若，则有． 3、有最大值；有最小值，若，则有同时取得最值 ，的最大值；,的最大值． 1．（2026年高考全国1卷数学高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2025年高考北京卷数学真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 3．（2025年高考天津卷数学真题）数列的前n项和，则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 4．（2025年高考全国二卷数学真题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 5．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026年高考北京卷数学高考真题）已知公差为的等差数列的前项和为．若，则________，使得对所有都成立的一个的取值为________． 8．（2026年高考上海卷数学高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 9．（2026年高考全国2卷数学高考真题）记为等差数列的前项和.若，，则__________． 10．（2018年上海高考数学试题）记等差数列的前项和为，若，，则________ 11．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 12．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等差数列的前n项和，若，，则________. 13．（2026年高考天津卷数学高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 14．（2025年高考天津卷数学真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 15．（2025年高考全国一卷数学真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 题型一：等差数列概念与通项 【典例1-1】若数列是等差数列，则数列，，（    ） A．不是等差数列 B．是递增数列 C．是等差数列 D．是递减数列 【典例1-2】已知等差数列，，，…，则下列属于该数列的项的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知等差数列满足，，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．2 【变式1-2】（2026·高三·江苏徐州·阶段检测）等差数列的公差，若成等差，则（     ） A． B．12 C．26 D．48 【变式1-3】已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （    ） A． B． C． D． 【解题总结】 等差数列基本运算的常见类型及解题策略： （1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．和是等差数列的两个基本元素． （3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． （4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． 题型二：实际应用 【典例2-1】据科学计算，运载“神七”的“长征二号”系列火箭，在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，在达到离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是（   ） A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 【典例2-2】（2026·江苏无锡·三模）某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（    ）TFLOPS. A．29 B．32 C．35 D．38 【变式2-1】某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2-2】（2026·高三·江西赣州·期中）将所有正整数按照如下规律形成数阵： 其中表示第行第个数，例如，若，则（    ） A．53 B．54 C．55 D．56 【变式2-3】（2026·高三·甘肃白银·阶段检测）已知快递员甲一周（7天）的第一天派件90件，之后每天的派件量比前一天多件，若甲第7天的派件量是其该周前3天的派件总量的，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【解题总结】 利用等差数列的通项公式与求和公式求解. 题型三：等差数列性质 【典例3-1】（2026·高三·江苏苏州·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，则（     ） A．44 B．88 C．55 D．110 【典例3-2】（2026·高三·北京顺义·阶段检测）在等差数列中，，则的值为（    ） A． B．7 C． D．8 【变式3-1】等差数列中，已知公差，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高三·黑龙江大庆·阶段检测）设数列为公差不为的等差数列，若存在两项，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高三·湖北·阶段检测）已知等差数列满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题总结】 如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求的值． 题型四：等差数列前 n 项和 【典例4-1】（2026·高三·北京西城·阶段检测）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高三·北京西城·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，，则的公差为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·浙江·模拟预测）已知数列满足，，对于，，是数列的前项和，则（    ） A．5100 B．4999 C．5202 D．5000 【变式4-2】（2026·高三·辽宁沈阳·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【解题总结】 在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列． 题型五：前n项和最值 【典例5-1】（2026·浙江·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则当取到最大值时，（     ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·高三·江西南昌·期末）设是等差数列的前n项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高三·辽宁沈阳·阶段检测）在等差数列中，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．满足的的最大值为 【变式5-2】设是等差数列的前项和，且，，则使得取最小值时的为（    ） A．6 B．7 C．6或7 D．8 【变式5-3】等差数列中，已知，前n项和为，且，则最小时n的值为（    ） A．11 B．11或12 C．12 D．12或13 【解题总结】 求等差数列前项和最值的2种方法 （1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． （2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值； ②若，则满足的项数使得取得最小值． 题型六：奇偶项和问题 【典例6-1】某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 【典例6-2】（2026·江西赣州·二模）在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 【变式6-1】已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式6-2】已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【变式6-3】（2026·高三·天津河西·期末）在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 【解题总结】 ①若数列共有项，则（为中间项），，；，； ②若数列共有项，则S2n＝n(an＋an＋1)（，为中间两项），，＝． 题型七：数列不等关系 【典例7-1】（多选题）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为31 【典例7-2】（多选题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．中的最小项为 【变式7-1】（多选题）（青海西宁市青海师范大学附属第二实验中学2025-2026学年高三年级十一月月考数学试卷）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．使成立的最大正整数为 D． 【变式7-2】（多选题）（2026·高三·广东肇庆·开学考试）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递减数列 B． C． D．的最大值为 【变式7-3】（多选题）（2026·高三·湖北·阶段检测）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（     ） A．， B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 【解题总结】 （1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”． （2）数列的单调性与，的单调性不完全一致． 一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”． 题型八：恒成立问题 【典例8-1】（2026·高三·北京平谷·阶段检测）公差为的等差数列的前项和为．若，则______，使得对所有都成立的一个的取值为_________． 【典例8-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为________． 【变式8-1】（2026·高三·陕西咸阳·阶段检测）已知数列的前n项和为，且，，若对任意的，等式恒成立，则________． 【变式8-2】已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【变式8-3】（2026·四川巴中·模拟预测）设数列的前项和为，且，若恒成立，则的最大值是___________. 【解题总结】 等差数列中的范围与恒成立问题是数列研究的重要方面。这类问题通常涉及数列的通项公式、前n项和公式以及不等式性质的应用。解决这类问题时，需要首先根据题意设定合适的变量，建立等差数列的通项或前n项和的不等式，然后利用不等式的性质进行推导，最终确定变量的取值范围，使得原不等式恒成立。 题型九：等差数列证明 【典例9-1】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式，并证明为等差数列； (2)若，求． 【典例9-2】数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求． 【变式9-1】（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）设数列，对任意，令，已知，对任意整数，均有． (1)证明：，，三项成等差数列； (2)证明：对任意整数，均有； (3)数列是否为等差数列?并说明理由． 【变式9-2】已知数列满足，，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． 【变式9-3】（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）已知数列中，． (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前项积为，求数列的前项和． 【解题总结】 判断数列是等差数列的常用方法 （1）定义法：对任意是周一常数． （2）等差中项法：对任意，湍足． （3）通项公式法：对任意，都满足为常数）． （4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）． 题型十：绝对值问题 【典例10-1】（2026·高三·天津河西·阶段检测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，证明数列是等比数列，并求数列的前项和； (3)记，求数列的前n项和． 【典例10-2】（2026·吉林长春·模拟预测）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和的值. 【变式10-1】（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【变式10-2】（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式10-3】（2026·高三·河南信阳·期末）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项的和. 【解题总结】 由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下： （1）首先找出零值或者符号由正变负的项 （2）在对进行讨论，当时，，当时， 1．（2026·高三·天津河西·阶段检测）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则n的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知公差为的等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·高三·北京海淀·阶段检测）已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．97 B．98 C．99 D．100 4．（2026·高三·青海西宁·阶段检测）已知等差数列 中，，，则数列的前 项和（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·福建福州·阶段检测）在各项均不为零的数列中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高三·云南·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，，则数列的前11项和为（     ） A． B． C． D． 7．已知正项等比数列中，，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高三·贵州毕节·开学考试）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B． C． D．8 9．（多选题）（2026·高三·辽宁·阶段检测）在等差数列中，，．记为数列的前项和，且．从数列中去掉与数列中相同的项后，按从小到大的顺序排列组成新数列，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D．当是3的倍数时，被6整除的余数为0或1 10．（多选题）（2026·高三·云南德宏·开学考试）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C．是等比数列 D．是递增数列 11．（多选题）（2026·高三·广西·阶段检测）已知等差数列的前n项和为，前n项积为.若，，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 12．（2026·高三·天津河西·阶段检测）已知数列，满足，其中是等差数列且，则______，且______． 13．（2026·高三·山西·阶段检测）已知函数，若等差数列的前n项和为Sn，且，，则______． 14．（2026·高三·辽宁·阶段检测）已知二次函数的两个零点为，，若，，三个数适当调整顺序后既可为等差数列，也可为等比数列，则b的值为______． 15．（2026·高三·山东青岛·阶段检测）已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中. (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前n项的和. 16．（2026·高三·陕西西安·阶段检测）记为数列的前项和，是首项与公差均为的等差数列， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项的和 17．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）已知等差数列，若，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和. 18．（2026·高三·北京丰台·阶段检测）已知为数列的前项和，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2　等差数列 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、等差数列的有关概念 3 知识点二、等差数列公式 3 知识点三、性质 3 常用二级结论 4 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 14 题型一：等差数列概念与通项 14 题型二：实际应用 15 题型三：等差数列性质 17 题型四：等差数列前 n 项和 19 题型五：前n项和最值 20 题型六：奇偶项和问题 23 题型七：数列不等关系 24 题型八：恒成立问题 27 题型九：等差数列证明 30 题型十：绝对值问题 34 05 课后拓展精练 38 知识点一、等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 知识点二、等差数列公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 知识点三、性质 1、由等差数列生成新的等差数列 （1）公差为的等差数列具有如下性质：下标成公差为的等差数列的项组成以md为公差的等差数列，即在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． （2）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数． （3）若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列 {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2、若，则． （1）若，则； （2）若，则． （3）有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和： 3、若，则． 常用二级结论 1、等差数列中：，则有可以求出，甚至． 2、等差数列中：为首项是，公差是的等差数列，若，则特别的，若，则有． 3、有最大值；有最小值，若，则有同时取得最值 ，的最大值；,的最大值． 1．（2026年高考全国1卷数学高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】由已知，，，，， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求. 2．（2025年高考北京卷数学真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 3．（2025年高考天津卷数学真题）数列的前n项和，则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【解析】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 4．（2025年高考全国二卷数学真题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 5．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 7．（2026年高考北京卷数学高考真题）已知公差为的等差数列的前项和为．若，则________，使得对所有都成立的一个的取值为________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【解析】等差数列的前项和公式为，通项公式为. ∵ ，， ∴ . 由，得， 消去等式两侧的，整理得，解得. ∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立， ∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ， 代入通项公式得，解得， 取即为符合条件的一个取值. 8．（2026年高考上海卷数学高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 【答案】 【解析】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出， 且，是单调递增的，所以必须满足， 所以，所以. 9．（2026年高考全国2卷数学高考真题）记为等差数列的前项和.若，，则__________． 【答案】24 【解析】由等差数列通项公式， 代入可得，解得. 因为，所以， 故. 10．（2018年上海高考数学试题）记等差数列的前项和为，若，，则________ 【答案】 【解析】已知，∴， 则， 由公式得， 故答案为：14. 11．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 【答案】 【解析】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 12．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等差数列的前n项和，若，，则________. 【答案】95 【解析】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 13．（2026年高考天津卷数学高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以 14．（2025年高考天津卷数学真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【解析】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 15．（2025年高考全国一卷数学真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【解析】（1）证明：由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 题型一：等差数列概念与通项 【典例1-1】若数列是等差数列，则数列，，（    ） A．不是等差数列 B．是递增数列 C．是等差数列 D．是递减数列 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，则， ， 所以数列，，是等差数列. 【典例1-2】已知等差数列，，，…，则下列属于该数列的项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为数列，，，…为等差数列，且，， 所以. 对A，由，所以为该数列的第8项； 对B，由，不是整数，所以不是该数列中的项； 对C，由，不是整数，所以不是该数列中的项； 对D，由，不是整数，所以不是该数列中的项. 【变式1-1】已知等差数列满足，，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．2 【答案】C 【解析】由题意可得， 又，所以，解得. 【变式1-2】（2026·高三·江苏徐州·阶段检测）等差数列的公差，若成等差，则（     ） A． B．12 C．26 D．48 【答案】C 【解析】由成等差数列，可得， 所以. 由成等差数列，可得， 所以，因为，且，解得. 【变式1-3】已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 已知，且、、成等比数列， 由等比中项的性质可得：， 根据等差数列通项公式，可得，， 代入上式得：，展开整理得，解得或（舍）， 因此. 【解题总结】 等差数列基本运算的常见类型及解题策略： （1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．和是等差数列的两个基本元素． （3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． （4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． 题型二：实际应用 【典例2-1】据科学计算，运载“神七”的“长征二号”系列火箭，在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，在达到离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是（   ） A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 【答案】C 【解析】∵ 火箭点火后每秒通过的路程依次构成数列，由题意得，， ∴ 数列是首项，公差的等差数列，设该过程需要的时间为秒， ∵ 前秒的总路程为240km，等差数列前项和公式为， ∴ 代入数据得，整理得， ∵ ，∴ 解得，即该过程大约需要15秒钟. 【典例2-2】（2026·江苏无锡·三模）某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（    ）TFLOPS. A．29 B．32 C．35 D．38 【答案】C 【解析】由题意知，前10秒每秒的算力构成等差数列， 设等差数列的公差为，首项为，且最大算力为，10秒后算力保持不变. 则，， 联立解得，. 所以最大算力，单位为TFLOPS. 【变式2-1】某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】由题意可知该器各层的构件数成等差数列，其中，公差， 则其前项和， 整理可得，即， 解得或（舍去），所以该层数为8. 【变式2-2】（2026·高三·江西赣州·期中）将所有正整数按照如下规律形成数阵： 其中表示第行第个数，例如，若，则（    ） A．53 B．54 C．55 D．56 【答案】C 【解析】根据数阵的规律，可得每一行的数字的个数组成首项为，公差为的等差数列， 所以前行中数字的个数之和为， 当时，可得；当时，可得， 则， 又由数阵的第行的第一个数为， 所以位于数阵的第行的第个数，即，所以. 【变式2-3】（2026·高三·甘肃白银·阶段检测）已知快递员甲一周（7天）的第一天派件90件，之后每天的派件量比前一天多件，若甲第7天的派件量是其该周前3天的派件总量的，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解析】由题意，解得． 故选：C 【解题总结】 利用等差数列的通项公式与求和公式求解. 题型三：等差数列性质 【典例3-1】（2026·高三·江苏苏州·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，则（     ） A．44 B．88 C．55 D．110 【答案】A 【解析】在等差数列中，， 又，则，解得， 所以. 【典例3-2】（2026·高三·北京顺义·阶段检测）在等差数列中，，则的值为（    ） A． B．7 C． D．8 【答案】A 【解析】，则， . 【变式3-1】等差数列中，已知公差，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 【变式3-2】（2026·高三·黑龙江大庆·阶段检测）设数列为公差不为的等差数列，若存在两项，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，且，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 比较， 所以的最小值为. 【变式3-3】（2026·高三·湖北·阶段检测）已知等差数列满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】由等差数列的性质，，由题知，则. 【解题总结】 如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求的值． 题型四：等差数列前 n 项和 【典例4-1】（2026·高三·北京西城·阶段检测）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为，，前项和为， 则，，， 由条件可知，，即， 整理为，得或（舍）， 则前6项的和. 【典例4-2】（2026·高三·北京西城·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，，则的公差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为，因为，得到， 所以，又，所以，解得. 【变式4-1】（2026·浙江·模拟预测）已知数列满足，，对于，，是数列的前项和，则（    ） A．5100 B．4999 C．5202 D．5000 【答案】A 【解析】由题意得，对，， 可知数列的奇数项构成等差数列，偶数项也构成等差数列，二者公差都为， 前项中，奇数项为，共项。首项，公差， 奇数项的和为， 偶数项为，共项，首项，公差， 偶数项的和为， 数列前项和为. 【变式4-2】（2026·高三·辽宁沈阳·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，不妨设，，其中， 所以 【变式4-3】已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一：因为等差数列的前项和为，由片段和性质可知 、、、也成等差数列. 因为，，所以， 所以，， 所以 ，. 方法二：因为等差数列中，， 所以，解得， 所以. 【解题总结】 在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列． 题型五：前n项和最值 【典例5-1】（2026·浙江·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则当取到最大值时，（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设数列的公差为， 因为， 所以， 所以，又， 所以，故 所以， 所以当时，取得最大值. 【典例5-2】（2026·高三·江西南昌·期末）设是等差数列的前n项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意等差数列的公差， 则，当时等号成立． 故选：B 【变式5-1】（2026·高三·辽宁沈阳·阶段检测）在等差数列中，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．满足的的最大值为 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为，则，解得：； 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，， 当或时，，C正确； 对于D，由得：， 又，满足的的最大值为，D错误. 故选：D. 【变式5-2】设是等差数列的前项和，且，，则使得取最小值时的为（    ） A．6 B．7 C．6或7 D．8 【答案】A 【解析】因为数列为等差数列，设数列的公差为， 又，，则①，②， 由①②解得，所以， 当时，取最小值为， 故选：A. 【变式5-3】等差数列中，已知，前n项和为，且，则最小时n的值为（    ） A．11 B．11或12 C．12 D．12或13 【答案】C 【解析】根据题意由可得， 整理可得. 所以， 由，可得； 由二次函数性质可知，当时，取最小时. 故选：C 【解题总结】 求等差数列前项和最值的2种方法 （1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． （2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值； ②若，则满足的项数使得取得最小值． 题型六：奇偶项和问题 【典例6-1】某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 【答案】B 【解析】由题可知，， 根据等差数列的性质可知，所以，所以， 同理，根据等差数列性质可得. 【典例6-2】（2026·江西赣州·二模）在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 【答案】A 【解析】解:因为等差数列中，，， 所以， 即， 所以 【变式6-1】已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 由题知；， 所以， 因为， 所以，即项数为. 【变式6-2】已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】B 【解析】设等差数列共项，则奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列， 所有偶数项之和为，所有奇数项之和为， 则，所以20，则． 【变式6-3】（2026·高三·天津河西·期末）在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 【答案】C 【解析】因为， 所以. 故选：C. 【解题总结】 ①若数列共有项，则（为中间项），，；，； ②若数列共有项，则S2n＝n(an＋an＋1)（，为中间两项），，＝． 题型七：数列不等关系 【典例7-1】（多选题）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为31 【答案】ACD 【解析】对于A，设等差数列首项为，公差为， 则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得， 由，可得， 所以取得最小正值时为31，故D正确. 【典例7-2】（多选题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．中的最小项为 【答案】AB 【解析】对于：因为，所以， 因为，所以，所以， 且0，所以数列是递减的等差数列， 且， 则当时，最大，故正确； 对于C:由上述分析可知，当时，递减， 且， 所以使得成立的最小自然数，故错误； 对于：因为当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，所以； 且， 则有， 所以，即， 所以中的最小项为，故D错误. 故选：AB. 【变式7-1】（多选题）（青海西宁市青海师范大学附属第二实验中学2025-2026学年高三年级十一月月考数学试卷）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．使成立的最大正整数为 D． 【答案】ABD 【解析】设等差数列的公差为，由 得 ， 即 ，整理得 ，解得. 所以，， A： ，正确. B： ，当时取最小值，正确. C：由 且为正整数得 ， 故使成立的最大正整数为（ ，而不小于），C错误. D： ，正确. 【变式7-2】（多选题）（2026·高三·广东肇庆·开学考试）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递减数列 B． C． D．的最大值为 【答案】BC 【解析】在等差数列中，，则，B正确； 等差数列的公差，数列为递增数列，A错误； ，C正确. 当时，，当时，，因此的最小值为，D错误. 【变式7-3】（多选题）（2026·高三·湖北·阶段检测）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（     ） A．， B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 【答案】BCD 【解析】由得由得 故，因此公差， 由得 对于A选项：由于，且，所以，所以A错误； 对于B选项：因为，所以此数列为递增数列， 又，所以前项均为负数，15项以后均为正数， 所以当时，最小，所以B正确； 对于C选项：，而，故， 又，因为，所以， 又数列为递增数列，所以使的最小自然数为，所以C正确； 对于D选项：， 因为，所以；因为 ，所以， 所以，， 要证，即 而由，得，所以D正确. 【解题总结】 （1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”． （2）数列的单调性与，的单调性不完全一致． 一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”． 题型八：恒成立问题 【典例8-1】（2026·高三·北京平谷·阶段检测）公差为的等差数列的前项和为．若，则______，使得对所有都成立的一个的取值为_________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【解析】由数列是公差为的等差数列， 则，解得； 由，则等差数列为递减数列， 又对所有都成立，即为前项和的最大值， 即该数列的前项非负，第项及后面的项非正， 即，解得， 所以的一个取值为（答案不唯一，满足即可）． 【典例8-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为________． 【答案】 【解析】数列是公差为d的等差数列，设， 由，得，解得，则， 由对任意的恒成立，得. 所以公差d的取值范围为． 故答案为： 【变式8-1】（2026·高三·陕西咸阳·阶段检测）已知数列的前n项和为，且，，若对任意的，等式恒成立，则________． 【答案】/ 【解析】因为，所以当时，有， 两式相减得，所以， 所以数列是以m为首项，1为公差的等差数列， 所以，， 则， 所以， 又因为对任意的，等式恒成立，所以， 解得，，所以. 故答案为：. 【变式8-2】已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由，平方得， 又等差数列中有， 所以， 所以，由于，得， 则，即对任意恒成立， 设， 根据对勾函数性质，当时该式子取得最小值，此时，而， 所以，故． 【变式8-3】（2026·四川巴中·模拟预测）设数列的前项和为，且，若恒成立，则的最大值是___________. 【答案】 【解析】因为，所以， 所以数列是常数列，则，可得，故， 因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，设，则，从而， 当时，，当时，， 因为，所以的最小值是，即， 所以实数的最大值为. 故答案为：. 【解题总结】 等差数列中的范围与恒成立问题是数列研究的重要方面。这类问题通常涉及数列的通项公式、前n项和公式以及不等式性质的应用。解决这类问题时，需要首先根据题意设定合适的变量，建立等差数列的通项或前n项和的不等式，然后利用不等式的性质进行推导，最终确定变量的取值范围，使得原不等式恒成立。 题型九：等差数列证明 【典例9-1】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式，并证明为等差数列； (2)若，求． 【解析】（1）令可得：，即. 当时，由，可得， 两式相减可得， 不满足，所以的通项公式为. （2）由（1）知，当时， ， 所以. 【典例9-2】数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求． 【解析】（1）证明：因为，所以数列是等差数列 （2）由（1）知，数列是以为首项，2为公差的等差数列，故，解得． 【变式9-1】（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）设数列，对任意，令，已知，对任意整数，均有． (1)证明：，，三项成等差数列； (2)证明：对任意整数，均有； (3)数列是否为等差数列?并说明理由． 【解析】（1）证明： 由题意得 ， 对任意，，且前项和 要证成等差数列，只需证， 当时，代入递推式得， 又，， 代入得： ，化简得， 两边同乘3得，整理得， 因为， 所以，故成等差数列，证毕.； （2）证明： 因为数列，对任意，令 所以，对任意，，，， 所以，前项和， 所以①， 因为，对任意，②， 将②代入①得：， 移项化简得，证毕.； （3）数列是等差数列，理由如下： 由（2）的结论，对任意整数，均有， 令（），得， 因为， 所以， 验证时也成立， 所以，对所有， ， 当时， ， 两式相减得： ， 展开整理得， 令，代入上式得（）， 可变形为， 又因为当时，，即 所以数列在时为常数列，即， 所以时，，其中为常数，（显然时也成立）， 所以，，即是首项为1，公差为的等差数列. 【变式9-2】已知数列满足，，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． 【解析】当时，， 所以（因为若，则，这与矛盾）. ∴（常数）． 又．∴数列是首项为1，公差为1的等差数列． ∴，∴． 【变式9-3】（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）已知数列中，． (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前项积为，求数列的前项和． 【解析】（1）证明： 因为， 所以， 等式两边同除以， 得，即， 又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）知 得， 则， 则， 所以 两式相减得 所以． 【解题总结】 判断数列是等差数列的常用方法 （1）定义法：对任意是周一常数． （2）等差中项法：对任意，湍足． （3）通项公式法：对任意，都满足为常数）． （4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）． 题型十：绝对值问题 【典例10-1】（2026·高三·天津河西·阶段检测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，证明数列是等比数列，并求数列的前项和； (3)记，求数列的前n项和． 【解析】（1）设等差数列公差为， 展开第二个方程：， 因为，所以， 代入， ， ， 故. （2）， ， ， 令， ，所以是首项，公比的等比数列， 前项和： （3），， ①当时，，， 是首项，公差为的等差数列： ， ②当时，前项和， 当时，，从第项开始，首项，公差为， ，， ，， 综上，. 【典例10-2】（2026·吉林长春·模拟预测）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和的值. 【解析】（1）当时，， 当时，， 当时，， 所以数列的通项公式为 （2）令，则， 所以当时，，当时，， 所以 . 【变式10-1】（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【解析】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 显然满足式，所以； （2）由（1）可得时，时， 所以当时，所以， 当时，所以 ， 所以. 【变式10-2】（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）设公差为，公比为，， 故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2）令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，， 则， 当时，，则 ， 综上：. 【变式10-3】（2026·高三·河南信阳·期末）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项的和. 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，， 由，得，解得， 所以的通项公式为，的通项公式为. （2）由（1）得，则 当时，； 当时， ， 所以. 【解题总结】 由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下： （1）首先找出零值或者符号由正变负的项 （2）在对进行讨论，当时，，当时， 1．（2026·高三·天津河西·阶段检测）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则n的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】要使满足的n取得最大值，则首项取得最小值，取得最小值， 因为是各项均为整数的递增数列，且，所以设是以为首项，为公差的递增数列， 则，即，因为，解得，可知， 当数列前项分别为时，满足，所以n的最大值为. 2．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知公差为的等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， 又由等差数列前项和公式， ，解得． 3．（2026·高三·北京海淀·阶段检测）已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．97 B．98 C．99 D．100 【答案】C 【解析】由，，可得，所以，等式两边同除，有，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以， 所以， 记，则，所以为递增数列，所以， 所以. 4．（2026·高三·青海西宁·阶段检测）已知等差数列 中，，，则数列的前 项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等差数列 的公差为． 由得，所以． 于是， ． 5．（2026·高三·福建福州·阶段检测）在各项均不为零的数列中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知各项均不为零的数列满足， 两边同时除以得 设，则，故为等差数列. 因为，所以， 所以，数列的公差， 所以， 所以 6．（2026·高三·云南·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，，则数列的前11项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】等差数列的公差为：， 则， ， 则数列的前11项和为：. 7．已知正项等比数列中，，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为成等差数列，所以， 因为是正项等比数列，设公比为，且， 所以，因为， 所以，解得：或（舍去）， 因此. 8．（2026·高三·贵州毕节·开学考试）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【解析】由，可得，又， 所以，即， 所以， 所以. 9．（多选题）（2026·高三·辽宁·阶段检测）在等差数列中，，．记为数列的前项和，且．从数列中去掉与数列中相同的项后，按从小到大的顺序排列组成新数列，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D．当是3的倍数时，被6整除的余数为0或1 【答案】BCD 【解析】对于A选项，由等差数列的性质可知，，解得，故A选项错误； 对于B选项，由，得， 两式相减得，所以， 则，当时，，即，解得， 则，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，则，所以，故B选项正确； 对于C选项，设等差数列的公差为，则有，解得， 则的通项公式为，则，又，， ， 所以，故C选项正确； 对于D选项，因为，所以前项中包含了前项， 剩余项数为， 所以 有， 其中， 显然除了外其余各项都能被整除，故整体记为(为整数)， 同理， 除了最后一项外其余各项都能被整除，整体记为(为整数)， 则有， 即， 因为是的倍数，则也是的倍数， ，因为不影响整除性，所以是3的倍数， 若为偶数，，代入可得， 因为是的倍数，所以是的倍数，结合为偶数，此时必然是的倍数， 此时被6整除的余数为， 若为奇数，，代入可得， 因为是的倍数，所以(为正整数)， 由于为奇数，则为奇数，则为奇数，设(为非负整数)， 代入得，解得，此时被6整除的余数为， 综上， 当是3的倍数时，被6整除的余数为或，故D项正确. 10．（多选题）（2026·高三·云南德宏·开学考试）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C．是等比数列 D．是递增数列 【答案】ABD 【解析】， 所以公差， 所以， 从而，故A和D正确； ，所以，为等差数列，故B正确，C错误. 11．（多选题）（2026·高三·广西·阶段检测）已知等差数列的前n项和为，前n项积为.若，，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】已知是等差数列，设公差为： 选项，由等差数列通项公式，代入，： ， 解得，，因此，错误； 选项，，看作关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 因为取正整数，比较和可知当时取得最小值：，正确； 选项，由，令得，即前8项均为负，从第项开始均为正数，因此的最小值为，正确； 选项，由选项知数列的前8项均为负，因此是7个负数相乘，结果为负，而是8个负数相乘，结果为正. 当时，均为正数，此时恒为正数.因此的最小值为，正确. 12．（2026·高三·天津河西·阶段检测）已知数列，满足，其中是等差数列且，则______，且______． 【答案】 1 1013 【解析】由题可知：， 所以 因为数列是等差数列，，所以， 所以. 13．（2026·高三·山西·阶段检测）已知函数，若等差数列的前n项和为Sn，且，，则______． 【答案】4052 【解析】函数，令， 其定义域为，又，所以为奇函数， 又在为单调增函数，在为单调增函数， 所以在单调递增， 又在为单调增函数，所以在上为单调增函数， 因为为上的奇函数，所以在上为单调增函数， 因为，，所以， ，则，即； 所以． 14．（2026·高三·辽宁·阶段检测）已知二次函数的两个零点为，，若，，三个数适当调整顺序后既可为等差数列，也可为等比数列，则b的值为______． 【答案】5 【解析】由题意得，，所以. 因为，，三个数适当调整顺序后可为等比数列，则一定为中间项， 所以，则. 因为，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，所以为最小的项， 所以，即.代入中得，， 整理得，解得或（舍去）， 所以. 故. 15．（2026·高三·山东青岛·阶段检测）已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中. (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前n项的和. 【解析】（1）因为点在直线上，所以， 因为点在直线上，所以， 将代入上式得：， 又因为，所以， 又已知，由得，解得， 由得， 因此数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，故. （2）在与之间插入n个数，使这个数组成等差数列， 则这个等差数列的公差为，由等差数列通项公式知， 将代入得， 解得，从而得到， 则数列的前n项和为：①， 将①两边同乘得②， 用①式减去②式（错位相减法）得③， 将代入③得 ④， ④两边同乘2得， 故数列前n项的和. 16．（2026·高三·陕西西安·阶段检测）记为数列的前项和，是首项与公差均为的等差数列， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项的和 【解析】（1）因为是首项与公差均为1的等差数列， ， 则，当时，， 两式相减得，当时，，也满足上式， 故数列的通项公式为. （2）由（1）得， 所以数列的前2026项的和为 . 17．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）已知等差数列，若，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为， ∵，∴① ∵，，成等比数列，∴， ∴化简得，即. 若，； 若，②，由①②可得，，. 所以数列的通项公式是或. （2）因为，由（1）结论可知不符合题意， 则，， 所以， ∴ . 18．（2026·高三·北京丰台·阶段检测）已知为数列的前项和，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【解析】（1）当 时，由及，得， 所以，数列 是公比为 的等比数列． 由，，成等差数列，得． 又，所以，从而 ． 故． （2）由（1）得，所以． 于是． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $