5.3 复数讲义（8大题型归纳）-2027届高三数学一轮复习（新高考专用）

5.3 复数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、复数的概念 3 知识点二、复数的四则运算 3 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 9 题型一：复数基础概念 9 题型二：复数四则运算 10 题型三：共轭复数与复数相等 11 题型四：复数几何意义 12 题型五：复数最值问题 13 题型六：复数模运算 15 题型七：复数方程 17 题型八：复数三角形式 19 05 课后拓展精练 22 知识点一、复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 知识点二、复数的四则运算 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 3、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 1．（2026年高考北京卷数学高考真题）已知复数，，则（     ） A． B．2 C． D．8 【答案】C 【解析】由题意， 则. 2．（2026年高考上海卷数学高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，， 则，， 当和伴随，有或， 又，， 若和伴随，则或， 所以和伴随的充要条件是，即. 3．（2026年高考全国2卷数学高考真题）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 4．已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【来源】2025年高考北京卷数学真题 【解析】由可得，，所以， 故选：B. 5．（2025年高考全国二卷数学真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，所以. 故选：A. 6．（2025年高考全国一卷数学真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【解析】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 7．（2024年北京高考数学真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得. 故选：C. 8．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】依题意得，，故. 故选：D 9．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【解析】由，则. 故选：A 10．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】若，则. 故选：C. 11．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 故选：C. 12．（多选题）（2026年高考全国1卷数学高考真题）设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 13．（2026年高考天津卷数学高考真题）化简__________． 【答案】 【解析】. 14．已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【来源】2025年高考天津卷数学真题 【解析】先由题得，所以. 故答案为： 15．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知复数z满足，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 16．（2024年天津高考数学真题）是虚数单位，复数______． 【答案】 【解析】. 故答案为：. 题型一：复数基础概念 【典例1-1】（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是虚数单位，若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，则的虚部为. 【典例1-2】（2026·高三·甘肃天水·阶段检测）复数的实部为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，其实部为3. 【变式1-1】（2026·高三·贵州贵阳·阶段检测）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，因此，因此的虚部为. 【变式1-2】（2026·高三·北京西城·开学考试）若复数是纯虚数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为复数为纯虚数，故， 解得，综上． 【变式1-3】（2026·云南玉溪·模拟预测）复数是实数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 【答案】B 【解析】由题意可得，解得. 【解题总结】 无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚． 题型二：复数四则运算 【典例2-1】（2026·高三·辽宁阜新·开学考试）若为虚数单位，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，其中， 所以. 【典例2-2】（2026·安徽·模拟预测）若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 化简得； 故. 【变式2-1】（2026·高三·湖南·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以 . 【变式2-2】（2026·高三·河北衡水·阶段检测）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因此的虚部为. 【变式2-3】（2026·陕西·三模）已知复数（为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知，，； 则． 【解题总结】 设，则 （1） （2） （3） 题型三：共轭复数与复数相等 【典例3-1】（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）已知复数，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，则=. 【典例3-2】（2026·高三·贵州毕节·阶段检测）的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以共轭复数为. 【变式3-1】（2026·高三·河南·开学考试）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则． 由，得， 所以，解得，故． 【变式3-2】（2026·高三·浙江杭州·开学考试）若，其中，为虚数单位，则（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由，故. 【变式3-3】（2026·江苏·模拟预测）已知，则（      ） A．2 B．4 C．12 D．16 【答案】D 【解析】由，可得， 所以. 【解题总结】 复数相等： 共轭复数：． 题型四：复数几何意义 【典例4-1】（2026·高三·北京海淀·阶段检测）复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】， 则复数在复平面内对应的点为， 则复数在复平面内对应的点位于第三象限. 【典例4-2】（2026·高三·重庆·阶段检测）在复平面内，复数对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】. 所以复数对应的点为，横坐标，纵坐标均为负数，该点位于第三象限. 【变式4-1】（2026·高三·河北石家庄·阶段检测）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】， 因为，所以在复平面内对应的点位于第一象限 【变式4-2】（2026·高三·河北沧州·阶段检测）已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由，则复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 【变式4-3】（2026·河南·模拟预测）已知复数满足，则在复平面内，对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】，. 复数在复平面内对应的点为，对应的象限为第二象限. 【解题总结】 复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点． 题型五：复数最值问题 【典例5-1】（2026·广西·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由，则复平面内复数所对应的点到定点的距离为2， 则点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 而表示点到原点的距离，则的最小值为. 【典例5-2】（2026·高三·广东珠海·阶段检测）设，则，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以复数在复平面内对应点， 由得， 即点的轨迹是复平面内以为圆心，半径为的圆， 又表示复平面内的点到的距离， 所以的最小值为圆心到原点的距离减半径， 即， 故选：C. 【变式5-1】（2026·高三·四川成都·期中）在复平面内，复数的虚部为3，复数满足条件 ，则的最小值为（    ） A．0 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由复数的虚部为3，可知在复平面内，复数对应的点在直线上， 又复数满足条件，可得复数表示的点在以为圆心，半径为1的圆上. 而则表示直线上的点到圆的点的距离. 如图所示，则当点共线(在之间)且与直线垂直时距离最小， 最小值为. 故选：B. 【变式5-2】若复数满足，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】设， 因为， 则， 即点到和的距离之和为4，且大于2， 所以点在以和为焦点的椭圆上，且， 椭圆方程为， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式5-3】若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4， 则的最大值为． 【解题总结】 利用几何意义进行转化 题型六：复数模运算 【典例6-1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由复数，所以. 【典例6-2】（2026·高三·陕西西安·阶段检测）若复数，，在复平面内对应的三个点构成一个正三角形，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【解析】由题意得复数，在复平面内对应的点分别为，， 由于，，在复平面内对应的三个点构成一个正三角形， 如图所示，复数在复平面内对应的点为或， 显然两种情况对应的值相等，不妨只考虑对应点的情况， 过点作轴于点， 由于，则，， 故点的坐标为，因此． 【变式6-1】（2026·高三·山东聊城·阶段检测）设为共轭复数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为共轭复数，设，（）. ，由得 . 另一方面，， 因为，所以虚部为0，即. 已知，否则与题设矛盾，因此. 因此 . 【变式6-2】若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一：设， 因为复数满足，即， 化简得，所以，解方程组得或， 所以. 法二：由求根公式可得，所以. 【变式6-3】已知复数z的共轭复数为，且，则（     ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【解析】设，，，则，， 所以，， 因为，所以，， 则，解得，故，. 【解题总结】 题型七：复数方程 【典例7-1】（2026·高三·黑龙江·阶段检测）已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是关于的方程的一个根， 所以，所以，解得， 故选：C 【典例7-2】（2026·高三·上海浦东新·阶段检测）已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为方程有两个虚根，所以，解不等式可得， 由求根公式可得方程的两个虚根为：， 设，， 则， 根据复数的模的计算公式可得， 已知，即，解得，满足. 故选：B. 【变式7-1】已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 所以， 因为为纯虚数，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 【变式7-2】已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B 【变式7-3】若是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得关于的方程的另一个根为， 则，解得． 故选：D. 【解题总结】 复数方程是包含复数的方程，其中复数具有实部和虚部。解复数方程时，通常将利用复数的代数形式及三角形式进行求解。 题型八：复数三角形式 【典例8-1】（2026·山东潍坊·三模）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由复数乘法的几何意义，复数对应的向量绕原点顺时针旋转后， 所得向量对应的复数为，即. 因此，，分子分母同乘，得. 【典例8-2】欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意， 【变式8-1】（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 又，， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 【变式8-2】（2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一：复数对应的向量为，则， 向量与轴正半轴夹角为， 设该向量绕原点沿顺时针方向旋转后所得向量坐标为， 则，， 即所得向量坐标为，故旋转后的向量对应的复数为； 法二：复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转后的向量对应的复数为： . 【变式8-3】（2026·高三·湖北武汉·阶段检测）已知复数，其中为虚数单位，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知. 故选：C. 【解题总结】 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 1．（2026·高三·广西柳州·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以. 2．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知复数，则的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， . 3．（2026·湖南衡阳·一模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，故． 4．（2026·高三·重庆九龙坡·阶段检测）复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】5．（2026·高三·湖北荆州·阶段检测）已知复数（为虚数单位，），则“”是“为实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：由，得或. 当，时，是纯虚数，所以充分性不成立. 必要性：若为实数，则，此时，所以必要性成立. 综上，“”是“为实数”的必要不充分条件. 5．（2026·江苏泰州·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因， 则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限. 6．（2026·高三·江苏泰州·期末）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由题意得，在复平面内对应的点为，位于第三象限. 7．（2026·江苏泰州·二模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】因为，所以， 则 8．（2026·高三·广东·开学考试）已知为纯虚数，且的实部为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设且， 则， 所以，解得 ， 则． 9．（多选题）（2026·高三·山东烟台·阶段检测）设、为复数，则下列命题正确的是（） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则z在复平面对应的点在一条直线上 【答案】BD 【解析】对于A，令，，则，此时，A错误； 对于B，设，， 则， 所以，即，则； 若，则成立，此时； 若，，由知；由知：，此时； 同理可知：当，时，； 若，，由得：，则，此时； 综上所述：若，则或，B正确； 对于C，令，，则，此时，C错误； 对于D，设，，， 三点在复平面内的对应点分别为 则，， 由，可得， 所以在复平面内动点到定点与之间的距离相等， 所以动点一定在线段的垂直平分线上， 即z在复平面对应的点在一条直线上，故D正确． 10．（多选题）已知满足，且在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AC 【解析】设，则， 所以，整理得，故A项正确，B项错误； 由前面知对应点的轨迹为直线，则的最小值为原点到该直线的距离， 所以，故C项正确，D项错误． 11．（多选题）（2026·高三·江西宜春·阶段检测）若，，复数的虚部为2，则的实部可能为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】BCD 【解析】， 已知，，复数的虚部为2，即， 则复数实部， 当且仅当，即时取等号， 故的实部大于等于4． 12．（多选题）（2026·高三·河北保定·阶段检测）若复数z满足，其中i是虚数单位，则（    ） A．z的虚部为3 B．在复平面内，z对应的点在直线上 C． D． 【答案】BCD 【解析】由得，所以，z的虚部为，A选项错误； 在复平面内，z对应的点为，该点在直线上，B选项正确； ，所以，C选项正确； ，D选项正确. 13．（多选题）（2026·高三·江西·开学考试）已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则（    ） A． B．是纯虚数 C． D．复数在复平面内的对应点位于第四象限 【答案】ACD 【解析】∵ 复数在复平面内的对应点为，∴ 的坐标为. ∵ ，∴ 点的坐标为，即. 选项A：，正确. 选项B：，为实数，不是纯虚数，错误. 选项C：，则，正确. 选项D：，其在复平面内对应点为，位于第四象限，故D正确. 14．（2026·高三·湖南·阶段检测）方程有两个根，，则________． 【答案】 【解析】根据方程，，复数韦达定理成立：，， 求根：， 若，， 利用复数模性质：， ， ，， 即； 若，， 利用复数模性质：， ， ，， 即. 15．（2026·高三·浙江杭州·阶段检测）已知是正实数，复数，，若的实部与虚部相等，则的最小值为________. 【答案】/ 【解析】， 由题意可得，所以， 所以，解得或（舍去）， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 16．已知复数z满足，是虚数单位，则的最大值为_________． 【答案】37 【解析】因为，令，则，. 令， 则， （其中满足）， 所以，当时，取得最大值，且. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 复数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、复数的概念 3 知识点二、复数的四则运算 3 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 7 题型一：复数基础概念 7 题型二：复数四则运算 7 题型三：共轭复数与复数相等 8 题型四：复数几何意义 9 题型五：复数最值问题 9 题型六：复数模运算 10 题型七：复数方程 10 题型八：复数三角形式 11 05 课后拓展精练 13 知识点一、复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 知识点二、复数的四则运算 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 3、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 1．（2026年高考北京卷数学高考真题）已知复数，，则（     ） A． B．2 C． D．8 2．（2026年高考上海卷数学高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 3．（2026年高考全国2卷数学高考真题）（     ） A． B． C． D． 4．已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 5．（2025年高考全国二卷数学真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 6．（2025年高考全国一卷数学真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 7．（2024年北京高考数学真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 8．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 9．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 10．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 11．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2026年高考全国1卷数学高考真题）设，则（     ） A． B． C． D． 13．（2026年高考天津卷数学高考真题）化简__________． 14．已知i是虚数单位，则 ________． 15．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知复数z满足，则的最小值是_________． 16．（2024年天津高考数学真题）是虚数单位，复数______． 题型一：复数基础概念 【典例1-1】（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是虚数单位，若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高三·甘肃天水·阶段检测）复数的实部为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高三·贵州贵阳·阶段检测）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高三·北京西城·开学考试）若复数是纯虚数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·云南玉溪·模拟预测）复数是实数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 【解题总结】 无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚． 题型二：复数四则运算 【典例2-1】（2026·高三·辽宁阜新·开学考试）若为虚数单位，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·安徽·模拟预测）若复数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高三·湖南·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高三·河北衡水·阶段检测）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·陕西·三模）已知复数（为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 【解题总结】 设，则 （1） （2） （3） 题型三：共轭复数与复数相等 【典例3-1】（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）已知复数，则=（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高三·贵州毕节·阶段检测）的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高三·河南·开学考试）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高三·浙江杭州·开学考试）若，其中，为虚数单位，则（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-3】（2026·江苏·模拟预测）已知，则（      ） A．2 B．4 C．12 D．16 【解题总结】 复数相等： 共轭复数：． 题型四：复数几何意义 【典例4-1】（2026·高三·北京海淀·阶段检测）复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例4-2】（2026·高三·重庆·阶段检测）在复平面内，复数对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】（2026·高三·河北石家庄·阶段检测）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】（2026·高三·河北沧州·阶段检测）已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-3】（2026·河南·模拟预测）已知复数满足，则在复平面内，对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题总结】 复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点． 题型五：复数最值问题 【典例5-1】（2026·广西·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【典例5-2】（2026·高三·广东珠海·阶段检测）设，则，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高三·四川成都·期中）在复平面内，复数的虚部为3，复数满足条件 ，则的最小值为（    ） A．0 B．4 C．5 D．6 【变式5-2】若复数满足，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C． D．1 【变式5-3】若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题总结】 利用几何意义进行转化 题型六：复数模运算 【典例6-1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·高三·陕西西安·阶段检测）若复数，，在复平面内对应的三个点构成一个正三角形，则（    ） A． B． C． D．5 【变式6-1】（2026·高三·山东聊城·阶段检测）设为共轭复数，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知复数z的共轭复数为，且，则（     ） A． B．5 C． D．6 【解题总结】 题型七：复数方程 【典例7-1】（2026·高三·黑龙江·阶段检测）已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2026·高三·上海浦东新·阶段检测）已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式7-1】已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ）. A． B． C． D． 【变式7-2】已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】若是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 复数方程是包含复数的方程，其中复数具有实部和虚部。解复数方程时，通常将利用复数的代数形式及三角形式进行求解。 题型八：复数三角形式 【典例8-1】（2026·山东潍坊·三模）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（     ） A． B． C． D． 【典例8-2】欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式8-2】（2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·高三·湖北武汉·阶段检测）已知复数，其中为虚数单位，则（   ） A．1 B． C． D． 【解题总结】 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 1．（2026·高三·广西柳州·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知复数，则的模为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南衡阳·一模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高三·重庆九龙坡·阶段检测）复数，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏泰州·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2026·高三·江苏泰州·期末）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2026·江苏泰州·二模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D．2 8．（2026·高三·广东·开学考试）已知为纯虚数，且的实部为，则（     ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高三·山东烟台·阶段检测）设、为复数，则下列命题正确的是（） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则z在复平面对应的点在一条直线上 10．（多选题）已知满足，且在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 11．（多选题）（2026·高三·江西宜春·阶段检测）若，，复数的虚部为2，则的实部可能为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 12．（多选题）（2026·高三·河北保定·阶段检测）若复数z满足，其中i是虚数单位，则（    ） A．z的虚部为3 B．在复平面内，z对应的点在直线上 C． D． 13．（多选题）（2026·高三·江西·开学考试）已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则（    ） A． B．是纯虚数 C． D．复数在复平面内的对应点位于第四象限 14．（2026·高三·湖南·阶段检测）方程有两个根，，则________． 15．（2026·高三·浙江杭州·阶段检测）已知是正实数，复数，，若的实部与虚部相等，则的最小值为________. 16．已知复数z满足，是虚数单位，则的最大值为_________． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $