9.1 计数原理与排列组合（7大考点+10大题型）（讲义+精练）-2027届新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦计数原理与排列组合核心考点，按课标要求梳理两个计数原理、排列组合概念及综合应用等知识点，构建“原理-概念-应用”逻辑体系。通过主干知识落实、十种核心题型探究（含典例与变式）、课时精练三阶教学环节，帮助学生突破解题难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义以高考真题为载体，创新采用“题型归类+方法提炼”教学策略，如插空法通过典例分析不相邻元素排列逻辑，变式训练强化应用，培养学生数学思维与逻辑推理能力。分层练习设计满足不同学生需求，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生解题效率与应考能力。

9.1 计数原理与排列组合 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点1、分类加法计数原理 3 知识点2、分步乘法计数原理 3 知识点3、两个计数原理的综合应用 4 知识点4、排列与排列数 4 知识点5、组合与组合数 4 知识点6、排列和组合的区别 5 知识点7、解决排列组合综合问题的一般过程 5 03 探究核心题型 6 题型一：两个计数原理的综合运用 6 题型二：捆绑法的解题技巧与应用 6 题型三：插空法的解题思路与实例 7 题型四：定序问题的求解方法 7 题型五：多面手问题的解题策略 8 题型六：错位排列的规律与应用 9 题型七：涂色问题的分类求解 9 题型八：分组与分配问题的解题方法 10 题型九：隔板法的适用场景与解法 10 题型十：计数原理在几何问题中的应用 11 04 课时精练 12 1、理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2、理解排列、组合的概念. 3、能利用计数原理、排列组合解决简单的实际问题. 知识点1、分类加法计数原理 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的办法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 知识点2、分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法. 注意：两个原理及其区别 分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有类办法，这类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理. 分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理. 当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法. 知识点3、两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 知识点4、排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． （2）排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． （3）排列数的性质： ①；②；③． （4）解排列应用题的基本思路： 通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）． 注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用． 知识点5、组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数公式及其推导 求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数； 根据分步计数原理，得到； 因此． 这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：①；②． （4）组合应用题的常见题型： ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型 ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型 知识点6、排列和组合的区别 组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 知识点7、解决排列组合综合问题的一般过程 1、认真审题，确定要做什么事； 2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步； 3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素； 4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略． 题型一：两个计数原理的综合运用 【典例1-1】（2026·广西桂林·模拟预测）由数字0，1，2组成的五位数的正整数中，偶数的个数共有（   ） A．54 B．69 C．108 D．160 【典例1-2】（2026·河北保定·模拟预测）某历史文化街区春节期间客流量较大，特安排包括甲在内的6名志愿者在A，B，C三个重要路口进行执勤，疏导客流，若每个路口安排两人，且甲只能被安排在路口C，则不同的安排方法数为（    ） A．30 B．50 C．60 D．75 【变式1-1】（2026·高三·湖南·阶段检测）从4名男生和3名女生中选4人组成学习小组，要求男生甲和女生乙要么都选，要么都不选，则不同的选法共有（    ） A．15种 B．18种 C．24种 D．30种 【变式1-2】（2026·吉林·三模）2025年世界机器人大赛总决赛在江苏无锡圆满落幕，某参赛小队有1名指导老师，2名男生和2名女生，比赛结束后5人站成一排合影，则指导老师不在两端的不同排法总数为（    ） A．120 B．96 C．72 D．36 【变式1-3】（2026·浙江·二模）从数字0，1，2，3，4中任取3个构成的无重复数字的3位数，其中能被3整除的偶数共有（   ） A．13个 B．15个 C．16个 D．18个 题型二：捆绑法的解题技巧与应用 【典例2-1】（2026·重庆渝中·三模）给某班级星期一上午排课，一共 5 节课，语数外各一节，体育课两节（两节体育课相同），要求两节体育课必须相邻， 则不同的排课种数有（    ） A．48 B．60 C．24 D．12 【典例2-2】（2026·吉林延边·三模）春节期间四位同学回母校看望两位老师，看望结束合影留念，若两位老师相邻，则不同的排法种数共有（    ） A．240 B．300 C．360 D．480 【变式2-1】（2026·江西萍乡·二模）某同学需将、、、、这个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）某文艺演出共有六个节目，其中节目甲须被安排在前两个节目演出，节目乙、丙必须前后出场，则这六个节目不同的安排方法共有（   ） A．68种 B．72种 C．84种 D．96种 【变式2-3】（2026·山东泰安·模拟预测）5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．96 题型三：插空法的解题思路与实例 【典例3-1】（2026·河南安阳·模拟预测）某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．96种 D．120种 【典例3-2】某班一天上午有5节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、生物及体育这7门课的课程表，每门学科各一节课，要求数学课与物理课不相邻（上午第五节与下午第一节不算相邻），且体育课排在下午，则不同排法有（    ） A．960种 B．1056种 C．3600种 D．5040种 【变式3-1】一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有（   ）种. A．48 B．60 C．90 D．120 【变式3-2】已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3-3】（2026·陕西榆林·模拟预测）某小型话剧表演结束后6名演员（含甲、乙）排成一排谢幕，若演员甲、乙不相邻，则不同的排法种数有（   ） A．360 B．480 C．504 D．720 题型四：定序问题的求解方法 【典例4-1】（2026·西藏日喀则·模拟预测）2024年12月20日是澳门回归祖国25周年纪念日，现把2024、12、20、25这四个数组成一个十位数的偶数，保持这四个数中原有数字必须相邻，且顺序不变，则这样的十位数的偶数的个数为（   ） A．12 B．16 C．18 D．24 【典例4-2】重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（   ） A．10 B．20 C．60 D．30 【变式4-1】现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 【变式4-2】甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（   ） A．144种 B．108种 C．120种 D．360种 【变式4-3】某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（   ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 题型五：多面手问题的解题策略 【典例5-1】有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【典例5-2】有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有  （ ） A．种 B．种 C．种 D．72种 【变式5-1】我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 【变式5-2】某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【变式5-3】某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 题型六：错位排列的规律与应用 【典例6-1】五名护士上班前将外衣放在护士站，下班后回护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有两人拿到了自己的外衣，另外三人拿到别人外衣的情况有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【典例6-2】6名运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服，由于灯光暗淡，有一部分队员拿错了外衣，其中只有2人拿到自己的外衣，且另外的4人拿到别人的外衣种数为______． 【变式6-1】一位老师随机分发六位同学的作业，恰好只有二位同学拿到自己的作业，则不同的分发数是_____. 【变式6-2】甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为_____． 题型七：涂色问题的分类求解 【典例7-1】（2026·山东泰安·模拟预测）某公园计划建造一个如图所示的花圃，每个小格的土地种植玫瑰、百合、郁金香三种花中的一种，且每个小格相邻（有公共边）的所有小格中恰有两格与该小格均为同类花，则所有的种植方案共有______种． 【典例7-2】（2026·浙江杭州·二模）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______. 【变式7-1】将一个边形的每个顶点随机染成红、蓝、黄三种颜色之一，且要求相邻顶点的颜色不同，则可能的染色方式有___________种． 【变式7-2】（2026·贵州六盘水·一模）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为_________. 【变式7-3】（2026·高三·陕西西安·月考）现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有___________种. 题型八：分组与分配问题的解题方法 【典例8-1】将3个编号为1，2，3的小球放入2个编号为1，2的盒子中，1号盒放一个，2号盒放两个，有______种方法． 【典例8-2】9本不同的书分为三份，每份三本，有________种分法． 【变式8-1】某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）． 【变式8-2】（2026·河北·三模）将含甲、乙在内的7名志愿者分成三个小组，要求每个小组至少一人，有且仅有两个小组的人数相等. （1）则所有不同的分组方法有________种（用数字作答）； （2）若甲、乙两名志愿者不在同一个小组，则不同的分组方法有________种（用数字作答）. 【变式8-3】（2026·福建宁德·模拟预测）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种. 【变式8-4】2026年某中学预计会被用作公务员考试，生物奥赛考试等六项国家级考试作为考点.本校职工小明，小浩，小文因精通各项考试流程，考务组计划邀请三人加入监考工作（六项考试时间不冲突）.预计安排每人至少监考一项考试，每人至多监考三项考试，每项考试，三人中有且仅有一人参与，其中小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，则三人不同的监考安排方案种数为_________. 题型九：隔板法的适用场景与解法 【典例9-1】从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有______种. 【典例9-2】方程共有______组正整数解，共有_____组非负整数解． 【变式9-1】已知集合，则A中的元素的个数为______. 【变式9-2】各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为__________（请用数字作答）． 【变式9-3】（2026·湖北·二模）已知，且，，，则方程的解的组数为______. 题型十：计数原理在几何问题中的应用 【典例10-1】平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线，以这9个点为顶点，可以确定______个不同三角形．（结果用数值表示） 【典例10-2】（2026·高三·全国·一轮复习）平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，则共有________个交点；空间有n个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，则共有________条交线． 【变式10-1】如图，点，，，分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组共有______个． 【变式10-2】三角形内有2018个点（任意3点不共线），加上3个顶点共可构成无重叠的三角形______个. 【变式10-3】（2026·福建·模拟预测）正八面体中，以其顶点为顶点的三棱锥的个数为___________（用数字作答）． 1．某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（ ） A．72种 B．150种 C．243种 D．360种 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）苏州旅游局在中小学生春假期间选出6名学生去苏州博物馆、拙政园、虎丘做志愿者，规定：每名学生只能去一个地方，每个地方至少安排一名志愿者，若甲、乙两名学生去拙政园，则不同的安排方法的种数有（   ） A．38 B．42 C．50 D．56 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 4．（2026·河南濮阳·模拟预测）某班有3名男生，3名女生竞选班长，班主任随机安排这6人依次上台发表竞选演讲，则竞选演讲的最后一个女生是第4个上台的不同排法总数是（   ） A．108 B．144 C．288 D．360 5．（2026·贵州安顺·模拟预测）将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（   ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 6．（2026·高三·贵州·阶段检测）高三年级 1， 2， 3， 4， 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域， 每个区域至少有一个班级负责， 其中 1 班和 2 班都不去区域甲， 则不同的任务分配方法种数为（    ） A．108 B．120 C．126 D．144 7．（2026·江苏·模拟预测）从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（    ） A． B． C． D．48 8．（2026·山东济南·二模）如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．60种 D．72种 9．（多选题）（2026·安徽·模拟预测）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共人计划在五一假期出游，每人选一个地方，则下列说法正确的是（   ） A．人选择的地点均不同的方法总数为 B．人均不选泰山的方法总数为 C．恰有人选同一个地方的方法总数为 D．恰有人选华山的概率是 10．（多选题）（2026·江苏徐州·模拟预测）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 11．（多选题）（2026·高三·湖北随州·期末）平面中有个不同的点，且任意3点均不共线．从某点开始与其他点连线（连线均为线段），笔不能离开纸面，也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点），最后到达某个点结束，这个图形为一个“通路”．在“通路”中，若起点和终点重合了，则这个图形为一个“回路”．对于下列三个图形，结论正确的有（   ） A．在图1中，可以绘制7个不同的“通路” B．在图2中，可以绘制18个仅由3条线段组成的不同的“通路” C．在图2中，可以绘制7个不同的“回路” D．在图3中，可以绘制37个至多由5条线段组成的不同的“回路” 12．（多选题）（2026·陕西西安·模拟预测）3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（   ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有12种 13．（多选题）现有8个小朋友玩游戏，其中5个小朋友手中拿的数字分别是5，4，3，1，0，另外三个小朋友都拿的是数字2，小朋友们要用手中的数字来组数，每个小朋友的数字最多用一次，则下列说法正确的是（   ） A．可以组成720个没有重复数字的六位数 B．若不选0，则可以组成240个相邻数字不相同的七位数 C．可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数 D．若0必选，则可以组成832个五位数 14．（2026·广东东莞·三模）一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机投掷该骰子3次，得到的点数依次记为，则满足的有序数对的个数为__________. 15．（2026·四川攀枝花·二模）现从4名男生，2名女生中选3人分别担任语文、数学、英语课代表，且恰好有1名女生被选中，则不同的安排方法共有________种． 16．（2026·安徽·模拟预测）某公园的一处景观湖中有4个小岛，现需要在小岛之间建3座桥，使得这4个小岛彼此相连（即从任意一个小岛都能走到另外任意一个小岛），每座桥只能连接2个小岛，则一共有________种不同的建桥方案. 17．（2026·贵州黔西南·二模）某非遗工坊有剪纸、木雕、陶艺、刺绣、编织五项技艺展示，需安排阿珍、阿明、阿华、阿杰、阿丽五位传承人各负责一项.若阿明不负责陶艺且阿丽只能负责剪纸或刺绣，则不同的安排方法有__________种. 18．（2026·福建·二模）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） 27/27 学科网（北京）股份有限公司 � 事件A� 解决方案1� 方法1 方法2 方法m1 解决方案n� 方法1 方法2 方法mn m1种 mn种 解决事件A共有 m1+m2+m3+···+mn种不同的方法 � 事件B� 步骤1 步骤i··· 步骤2 m2种 方法n mi种 m1种 mn种 解决事件B共有m1×m2×m3×···×mn种不同的方法 $ 9.1 计数原理与排列组合 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点1、分类加法计数原理 3 知识点2、分步乘法计数原理 3 知识点3、两个计数原理的综合应用 4 知识点4、排列与排列数 4 知识点5、组合与组合数 4 知识点6、排列和组合的区别 5 知识点7、解决排列组合综合问题的一般过程 5 03 探究核心题型 6 题型一：两个计数原理的综合运用 6 题型二：捆绑法的解题技巧与应用 7 题型三：插空法的解题思路与实例 8 题型四：定序问题的求解方法 10 题型五：多面手问题的解题策略 11 题型六：错位排列的规律与应用 13 题型七：涂色问题的分类求解 14 题型八：分组与分配问题的解题方法 17 题型九：隔板法的适用场景与解法 20 题型十：计数原理在几何问题中的应用 21 04 课时精练 24 1、理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2、理解排列、组合的概念. 3、能利用计数原理、排列组合解决简单的实际问题. 知识点1、分类加法计数原理 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的办法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 知识点2、分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法. 注意：两个原理及其区别 分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有类办法，这类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理. 分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理. 当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法. 知识点3、两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 知识点4、排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． （2）排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． （3）排列数的性质： ①；②；③． （4）解排列应用题的基本思路： 通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）． 注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用． 知识点5、组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数公式及其推导 求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数； 根据分步计数原理，得到； 因此． 这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：①；②． （4）组合应用题的常见题型： ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型 ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型 知识点6、排列和组合的区别 组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 知识点7、解决排列组合综合问题的一般过程 1、认真审题，确定要做什么事； 2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步； 3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素； 4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略． 题型一：两个计数原理的综合运用 【典例1-1】（2026·广西桂林·模拟预测）由数字0，1，2组成的五位数的正整数中，偶数的个数共有（   ） A．54 B．69 C．108 D．160 【答案】C 【解析】0为个位的偶数共有个； 2为个位的偶数共有个， 故偶数的个数共有个. 【典例1-2】（2026·河北保定·模拟预测）某历史文化街区春节期间客流量较大，特安排包括甲在内的6名志愿者在A，B，C三个重要路口进行执勤，疏导客流，若每个路口安排两人，且甲只能被安排在路口C，则不同的安排方法数为（    ） A．30 B．50 C．60 D．75 【答案】A 【解析】因为每个路口安排两人，且甲只能被安排在路口C， 所以路口C还缺1人，从剩下的5人中选一人到路口C，有种选法； 从剩下的4人中再安排两人到路口A，有种选法； 将剩下的2人安排到路口B，有种选法. 由分步乘法计数原理知不同的安排方法数为种. 【变式1-1】（2026·高三·湖南·阶段检测）从4名男生和3名女生中选4人组成学习小组，要求男生甲和女生乙要么都选，要么都不选，则不同的选法共有（    ） A．15种 B．18种 C．24种 D．30种 【答案】A 【解析】由题意，分成两类情况： ① 男生甲和女生乙都选，则从剩余3名男生和2名女生中选2人，不同的选法共有种； ② 男生甲和女生乙都不选，则从剩余3名男生和2名女生中选4人，不同的选法共有种； 由分类加法计数原理，不同的选法共有种. 【变式1-2】（2026·吉林·三模）2025年世界机器人大赛总决赛在江苏无锡圆满落幕，某参赛小队有1名指导老师，2名男生和2名女生，比赛结束后5人站成一排合影，则指导老师不在两端的不同排法总数为（    ） A．120 B．96 C．72 D．36 【答案】C 【解析】首先指导老师有3个位置可以排，剩余4人有种排法， 根据分步乘法计数原理，得指导老师不在两端的不同排法总数为. 【变式1-3】（2026·浙江·二模）从数字0，1，2，3，4中任取3个构成的无重复数字的3位数，其中能被3整除的偶数共有（   ） A．13个 B．15个 C．16个 D．18个 【答案】A 【解析】满足条件的3位数可由或或或构成， 由构成的偶数有个；由构成的偶数有个； 由构成的偶数有个；由构成的偶数有个. 故共有个. 题型二：捆绑法的解题技巧与应用 【典例2-1】（2026·重庆渝中·三模）给某班级星期一上午排课，一共 5 节课，语数外各一节，体育课两节（两节体育课相同），要求两节体育课必须相邻， 则不同的排课种数有（    ） A．48 B．60 C．24 D．12 【答案】C 【解析】采用捆绑法，将两节相邻的体育课视为一个整体. 此时需排列的元素为语文、数学、外语、体育整体，共4个元素. 4个元素的全排列数为. 由于两节体育课为相同课程，内部无需再排列. 因此，不同的排课种数为24. 【典例2-2】（2026·吉林延边·三模）春节期间四位同学回母校看望两位老师，看望结束合影留念，若两位老师相邻，则不同的排法种数共有（    ） A．240 B．300 C．360 D．480 【答案】A 【解析】根据题意，把两位老师捆绑在一起，看成一个元素，进行全排列， 则不同的排法种数共有种. 【变式2-1】（2026·江西萍乡·二模）某同学需将、、、、这个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，将与捆绑，形成一个大元素，并与其他三个字母进行排序， 因此不同的排法种数为种. 【变式2-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）某文艺演出共有六个节目，其中节目甲须被安排在前两个节目演出，节目乙、丙必须前后出场，则这六个节目不同的安排方法共有（   ） A．68种 B．72种 C．84种 D．96种 【答案】C 【解析】节目甲被安排在前两个节目演出，可分两种情况讨论： ①节目甲被安排在第一个节目演出， 因为节目乙、丙必须前后出场，可以把节目乙、丙当成一个整体， 则此时共有四个元素全排列，有种安排方法， 因为节目乙、丙须考虑两者的顺序，有2种情况，则有种安排方法； ②节目甲安排在第二个节目演出， 因为节目乙、丙必须前后出场，可以把节目乙、丙当成一个整体， 则节目乙、丙前后出场的位置有3个，且须考虑两者的顺序，有2种情况， 将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方法， 由分类计数原理得，共有种安排方法． 【变式2-3】（2026·山东泰安·模拟预测）5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【解析】将甲、乙视为一个整体，与其他3人共同组成4个“单位”，这4个单位的排列数为. 由于甲、乙两人内部可以互换位置，需额外乘以2，因此总排列数为：. 题型三：插空法的解题思路与实例 【典例3-1】（2026·河南安阳·模拟预测）某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．96种 D．120种 【答案】D 【解析】第一步，先排列2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，共有种排法； 第二步，将3个不同的图形渲染任务插入到第一步中3个不同的任务产生的4个空隙中， 共有种排法； 第三步，排除2个不同的逻辑推理任务相邻的情况， 将2个逻辑推理任务捆绑视为一个元素，此元素与数据检索任务共2个元素先进行排列，产生3个空位，有种排法； 将3个不同的图形渲染任务插入这3个空位，有种排法； 捆绑的2个逻辑推理任务内部有种排法，故共有种排法。 所以满足条件的排法总数为. 【典例3-2】某班一天上午有5节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、生物及体育这7门课的课程表，每门学科各一节课，要求数学课与物理课不相邻（上午第五节与下午第一节不算相邻），且体育课排在下午，则不同排法有（    ） A．960种 B．1056种 C．3600种 D．5040种 【答案】B 【解析】体育课排在下午共种排法；因数学与物理不相邻，分两类： 第一类：数学与物理有一科在下午，另一科在上午与其他科排列，共种排法； 第二类：数学与物理均在上午且不相邻，先在语文、英语、化学、生物中选一科排在下午共种排法，再把剩下3科排在上午共种排法，在它们中间及两端共4个空位安排数学与物理，共种排法，由分步乘法计数原理共种； 所以共 种排法．故选B． 【变式3-1】一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有（   ）种. A．48 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【解析】总共有 8 股道，要停放 4 列火车，那么剩下的空股道有股. 这 4 条空股道排好后，会形成 个可以插入火车的 “空隙”（包括两端）. 首先，从 5 个空隙中选 4 个，有 种选法， 然后，将 4 列不同的火车在这 4 个位置上进行全排列，有种排法. 总的方法数是选位置的方法数乘以排列的方法数，即：种. 【变式3-2】已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】当A是第一名时，C只能是第三名，则有种排列种数； 当A是第二名时，C不能是第一名，则有种排列种数； 当A是第三名时，C不能是第四名，则有种排列种数， 综上可知，这4人名次排列情况可能的种数为. 【变式3-3】（2026·陕西榆林·模拟预测）某小型话剧表演结束后6名演员（含甲、乙）排成一排谢幕，若演员甲、乙不相邻，则不同的排法种数有（   ） A．360 B．480 C．504 D．720 【答案】B 【解析】先把除甲乙以外的4个人排好，共种情况，再将甲乙两人插入这4人所形成的5个空隙中，有种情况， 根据分步乘法计数原理，总共有种不同排法. 题型四：定序问题的求解方法 【典例4-1】（2026·西藏日喀则·模拟预测）2024年12月20日是澳门回归祖国25周年纪念日，现把2024、12、20、25这四个数组成一个十位数的偶数，保持这四个数中原有数字必须相邻，且顺序不变，则这样的十位数的偶数的个数为（   ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】C 【解析】由题可知25不能在后两位， 所以符合条件的十位数的偶数的个数为． 【典例4-2】重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（   ） A．10 B．20 C．60 D．30 【答案】D 【解析】6人全排有中排序方法， 所以先到的4人相对顺序不变下两名同学共有种加入方法. 故选：D 【变式4-1】现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 【答案】B 【解析】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果， 再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果， 因此根据计数原理可知共有种结果. 故选：B 【变式4-2】甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（   ） A．144种 B．108种 C．120种 D．360种 【答案】C 【解析】从6个位置中取3个让甲乙丙按指定顺序站位，有种方法； 再排余下3人，有种方法， 所以不同排法种数为. 故选：C 【变式4-3】某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（   ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 【答案】C 【解析】原来有4个广告，则这4个广告之间以及两端共有5个空位插入第一个公益广告， 则有5种方法； 插入第一个公益广告之后，此时包括原来的4个广告和已经插入的第一个公益广告， 共5个元素，它们之间以及两端共有6个空位可以插入第二个公益广告， 则有6种方法； 由分步乘法计数原理可得，将两个公益广告插入的方式有种. 故选：C 题型五：多面手问题的解题策略 【典例5-1】有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞， 则既会跳舞又会唱歌的有人， 只会唱歌的有人，只会跳舞的有人; 若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，有种选法， 若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法， 则共有种选法. 故选：C. 【典例5-2】有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有  （ ） A．种 B．种 C．种 D．72种 【答案】C 【解析】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞， 则既会跳舞又会唱歌的有人， 只会唱歌的有人，只会跳舞的有人; 若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法， 综上共有种选法. 故选：C. 【变式5-1】我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理． 第一类个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有种； 第二类个只会跳舞的有人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种； 第三类个只会跳舞的全入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种， 所以共有种不同的选法， 故选：A． 【变式5-2】某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B 【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能， 因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选， 这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种． 综上分析，共可开出种． 故选：B． 【变式5-3】某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 【答案】D 【解析】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有 种，有一个“多面手”的选派方法有种，有两个“多面手”的选派方法有种，即共有(种)不同的选派方法． 故选：D 题型六：错位排列的规律与应用 【典例6-1】五名护士上班前将外衣放在护士站，下班后回护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有两人拿到了自己的外衣，另外三人拿到别人外衣的情况有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】先从5人中选取2人拿到自己的外衣，共种情况， 另外3人拿到别人的外衣的情况，可看作编号为1，2，3的人 坐到编号为1，2，3的座位，且人和编号不能相同， 共有231，312，两种， 由分步计数原理可得共种情况. 故选：C. 【典例6-2】6名运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服，由于灯光暗淡，有一部分队员拿错了外衣，其中只有2人拿到自己的外衣，且另外的4人拿到别人的外衣种数为______． 【答案】 【解析】先从6人中选出2人拿到自己的外衣，共有种情形， 另外4人拿到别人的外衣的情形，可看作编号为的人坐到编号为的座位， 且人的编号和座位的编号不能相同， 共有，共有9种情形， 由分步计数原理，可得共有种不同的情况. 故答案为：. 【变式6-1】一位老师随机分发六位同学的作业，恰好只有二位同学拿到自己的作业，则不同的分发数是_____. 【答案】135 【解析】从六位同学中选两位同学拿到自己的作业，有种， 剩下的四位同学都没拿到自己的作业，等同于四个不同的元素填四个不同的空，并且是全错位排列，有种， 所以不同的分法数为种. 故答案为：. 【变式6-2】甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为_____． 【答案】2 【解析】不妨由甲先来取，共2种取法， 而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，余下来的人，都只有了一种选择， 所以不同取法共有（种）. 故答案为：2. 题型七：涂色问题的分类求解 【典例7-1】（2026·山东泰安·模拟预测）某公园计划建造一个如图所示的花圃，每个小格的土地种植玫瑰、百合、郁金香三种花中的一种，且每个小格相邻（有公共边）的所有小格中恰有两格与该小格均为同类花，则所有的种植方案共有______种． 【答案】24 【解析】方法一：记三种花分别为，，．4个角有2个格相邻（ ），边上中间8个格有3个格相邻（ ），中间4个格有4个格相邻（ ）．方格具有对称性，且，，等价，所以分为与（与）先行讨论． ①4个边上都为1种花色，且只能为1种花色，所以图中共有2种花色，此时共有种种植方案． ②一组对角为，一组对角为，花色并无影响，故可将其视为4个的小块． （i）的两个小块为同一种花色，如，共3种组合；又与为2种不同的组合，所以共有种种植方案． （ii）的两个小块为不同种花色，如，共6种组合；又与为2种不同的组合，所以共有种种植方案． 综上所述，共有种种植方案． 方法二：记三种花分别为，，，所有组合如下：                                                     共有种． 【典例7-2】（2026·浙江杭州·二模）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______. 【答案】82 【解析】 ①②同色时，矩形A另外两边有种方法染色， ①②不同色时，矩形A另外两边有种方法染色，同理其他区域也一样， 则（1）①②③④四边同色，此时共有种； （2）当①②③④只有三边同色，另一边与其不同色时，此时共有种， （3）当①②③④每两个同色时，若①③同色，②④同色，则有种； 若①②同色，③④同色，则有种； 若①④同色，②③同色，则有种； 此时共有种； 综上，共有种． 【变式7-1】将一个边形的每个顶点随机染成红、蓝、黄三种颜色之一，且要求相邻顶点的颜色不同，则可能的染色方式有___________种． 【答案】． 【解析】设为边形的合法染色数（即环图的染色数），则. 考虑一条有个顶点的线段，相邻不同色的染色数为． 这其中包含了首尾不同色（即）和首尾同色（相当于边形的合法染色数）两类． 因此，其中， 所以，所以， 令，则，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以． 【变式7-2】（2026·贵州六盘水·一模）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为_________. 【答案】42 【解析】先给1区任选一种花进行栽种，其它区域不和1区栽种相同的花，不同的栽种方法有种. 只栽种两种花的情况有. 故有公共边的部分不栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种的方法数有种 【变式7-3】（2026·高三·陕西西安·月考）现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有___________种. 【答案】420 【解析】五个顶点涂五种不同的颜色，有（种）涂法； 五个顶点涂四种不同的颜色，其中同色不同色或不同色同色，有（种）涂法； 五种顶点涂三种不同的颜色，其中同色且同色，有（种）涂法. 综上，共有120＋240＋60=420（种）涂色方法. 故答案为：420 题型八：分组与分配问题的解题方法 【典例8-1】将3个编号为1，2，3的小球放入2个编号为1，2的盒子中，1号盒放一个，2号盒放两个，有______种方法． 【答案】3 【解析】从3个小球中选择2个放入2号盒子，有种方法. 【典例8-2】9本不同的书分为三份，每份三本，有________种分法． 【答案】280 【解析】若不考虑分组的重复，先从本不同的书中选本为第一份，再从剩余本中选本为第二份，最后本为第三份， 分法数为. 由于三份是无序的，三次取本的过程中， 对相同的分组重复计算了次，因此共. 【变式8-1】某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）． 【答案】150 【解析】先将5位教师分成3组，且每组至少1人，一共有2种分组方式： 其中1、1、3分配方式有种； 1、2、2分组方式有种； 再将分好组的3组教师分配到3所乡村中学，其分法有种， 所以分配方案的总数为 【变式8-2】（2026·河北·三模）将含甲、乙在内的7名志愿者分成三个小组，要求每个小组至少一人，有且仅有两个小组的人数相等. （1）则所有不同的分组方法有________种（用数字作答）； （2）若甲、乙两名志愿者不在同一个小组，则不同的分组方法有________种（用数字作答）. 【答案】 196 141 【解析】（1）由题意可知，分组的人数分配情况共有以下三类：，，. 当人数分配为时，分组方法有种； 当人数分配为时，分组方法有种； 当人数分配为时，分组方法有种； 故所有不同的分组方法有种. （2）考虑其对立事件，即甲、乙两名志愿者在同一小组的情况： ①若分配方案为，甲、乙必在5人组， 此时从剩余5人中选3人进入该组，共有种； ②若分配方案为，若甲、乙在2人组，则该组已满， 只需将余下5人分成两组，有种； 若甲、乙在3人组，则需从余下5人中选1人，其余4人均分为两组，有种； 故此方案下甲、乙同组的方法数为种； ③若分配方案为，甲、乙不可能在1人组，必在其中一个3人组， 从剩余5人中选1人加入该组，余下4人分成两组，共有种； 故甲、乙在同一小组的分组方法有种， 则甲、乙不在同一小组的分组方法有种. 【变式8-3】（2026·福建宁德·模拟预测）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种. 【答案】10 【解析】已知甲负责第一关，从剩余4人中选2人去第四关，共种选法，剩下2人全排列去第二、三关，共种排法，总方案数为 6 × 2 = 12， 不符合条件（乙丙同关卡）的情况：因为第二、三关都只有1个位置，乙丙只能同时在第四关，此时剩下2人全排列去第二、三关，共种， 因此符合条件的方案数为 12 − 2 = 10 . 【变式8-4】2026年某中学预计会被用作公务员考试，生物奥赛考试等六项国家级考试作为考点.本校职工小明，小浩，小文因精通各项考试流程，考务组计划邀请三人加入监考工作（六项考试时间不冲突）.预计安排每人至少监考一项考试，每人至多监考三项考试，每项考试，三人中有且仅有一人参与，其中小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，则三人不同的监考安排方案种数为_________. 【答案】 【解析】将6项不同的考试分配给小明、小浩、小文三人，每人至少1项，至多3项，有和两种分配方案， 因此总分配方案数为， 小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，当小明不监考这两项， 即小明监考其余4项，有以下两种情况： 当每人按分配时，小明从其余4项中选2项方案数为种； 当每人按分配时，小明可能选1项，2项，3项，方案数为种； 所以小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，三人不同的监考安排方案种数为：种. 题型九：隔板法的适用场景与解法 【典例9-1】从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有______种. 【答案】6 【解析】8个相同小球再减去3个小球共5个小球排成一排，用2块挡板去插入，有种. 然后再往每个箱子里放1个球，即每个箱子至少选2个小球，故不同的选法有6种． 故答案为：6 【典例9-2】方程共有______组正整数解，共有_____组非负整数解． 【答案】 455 969 【解析】可将16理解为16个1相加．而x，y，z，w相当于四个盒子，每个盒子里装入若干个1．则每个盒子里若干个1的和构成其中一组正整数解． 对于第一空，用隔板法，将16个1排成一排，形成15个空隙， 在空隙中插入3个隔板，将16个1截为4部分， 每一部分的和对应原四元方程的正整数解，则有组正整数解． 对于第二空，正整数解与非负整数解的区别在于非负整数解可以是0， 相当于允许盒子为空，而隔板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归． 由， 得， 则这四个盒子非空即可， 此时使用隔板法，可得原方程共有组非负整数解． 故答案为：455，969 【变式9-1】已知集合，则A中的元素的个数为______. 【答案】 【解析】 ， 可转化为将102个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人， 每人至少分1个，利用隔板法可得分配的方案数为， 所以中的元素的个数为. 故答案为：. 【变式9-2】各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为__________（请用数字作答）． 【答案】56 【解析】设，，，对应个位到千位上的数字，则， 且，相当于6个相同的球排成一排，每个球表示1， 先拿一个球装入，转化为5个球装入4个盒子，每盒可空，等价于9个球用3个隔板分成4组（各组不可为空）， 故共有种． 故答案为：56． 【变式9-3】（2026·湖北·二模）已知，且，，，则方程的解的组数为______. 【答案】15 【解析】由题意，原问题等价于将7个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少放入1个小球的方法个数，在7个相同的小球之间形成的6个空中，任选2个放入两个隔板，共有种方法， 即方程的解的组数为15. 故答案为：15 题型十：计数原理在几何问题中的应用 【典例10-1】平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线，以这9个点为顶点，可以确定______个不同三角形．（结果用数值表示） 【答案】80 【解析】从9个点中任选3个点的组合数为. 共线4点中选3个无法构成三角形，需减去. 可确定三角形个数：. 【典例10-2】（2026·高三·全国·一轮复习）平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，则共有________个交点；空间有n个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，则共有________条交线． 【答案】 【解析】因为平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点， 所以平面内有n条直线互相相交的交点个数为； 因为空间有n个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线， 所以空间有n个平面互相相交的直线个数为， 故答案为：； 【变式10-1】如图，点，，，分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组共有______个． 【答案】33 【解析】因在同一平面内的四点组都含有点，故可以分成两类情况： ①四点组在四面体的侧面上，如在平面中，除去点，还剩5个点，选其中3点，有个， 同理在平面和平面中也各有10个，共有30个； ②四点组在一条侧棱和其对棱中点组成的平面上，如平面中，除去点还剩3个点，故有1个， 同理在平面和平面上，也各有1个，共有3个. 综上，在同一平面内的四点组共有33个. 故答案为：33. 【变式10-2】三角形内有2018个点（任意3点不共线），加上3个顶点共可构成无重叠的三角形______个. 【答案】4037 【解析】因为第个点一定落在前个三角形的其中一个中，且把它分成3个（即多了2个）. 如图所示，所以有，. 故为等差数列，求得． 因此，故可构成无重叠的三角形4037个. 故答案为：4037. 【变式10-3】（2026·福建·模拟预测）正八面体中，以其顶点为顶点的三棱锥的个数为___________（用数字作答）． 【答案】12 【解析】作出正八面体，如图，正八面体共有6个顶点，其中有3组不同的四点共面， 则以正八面体顶点为顶点的三棱锥的个数为. 故答案为：12 1．某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（ ） A．72种 B．150种 C．243种 D．360种 【答案】B 【解析】分组为:先从5人中选3人作为一组，剩余2人各成一组，分组后分配到3个不同部门. 方案数种. 分组为:两个组人数相同，属于平均分组，需要消除重复排序，再分配到3个不同部门： 方案数. 将两类相加：种. 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）苏州旅游局在中小学生春假期间选出6名学生去苏州博物馆、拙政园、虎丘做志愿者，规定：每名学生只能去一个地方，每个地方至少安排一名志愿者，若甲、乙两名学生去拙政园，则不同的安排方法的种数有（   ） A．38 B．42 C．50 D．56 【答案】C 【解析】将甲、乙安排到拙政园，则剩余的4名学生需分配到苏州博物馆、拙政园、虎丘三个地方，且苏州博物馆和虎丘各至少有一人， 总分配方式有种，其中苏州博物馆为空的情况有种，虎丘为空的情况有种，苏州博物馆和虎丘都为空的情况有1种， 因此满足条件的不同的安排方法有种. 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 【答案】D 【解析】如图所示： 当①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色； 当①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色； 同理其他区域也一样， 所以：①②③④四边同色，此时共有种； 当①②③④只有三边同色时，另一边与其不同色时， 此时共有种； 当①②③④每两个同色时，此时共有种； 综上，共有种. 4．（2026·河南濮阳·模拟预测）某班有3名男生，3名女生竞选班长，班主任随机安排这6人依次上台发表竞选演讲，则竞选演讲的最后一个女生是第4个上台的不同排法总数是（   ） A．108 B．144 C．288 D．360 【答案】A 【解析】由题知，竞选演讲的最后一个女生是第4个上台，则前4人中有3名女生一名男生，且第4个上台的是女生， 先选一名男生，将这名男生排到前个位置中的某个位置,再将3名女生排序， 共有种， 再将剩下两名男生排序有种，则共有． 5．（2026·贵州安顺·模拟预测）将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（   ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 【答案】B 【解析】不同的分配方案需要3步： 将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一个布娃娃，有种方法； 将3个相同的陀螺分给3位小朋友，且不能全给同一位小朋友，有种； 将4只不同的风筝分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝， 其中甲风筝必须给周周小朋友，有种， 所以不同的分配方案有（种）. 6．（2026·高三·贵州·阶段检测）高三年级 1， 2， 3， 4， 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域， 每个区域至少有一个班级负责， 其中 1 班和 2 班都不去区域甲， 则不同的任务分配方法种数为（    ） A．108 B．120 C．126 D．144 【答案】C 【解析】分为两类，第一类：只有一个班去区域甲，在3，4，5三个班级中任选一个去区域甲， 剩下的四个班级去其余的三个区域，且每个区域至少有一个班，则方法种数为：； 第二类：有两个班去区域甲，在3，4，5 三个班级中任选两个去区域甲， 剩下的三个班级去其余的三个区域，方法种数为：； 故共有种方法. 7．（2026·江苏·模拟预测）从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（    ） A． B． C． D．48 【答案】C 【解析】若选派的四人中甲乙仅有其中一人， 则选派方案的种数为， 若选派的四人中甲乙均有， 则选派方案的种数为， 综上，不同的选派方案的种数为. 8．（2026·山东济南·二模）如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．60种 D．72种 【答案】B 【解析】由题意可得顶点标注只能为或，其余情况不满足题意. 若顶点标注，则标注在中点处，此时有， 若顶点标注，则只能标注在之间的边的中点，此时有种， 所以不同的标注方法有种. 9．（多选题）（2026·安徽·模拟预测）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共人计划在五一假期出游，每人选一个地方，则下列说法正确的是（   ） A．人选择的地点均不同的方法总数为 B．人均不选泰山的方法总数为 C．恰有人选同一个地方的方法总数为 D．恰有人选华山的概率是 【答案】ABD 【解析】对于A，人选择的地点均不同的方法总数为，故A正确； 对于B，人均不选泰山的方法总数为，故B正确； 对于C，恰有人选同一个地方的方法总数为，故C错误； 对于D，恰有人选华山的方法数为，人所有的方法数为， 所以恰有人选华山的概率是，故D正确． 10．（多选题）（2026·江苏徐州·模拟预测）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 【答案】BC 【解析】对于A：这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种，故A错误； 对于B：根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人， 我们把这五人分成四组共有种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工作共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故B正确； 对于C：若数学学科必须安排两人，则有种方法，其余学科各安排一人共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故C正确； 对于D：“每人安排一门学科，每门学科至少一人”的总方案数为240（同选项B），需排除“A负责语文”或“B负责数学”的情况，用容斥原理计算： 情况1：A负责语文 固定在语文，分2种子情况： ①语文为“2人组”（人）：选1人加入语文（），剩余3人分配到其他3科（），方案数： ②语文为“1人组”（仅A）：先B、C、D、E分为三组（2，1，1），有种方法，再将三组分到数学、英语、物理，有种方法，故总的方法数为：； 情况1总方案数：． 情况2：B负责数学 与“情况1”对称，总方案数同样为60． 情况3：A负责语文且B负责数学（重复减去的部分） 负责语文且B负责数学，并保证英语、物理学科均有人负责.分情况讨论如下： ①语文或数学为“2人组”：剩余3人选2人分配到英语和物理有种方法，最后1人去语文或数学有种方法，方法数：； ②英语或物理为“2人组”：3人分成两组（2，1），有种分法，两组分配到英语和物理，有种分法，故方案数为； 故情况3总方案数：． 根据容斥原理，不符合条件的方案数为：， 因此，符合条件的方案数为：，故D错误. 故选：BC． 11．（多选题）（2026·高三·湖北随州·期末）平面中有个不同的点，且任意3点均不共线．从某点开始与其他点连线（连线均为线段），笔不能离开纸面，也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点），最后到达某个点结束，这个图形为一个“通路”．在“通路”中，若起点和终点重合了，则这个图形为一个“回路”．对于下列三个图形，结论正确的有（   ） A．在图1中，可以绘制7个不同的“通路” B．在图2中，可以绘制18个仅由3条线段组成的不同的“通路” C．在图2中，可以绘制7个不同的“回路” D．在图3中，可以绘制37个至多由5条线段组成的不同的“回路” 【答案】ACD 【解析】在图1中，一共可以组成条线段，仅由1条线段组成的“通路”有个， 仅由2条线段组成的“通路”有个，由3条线段组成的“通路”有1个， 所以可以绘制个不同的“通路”，A正确． 在图2中，4个点两两连接，最多有条线段， 仅由3条线段组成的图形有个， 但三条线段共一个端点的图形不能组成“通路”， 所以仅由3条线段组成的不同的“通路”有个，B错误． 在图2中，任意三点首尾相连可以组成个“回路”； 由4个端点4条线段组成的不同的“回路”有如下3种，其他情况不能组成“回路”， 所以可以绘制个不同的“回路”，C正确． 在图3中，任意三点首尾相连（3条线段）可以组成个“回路”； 由4个端点4条线段组成的不同的“回路”有种（由C选项可知）； 如图4，任选一个点，该点最多在四条线段上，在这4条线段中任选两条线段，有种不同的选法， 如图5，在每一种选法上，将在线段上的点A，B与不在线段上的点C，D，2个为一组分别连接起来， 有种不同的选法，最后连接， 如图6、图7所示，由5个端点5条线段组成的“回路”有个． 故可以绘制个至多由5条线段组成的不同的“回路”，D正确． 故选：ACD. 12．（多选题）（2026·陕西西安·模拟预测）3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（   ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有12种 【答案】AC 【解析】对于A，共有种不同的坐法，故A正确； 对于B，空位不相邻的坐法有种，故B错误； 对于C，空位相邻的坐法有种，故C正确； 对于D，两端不是空位的坐法有种，故D错误， 故选：AC. 13．（多选题）现有8个小朋友玩游戏，其中5个小朋友手中拿的数字分别是5，4，3，1，0，另外三个小朋友都拿的是数字2，小朋友们要用手中的数字来组数，每个小朋友的数字最多用一次，则下列说法正确的是（   ） A．可以组成720个没有重复数字的六位数 B．若不选0，则可以组成240个相邻数字不相同的七位数 C．可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数 D．若0必选，则可以组成832个五位数 【答案】BCD 【解析】对于A选项，5，4，3，2，1，0，最高位不能是零，其余数字全排列,则A选项错误. 对于B选项，B选项正确. 对于C选项，C选项正确. 对于D选项，分四种情况，若不选2，则有个； 若选1个2，则有个； 若选2个2，则有个； 若选3个2，则有个， 一共有个，D选项正确. 故选：BCD 14．（2026·广东东莞·三模）一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机投掷该骰子3次，得到的点数依次记为，则满足的有序数对的个数为__________. 【答案】48 【解析】不妨设三个数中最大值为，最小值为，另一个数为， 则，所以. 又，所以有以下4组：、、、. 另一个数需满足，即、、，共3种情况. 当时，三个数为，方法数为， 当时，三个数为，方法数为， 当时，三个数为，方法数为， 所以每组对应的有序数对个数为：. 因此，有序数对的个数为：. 15．（2026·四川攀枝花·二模）现从4名男生，2名女生中选3人分别担任语文、数学、英语课代表，且恰好有1名女生被选中，则不同的安排方法共有________种． 【答案】 【解析】满足条件的安排方法有. 16．（2026·安徽·模拟预测）某公园的一处景观湖中有4个小岛，现需要在小岛之间建3座桥，使得这4个小岛彼此相连（即从任意一个小岛都能走到另外任意一个小岛），每座桥只能连接2个小岛，则一共有________种不同的建桥方案. 【答案】16 【解析】分两类：①将4个小岛连成一条线，只需要考虑小岛的顺序即可，并且完全相反的两种顺序算同一种建桥方案，故有种不同的方案； ②任选一个小岛作为“中心”，分别与另外3个小岛相连，有4种不同的方案. 因此，不同的建桥方案共有16种. 17．（2026·贵州黔西南·二模）某非遗工坊有剪纸、木雕、陶艺、刺绣、编织五项技艺展示，需安排阿珍、阿明、阿华、阿杰、阿丽五位传承人各负责一项.若阿明不负责陶艺且阿丽只能负责剪纸或刺绣，则不同的安排方法有__________种. 【答案】36 【解析】从阿珍、阿华、阿杰中选一个人负责陶艺，有3种选择， 从剪纸或刺绣中选一个让阿丽负责，有2种选择， 则剩余3个人各自从剩下三个项目中选择一个，共有种， 故总的安排方法有. 18．（2026·福建·二模）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） 【答案】 【解析】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，那么资源组、电芯组、基建组人数分配情况有与, 当甲、乙两人在同一组时，那么甲乙只能同在电芯组或基建组,存在与两种分配情况, 此时,; 当甲、乙两人在不同组时，那么甲乙只能一个在电芯组另一个在基建组,存在与两种分配情况, 此时,; . 27/27 学科网（北京）股份有限公司 � 事件A� 解决方案1� 方法1 方法2 方法m1 解决方案n� 方法1 方法2 方法mn m1种 mn种 解决事件A共有 m1+m2+m3+···+mn种不同的方法 � 事件B� 步骤1 步骤i··· 步骤2 m2种 方法n mi种 m1种 mn种 解决事件B共有m1×m2×m3×···×mn种不同的方法 $