福建省福州第一中学2026-2027学年第一学期九年级数学10月学情自测

福州一中2026—2027学年初三年段10月阶段练习（数学） 姓名：________班级：________座号：________ 一．单选题（40分） 1．一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．若将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A． B． C． D． 3．如果函数是反比例函数，那么的值是（ ） A． B． C． D． 4．关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．开口方向向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 5．钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），以下调整张力正确的是（ ） A．增大至 B．减小至 C．增大至 D．减小至 6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为，则每个支干长出（ ）支小分支． A． B． C． D． 7．抛物线与轴的一个交点坐标为，则它与轴的另外一个交点的坐标为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断的是（ ） A． B． C． D． 9．如图所示，在直角梯形中，，，，如果上的点使与相似，那么这样的点有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 二．填空题（24分） 11．若两个相似三角形对应高的比为，则这两个相似三角形的相似比为________． 12．请你构造一个函数，写出一个开口向下，对称轴是的抛物线的表达式：________． 13．如图，点在函数的图像上，点在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为________． 14．已知反比例函数，当时，的最大值是，则当时，的最小值为________． 15．如图，四边形是边长为的正方形，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为________． 16．如图，将等边三角形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，点，分别在边，上．如果，，那么的值为________． 三．解答题（86分） 17．（8分）解下列方程： （1）； （2） 18．（8分）先化简，再求值：，其中满足方程． 19．（8分）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 20．（8分）某商场将进价为元的商品按元出售时，每天可售出件．为尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经市场调查发现，如果每件商品每降价元，每天可多售出件．若商场要想每天盈利元，每件商品应降价多少元？ 21．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出时，的取值范围； （3）分别连结和，求的面积． 22．（10分）如图，在中， （1）请用尺规作图法在边上找一点，连接，使得，（保留作图痕迹，不写作法）并说明的理由； （2）在（1）的条件下，若已知，，求的长度． 23．（10分）综合与实践 问题背景 数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究． 探究发现 如图，在中，，． （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_________，设，，那么________（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 拓展应用： 当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图中的是黄金三角形．如图，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长． 24．（12分）如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，且过点，直线：与轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线：下方的抛物线上是否存在点，使得点到直线：的距离为？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过点的直线与二次函数图象交于，两点，无论取何值，都存在点，使得，请直接写出的值． 25．（14分）已知，在正方形中，点是上一点，点在射线上，连接，连接． （1）如图，当时，求证：； （2）如图，当平分时， ①求证：； ②如图，若点是的中点，连接交于点，连接交于点，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $