精品解析：福建莆田市荔城区莆田砺志学校2026-2027学年九年级上学期9月 数学学情自测

莆田砺志学校2026～2027学年上学期九年级9月份学情检测 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的标准形式为（k为常数，） A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，排除； B、符合的形式，其中，因此y是x的反比例函数，符合要求； C、是二次函数，不符合反比例函数定义，排除； D、是y关于的反比例函数，不是y关于x的反比例函数，不符合定义，排除． 2. 反比例函数的图象在（ ）． A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】通过确定反比例函数中的符号，判断图象所在象限即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象位于第二、四象限． 3. 用配方法解方程配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：方程， 移项得， 配方得，即． 4. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 5. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律求解即可． 【详解】解：将向左平移3个单位，得， 再向下平移2个单位，得． 6. 如图，在中，，，，，则的长是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ 7. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为30亿元，从2023年到2025年共经过2年． ∴2024年研发投入为亿元，2025年研发投入为亿元． 又∵2025年研发投入为50亿元． ∴列方程得． 8. 如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况：点C的对应点在第一象限和点C的对应点在第三象限，根据所给的相似比求解即可． 【详解】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴当点C的对应点在第一象限时，点的坐标为，即， 当点C的对应点在第三象限时，点的坐标为，即， 综上所述，点C的对应点的坐标为或． 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 10. 二次函数（为常数）的图象过，四个点，下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．通过解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而判断出，然后分别判断四个选项求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， ， 若，则，，选项A错误． 若，则，，选项B错误． 若，则，则，选项C错误． 若，则， ，选项D正确． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入方程， 得， 整理得， 解得． 12. 已知，，则与的面积之比为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质，根据得到相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案，熟记相似三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：，， 相似比为， 与的面积之比为， 故答案为：． 13. 已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点，，到对称轴的距离大小求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，再由相似三角形的性质得到即可求解的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 在如图所示的格点图中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是_______（只填序号）． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则 ①的各边长分别为1、、． ②的各边长分别为1、、； ③的各边长分别为2、、； ④的各边长分别为、、6； ⑤的各边长分别为、2、； ∴，， 故答案为：①③． 【点睛】此题主要考查学生对三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．正确掌握网格中求线段长度的方法及掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 16. 将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】求出翻折后新函数的分段解析式，分别计算直线与中间段抛物线相切、直线经过右侧交点时的值，结合图象确定范围． 【详解】解：令，得解得， 抛物线与轴交点为和 新函数在时，； 在或时， 当直线与相切时 方程有两个相等实数根 整理得 即 解得 当直线经过点时 ，解得 如图， 结合图象可知，当时，直线与新函数的图象有个公共点． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）（配方法） （2）（公式法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：整理得， 配方得，即， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ∴， 解得，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵不论为何值，，即， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根； （2），方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，代入原方程，求解另一个根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入，得： ， 解得：． 则方程为， 方程变为：， 或， 解得：，， ∴方程的另外一个根为2． 19. 已知二次函数的图象经过，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 【小问1详解】 解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． 20. 如图，四边形是平行四边形，是延长线上的一点，连接交于点．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ 在和中 ∵， ∴． 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质得出，再利用有两组对应角相等的三角形相似，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定定理是解决本题的关键． 21. 如图，在平行四边形中，E为边上的点，连接，F为线段上一点，且． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，再根据平行线的性质可得，再根结合已知条件即可证明结论； （2）先根据平行四边形的性质可得，再根据相似三角形的性质列出比例式，然后代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ，即，解得：． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）连接，，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3）8 【解析】 【分析】（1）把代入，求出，可得反比例函数表达式，把代入，可求出，，利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时，对应的的取值范围即可； （3）设与轴的交点为，根据的表达式求出，根据，结合、坐标即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ， 把和分别代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴由图象可知，不等式的解集为或． 【小问3详解】 解：如图，设与轴的交点为， 由（1）得直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， ∵， ∴ ． 23. 综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】 （1）任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． （2）任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 【答案】（1）此月平均增长率为 （2） ①每架迷你无人机的售价应降低元；②要想获得利润最大，售价应定为元． 【解析】 【分析】（1）设此月平均增长率为x，根据1月和3月的销量建立方程求解即可； （2）①设每架迷你无人机的售价应降低m元，根据利润（售价进价）销售量建立方程求解即可；②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元，根据利润（售价进价）销售量列出W关于n的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设此月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：此月平均增长率为； 【小问2详解】 解：①设每架迷你无人机的售价应降低m元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵需要尽量减少库存， ∴， 答：每架迷你无人机的售价应降低元； ②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为1250， 此时， 答：要想获得利润最大，售价应定为元． 24. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】（1）①③ （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【小问1详解】 解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． 【小问2详解】 解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 【小问3详解】 解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q，连接，当，求点P的坐标； （3）如图2，过点A作交抛物线于点N，连接，点M是x轴上点B左侧一动点，若与相似，求点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点M的坐标为或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，易得，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出，设，表示出的长，列出方程进行求解即可； （3）平移求出直线的解析式，进而求出点的坐标，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 如图1， ∵， ∴， 作轴，交于D， ∴， ∵，当时，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴； 【小问3详解】 过点A作交抛物线于点N，连接，点M是x轴上点B左侧一动点，如图2， 由（2）知直线的解析式为，设直线解析式为，将代入得：，解得：， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点N坐标为； ∴， ∵， ∴， 当时，，即， 解得， ∴， ∴； 当时，，即， 解得：， ∴， ∴； 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，两点式求解析式，一次函数的平移，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田砺志学校2026～2027学年上学期九年级9月份学情检测 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象在（ ）． A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 3. 用配方法解方程配方后可得（ ） A. B. C. D. 4. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，，则的长是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 7. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 10. 二次函数（为常数）的图象过，四个点，下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 12. 已知，，则与的面积之比为_______． 13. 已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为____． 14. 如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 15. 在如图所示的格点图中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是_______（只填序号）． 16. 将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）（配方法） （2）（公式法）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 19. 已知二次函数的图象经过，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围． 20. 如图，四边形是平行四边形，是延长线上的一点，连接交于点．求证：． 21. 如图，在平行四边形中，E为边上的点，连接，F为线段上一点，且． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）连接，，求的面积． 23. 综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】 （1）任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． （2）任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 24. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q，连接，当，求点P的坐标； （3）如图2，过点A作交抛物线于点N，连接，点M是x轴上点B左侧一动点，若与相似，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $