精品解析：黑龙江绥化市海伦市第十中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

初四学年数学试题 2026—2027学年度第一学期第一次考试 一、选择题：（本题共12个小题，每小题3分，共36分）将正确答案的选项填在答题卡中． 1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义分别对A、B、C、D各选项的函数进行判断即可得答案. 【详解】解：A. 函数的自变量的最高次为1次，是一次函数，不是二次函数，故A错误. B. 函数中，当时，函数不是二次函数，故B错误. C. 函数的自变量的最高次为2次，是二次函数，故C正确. D. 函数的自变量在分母中，不是二次函数，故D错误. 2. 对于的图象下列叙述正确的是（　　） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为 C. 当时，随增大而增大 D. 当时，随增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此及可求解． 【详解】解：对于， 顶点坐标为，故A错误； 对称轴为直线，故B错误； ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∴当时，随增大而增大，故C正确，故D错误； 故选：C 3. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　） A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝3，x2＝4，再根据菱形的性质可确定边AB的长是4，然后计算菱形的周长． 【详解】（x﹣3）（x﹣4）＝0， x﹣3＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝3，x2＝4， ∵菱形ABCD的一条对角线长为6， ∴边AB的长是4， ∴菱形ABCD的周长为16． 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质和解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握菱形的性质和解一元二次方程-因式分解法. 4. 如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据的面积为，可得，即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标为， 则，， ， 解得：． 5. 若二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为（ ） A. x1＝0，x2＝6 B. x1＝1，x2＝7 C. x1＝1，x2＝－7 D. x1＝－1，x2＝7 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的对称轴，可求得m=，然后将m=代入方程得到关于x的一元二次方程，最后的方程的解即可． 【详解】解：∵二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴是直线x＝3， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∴x1＝－1，x2＝7； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及解一元二次方程，解题的关键是正确求出m的值． 6. 我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. 1.4（1＋x）＝4.5 B. 1.4（1＋2x）＝4.5 C. 1.4（1＋x）2＝4.5 D. 1.4（1＋x）＋1.4（1＋x）2＝4.5 【答案】C 【解析】 【详解】解：设2015年与2016年这两年的平均增长率为x，由题意得： 1.4（1+x）2=4.5， 故选C． 7. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可． 【详解】解：把，，分别代入得， ；；； 则，，的大小关系是， 故选：B． 9. 已知二次函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数图像与轴有两个交点，等价于对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，需要同时满足二次项系数不等于、一元二次方程根的判别式，据此解答即可． 【详解】解：是二次函数， 二次项系数， 二次函数的图像与轴有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 综上，的取值范围是且． 10. （2014•遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除． 解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除； B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除； C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除； 正确的只有D． 故选：D． 点评：此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 11. 已知反比例函数经过点,当时自变量的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先由待定系数法求出k的值，再根据增减性确定自变量x的取值范围. 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴k=(-2) ×3=-6， ∴， ∴当时，；当时，， ∴当时自变量的取值范围为或. 故选：C 【点睛】本题考查待定系数法和反比例函数的性质，由y≠0，将y值范围进行分类讨论是解答此题的关键. 12. 如图，抛物线（）与轴交于A、B两点，下列结论①；②；③当时，；④；⑤若，且，则；⑥．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据开口方向，对称轴公式和与y轴交点的位置可判断①；根据对称轴公式可判断②；根据当时，函数有最大值可判断③；由对称性可知，当时，，可判断④；因式分解得到，则可得到，可判断⑤；根据当时，可判断⑥． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，即，故而②正确； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值， ∴当时，，即，故③正确； ∵当时，， ∴由对称性可知，当时，， ∴，故④错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故⑤正确； ∵当时，， ∴，故⑥正确； 综上所述，正确的有②③⑤⑥，共4个． 二、填空题：将下列各题的正确答案填在下面横线上．（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 从中国铁路总公司获悉，月1，全国铁路预计发送旅客万人次，创历年发送人数最高．万用科学记数法表示为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：万即大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴万用科学记数法表示为， 故答案为：． 14. 函数中，自变量的取值范围为__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不能为0，进行求解即可. 【详解】解：由题意，且， 解得且. 15. 已知反比例函数，它的两个分支分别在第一、第三象限，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数的形式为（），即自变量的次数为；反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，说明比例系数大于，即． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， 解得． ∵它的两个分支分别在第一、第三象限， ∴， ∴． 16. 把二次函数向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数一般式化为顶点式，然后根据平移规则：“左加右减，上加下减”，左右平移针对自变量x操作，上下平移针对函数整体值操作，即可得到平移后抛物线的解析式． 【详解】解：对变形： 向上平移3个单位长度，给函数整体加3，得：； 再向右平移2个单位长度，将自变量x替换为，即． 所以，平移后的二次函数解析式为． 17. 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则－mn＋=_______． 【答案】25 【解析】 【详解】试题分析：由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n=4，mn=﹣3，将所求式子利用完全平方公式变形后，即﹣mn+=﹣3mn=16+9=25． 故答案为25． 考点：根与系数的关系． 18. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请________个球队参加比赛 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设应邀请个球队参加比赛，每个球除要和除自己以外的个球除进行次比赛，所以个球除进行单循环形式共需要进行场比赛，因为计划安排场比赛，所以可列方程，解方程即可求出球队的个数． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 根据题意可得： 解方程可得：，(舍去)， 答：应邀请个球队参加比赛． 故答案为： ． 19. 抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，勾股定理等．由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：抛物线L的解析式为， 抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线L过两点， ， ， ，， 抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M， 设抛物线M的顶点， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得， 解得，， 点C的坐标为或 故答案为：或． 20. 如图，直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5， ∴不等式的解集是． 21. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面．如图所示的直角坐标系中，若水位上涨，此时水面的宽度为__________． 【答案】##米 【解析】 【分析】根据待定系数法可求得抛物线解析式，再令，求得对应的值，即可得解． 【详解】解：设该抛物线的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． ∵水位上涨， ∴令，得，解得， ∴此时水面的宽度为． 22. 如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的面积记作；取中点；作，，得到四边形，它的面积记作．照此规律作下去，_______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用中位线定理、等边三角形的判定与性质求出，，，再归纳总结出一般规律，由此即可得． 【详解】是边长为1的等边三角形 点E为BC的中点， 都是的中位线， 都是等边三角形，且 同理可得： 归纳类推得：（其中，n为正整数） 如图，连接CF 则（等腰三角形的三线合一） 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识点，正确求出，，，并归纳总结出一般规律是解题关键． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 用给定的方法解下列方程． （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（因式分解法） （4）（任选方法） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：， ， ， ∴． 24. 如图，某新建小区准备围成一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，现有长为的篱笆，一面靠墙（墙长为），设花园宽为x（），面积为S（） （1）求S与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少； （3）求花圃的最大面积． 【答案】（1）， （2）的长为 （3）花圃的最大面积为 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式求出函数关系式，根据矩形的边长为正数，以及与墙平行的边的长度不能超过墙长，求出自变量的范围即可； （2）令，进行求解即可； （3）根据二次函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 解：由题意，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：当时， 解得（舍去）或； 答：的长为； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向下，当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，的值最大为； 故花圃的最大面积为. 25. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．一次函数的图像与x轴交于，与反比例函数的图像交于，射线与反比例函数的图像交于点C，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）把点代入一次函数求得k的值，即可求得一次函数的表达式；把点代入一次函数可得，把点代入反比例函数求出m的值，即可得到反比例函数解析式； （2）结合函数图像关于原点中心对称可知，根据求解即可． 【小问1详解】 解∶∵一次函数的图像与x轴交于点， ∴，解得，        ∴一次函数的表达式为． ∵一次函数过点， ∴，即， ∵反比例函数的图像过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：射线与反比例函数的图像交于点C，结合函数图像关于原点中心对称可知， 如图：过点作轴于点E，过点作轴于点D， ∴，， ∵， ∴， ∴． 26. 若关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为、，且，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 整理得， 解得或， ， ． 27. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是元．调查发现：销售单价是元时，月销售量是件，而销售单价每上涨元，月销售量就减少件，但每件玩具售价不能高于元． 设每件玩具的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元． （1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围． （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为0元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？ 【答案】（1）且为正整数 （2）每件玩具的售价定为元时，月销售利润恰为元 （3）元或元 【解析】 【分析】（1）根据利润等于售价减去进价再乘以销量，列出函数关系式，即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （3）根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， 自变量x的取值范围是：且x为正整数； 【小问2详解】 解：当时，得， 解得，（不合题意，舍去）， 当时，， 答：每件玩具的售价定为元时，月销售利润恰为元； 【小问3详解】 解：根据题意得： ， ， 当时，有最大值为， 且为正整数， 当时，，（元）， 当时，，（元）， 答：每件玩具的售价定为元或元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，列出函数关系式是解题的关键． 28. 如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标； （3）为抛物线的对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）由直线解析式求出A、B坐标，然后确定C点的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式； （2）设，如图：过点D作轴，交直线于点E，再求得得出方程，解出m值即可解答 （3）先求得抛物线的对称轴直线为，如图：设结合，分和两种情况，分别利用两点间距离公式列方程求得e的值即可解答． 【小问1详解】 解：直线中，当，则；当，则， ∴， ∵点为的中点， ∴，将A和C代入抛物线中， ，解得：， ∴抛物线表达式为：． 【小问2详解】 解：联立：，解得：或， ∴直线与抛物线交于点和， ∵点D是直线下方抛物线上的一点， 设， ∴， 如图：过点D作轴，交直线于点E， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点D的坐标为． 【小问3详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴直线为， 设，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴如图：当， ∴，解得：或， ∴点E的坐标为或； 如图：当， ∴，解得：或， ∴点E的坐标为或． 综上，点E的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四学年数学试题 2026—2027学年度第一学期第一次考试 一、选择题：（本题共12个小题，每小题3分，共36分）将正确答案的选项填在答题卡中． 1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于的图象下列叙述正确的是（　　） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为 C. 当时，随增大而增大 D. 当时，随增大而减小 3. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　） A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24 4. 如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 不确定 5. 若二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为（ ） A. x1＝0，x2＝6 B. x1＝1，x2＝7 C. x1＝1，x2＝－7 D. x1＝－1，x2＝7 6. 我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. 1.4（1＋x）＝4.5 B. 1.4（1＋2x）＝4.5 C. 1.4（1＋x）2＝4.5 D. 1.4（1＋x）＋1.4（1＋x）2＝4.5 7. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（） A. B. C. 且 D. 且 10. （2014•遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知反比例函数经过点,当时自变量的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 12. 如图，抛物线（）与轴交于A、B两点，下列结论①；②；③当时，；④；⑤若，且，则；⑥．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：将下列各题的正确答案填在下面横线上．（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 从中国铁路总公司获悉，月1，全国铁路预计发送旅客万人次，创历年发送人数最高．万用科学记数法表示为_________________． 14. 函数中，自变量的取值范围为__________． 15. 已知反比例函数，它的两个分支分别在第一、第三象限，则__________． 16. 把二次函数向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为__________． 17. 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则－mn＋=_______． 18. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请________个球队参加比赛 19. 抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为_______． 20. 如图，直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是__________． 21. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面．如图所示的直角坐标系中，若水位上涨，此时水面的宽度为__________． 22. 如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的面积记作；取中点；作，，得到四边形，它的面积记作．照此规律作下去，_______． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 用给定的方法解下列方程． （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（因式分解法） （4）（任选方法） 24. 如图，某新建小区准备围成一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，现有长为的篱笆，一面靠墙（墙长为），设花园宽为x（），面积为S（） （1）求S与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少； （3）求花圃的最大面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．一次函数的图像与x轴交于，与反比例函数的图像交于，射线与反比例函数的图像交于点C，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积． 26. 若关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为、，且，求k的值． 27. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是元．调查发现：销售单价是元时，月销售量是件，而销售单价每上涨元，月销售量就减少件，但每件玩具售价不能高于元． 设每件玩具的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元． （1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围． （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为0元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？ 28. 如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标； （3）为抛物线的对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $