精品解析：黑龙江省绥化市海伦市第十中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

初四学年数学试题2025—2026学年度第一学期月考考试 考生注意： 1．考试时间110分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、单项选择题（每小题3分，共36分，答案写在答题卡里） 1. 下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2020年11月10日，中国万米载人潜水器“奋斗者”号在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达，将10909用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 四边形为矩形纸片．把纸片折叠，使点B恰好落在边的中点E处，折痕为．若，则AF等于（ ） A. B. C. D. 8 12. 如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，下列结论： ①； ②； ③当时，； ④； ⑤若，且，则； ⑥； 其中正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分，共30分，答案写在答题卡里） 13. 计算__________. 14. 分解因式________． 15. 函数中自变量的取值范围是______． 16. 化简代数式_____． 17. 若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是________． 18. 在中，,,，另一个和它相似的三角形最长边长是，则最短边长是__________． 19. 如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为______m（结果保留根号）． 20. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A在直线∶上，过点A作轴，垂足为点B，将沿过点A的直线翻折，使斜边落在上，得到，再将绕点旋转，得到，……，按此规律，依次翻折、旋转．若点B的坐标为，则点的坐标为_________． 22. 已知等腰，，．现将以点为旋转中心旋转，得到，延长交直线于点D．则的长度为_______． 三、解答题 23. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点A逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留） 24. 2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震，震源深度30千米，我省部分地区也受到此地震影响．如图B、C两地间有一段笔直的高速铁路，长度为，此次地震对地面上以点A为圆心，为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从B、C两地处测得点A的方位角如图所示．（结果精确到0.1km，参考数据：，） （1）求的度数； （2）高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由． 25. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 26. 如图，为的直径，点是上一点，平分交于点，过点作直线分别交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 27. （1）如图，在矩形中，为边上一点，连接， ①若，过作交于点，求证：； ②若时，则______． （2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值． （3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长． 28. 如图，一次函数与二次函数的图象交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，点C的坐标为_______； （3）点D为抛物线位于线段下方图象上一动点，过点D作轴，交线段于点E，求线段长度的最大值并求出此时点D的坐标． （4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标． 29. 甲、乙两辆新能源货车分别从相距的，两地同时出发，甲货车从地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往地，乙货车沿同一条公路从地驶往地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回地，结果比甲货车晚半小时到达地．如图是甲、乙两货车距地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答问题： （1）甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ． （2）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四学年数学试题2025—2026学年度第一学期月考考试 考生注意： 1．考试时间110分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、单项选择题（每小题3分，共36分，答案写在答题卡里） 1. 下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念； 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 2020年11月10日，中国万米载人潜水器“奋斗者”号在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达，将10909用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的正确表示方法是解题的关键． 根据科学记数法的定义，需将数值表示为的形式，其中，为整数． 【详解】解：将10909用科学记数法表示时，需将小数点左移四位，得到，此时，因此表示为．选项B、C、D中的均不满足的条件， 故选：A． 3. 三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看，是一列两个相邻的正方形． 故选：D． 4. 二次函数的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式，直接判断最小值． 【详解】解：二次函数，顶点坐标为， ∵， ∴当时，有最小值 3 ， 故选： D． 5. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的乘方、同类项的定义、幂的乘方和平方差公式逐一判断即可． 【详解】A． ，故本选项原说法错误； B． ，故本选项原说法错误； C． ，故本选项原说法错误； D． ，故本选项正确． 故选D． 【点睛】此题考查的是幂的运算性质和整式的运算，掌握积的乘方、合并同类项和幂的乘方是解决此题的关键． 6. 如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，从而得到，再根据得到，从而得到，最后得到即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的性质及判定方法是解决本题的关键． 7. 如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由切线性质得出，根据三角形的内角和是、对顶角相等求出，即可得出答案； 【详解】解：PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查圆内求角的度数，涉及知识点：切线的性质、对顶角相等、等腰三角形的性质、三角形的内角和是，解题关键根据切线性质推出． 8. 某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数的含义，掌握“把一组数据按照从小到大或从大到小先排序，如果这组数据有奇数个，则正中间的数即为中位数，如果数据是偶数个则最中间两位数的平均数为中位数”是解本题的关键． 【详解】解：在这组数据中位于中间的数据为8， ∴中位数为8， 故选B． 9. 某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程． 根据题意，初一植树900棵与初二植树1200棵所用时间相同，且两个年级平均每小时共植树350棵．设初一年级平均每小时植树x棵，则初二年级平均每小时植树棵，利用时间相等关系列出方程． 【详解】解：∵初一植树900棵所需时间为小时，初二植树1200棵所需时间为小时，且时间相同， ∴． 故选：D． 10. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于； 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 11. 四边形为矩形纸片．把纸片折叠，使点B恰好落在边的中点E处，折痕为．若，则AF等于（ ） A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识. 由图形折叠的性质得到，，由是的中点可求出的长，再求出的长，从而用表示出，在中利用勾股定理求出的长，进而再利用勾股定理即可求得答案. 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠的性质得，，， ∵，为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得： ∴. 故选：C． 12. 如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，下列结论： ①； ②； ③当时，； ④； ⑤若，且，则； ⑥； 其中正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，抛物线与轴交点的问题，会利用对称轴的范围求与的关系，以及掌握二次函数与方程之间的转换是解题关键． 由抛物线的开口方向判断，由抛物线与轴的交点判断，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ，，， ∴，， ，；故①错误，故②正确； ∵开口向下， ∴当时，y有最大值，即为， 当时，，即为，故③正确； 对称轴是直线，与轴交点在左边， 二次函数与轴的另一个交点在与之间， ，故④错误； ， ， ， ， ， ， ，， ，故⑤正确； ⑥对于，当，则， ∴， ∵， ∴，故⑥错误， ∴正确的有3个， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共30分，答案写在答题卡里） 13. 计算__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值作答． 【详解】解： 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，要熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 14. 分解因式________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式，即可进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握完全平方公式． 15. 函数中自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案． 【详解】解：根据题意， ， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题． 16. 化简代数式_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先计算括号内的分式减法，得到；再将除法转化为乘法，即乘以除式的倒数；最后约去公因式简化． 【详解】解：原式= = = = =． 故答案为：． 17. 若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数． 【详解】根据圆锥侧面积公式：，可得 解得：， ， 解得， 侧面展开图的圆心角是． 故答案为：． 18. 在中，,,，另一个和它相似的三角形最长边长是，则最短边长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设另一个三角形最短的一边是x，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论． 【详解】解：设另一个三角形最短的一边是x， ∵中，,,，另一个和它相似的三角形最长的一边是， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 19. 如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为______m（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得，然后利用三角函数求解即可． 【详解】解：依题意，． 在中，， 在中，， ∴． 故答案为：． 20. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________． 【答案】8 【解析】 【详解】如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值 作交于，则为所求； 设,, 由，， h+5=8，即BM+MN的最小值是8. 点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A在直线∶上，过点A作轴，垂足为点B，将沿过点A的直线翻折，使斜边落在上，得到，再将绕点旋转，得到，……，按此规律，依次翻折、旋转．若点B的坐标为，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律和解直角三角形，根据题意找到点的规律是解题的关键． 根据题意可求得，，，，，根据翻折和旋转的性质可得，，，，，……，根据解直角三角形求出的坐标，由图形可找到点的运动规律，求出每次循环的坐标差，进而可求得的坐标． 【详解】解：已知，轴，在上， 可得，，，，， ∴翻折、旋转后可得，， ，， ∴，，，，，…… 如图， 可求出的坐标为，即， 由图可知翻折、旋转后点的规律为4次一个循环，即到为第一个循环， ∵，所以为507次循环的开始， 由图可知和的纵坐标、横坐标的距离与和的纵坐标、横坐标的距离相等， 即纵坐标距离相差，横坐标的距离相差， ∴的坐标为， 故答案为：． 22. 已知等腰，，．现将以点为旋转中心旋转，得到，延长交直线于点D．则的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点，当以点为旋转中心顺时针旋转，过点作交于点，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵等腰，，． ∴， ∴，, ∴， 如图所示，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点， ∵， ∴，， 在中，，， ∵等腰，，． ∴， ∵以点为旋转中心逆时针旋转， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴， 如图所示，当以点为旋转中心顺时针旋转，过点作交于点， 在中，， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 综上所述，的长度为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类讨论是解题的关键． 三、解答题 23. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点A逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留） 【答案】（1） 如图，为所求；点的坐标为， （2）如图，为所求；， （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变； （2）根据网格结构找出点、以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）先求出，再由旋转角等于，利用弧长公式即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 点B旋转到点的过程中所经过的路径长． 24. 2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震，震源深度30千米，我省部分地区也受到此地震影响．如图B、C两地间有一段笔直的高速铁路，长度为，此次地震对地面上以点A为圆心，为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从B、C两地处测得点A的方位角如图所示．（结果精确到0.1km，参考数据：，） （1）求的度数； （2）高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2） 解∶ 高速铁路不会受到地震的影响． 理由：在中，， ． 设，则． 在中，，， ， ， ， 解得． ， ， 高速铁路不会受到地震的影响． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是∶ （1）过点作于点，根据方位角定义求出，，即可求解； （2）设，则．在中，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，得出，解方程求出x的值，再进行比较，即可得出高速铁路是否会受到地震的影响． 【小问1详解】 解∶过点作于点， 由图可得，，， ． 【小问2详解】 略 25. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元 （2）方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆；方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆；方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆 （3）购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程组是解题的关键． （1）设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，根据题意列出方程组，解出的值即可解答； （2）设购买A型汽车辆，B型汽车辆，根据题意列出方程，得出，结合是整数，得出是5的倍数，且，再列举出所有符合题意的值，即可解答； （3）结合（2）中的购买方案，计算每一种方案的获利，比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元， 由题意得，， 解得：， 答：A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元； 【小问2详解】 解：设购买A型汽车辆，B型汽车辆， 由题意得，， 整理得，， 是整数， 是5的倍数，且， ， 当，， 当，， 当，， 购买方案有3种，分别是： 方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆； 方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆； 方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆； 【小问3详解】 解：方案一获利：（元）， 方案二获利：（元）， 方案三获利：（元）， ， 购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元． 26. 如图，为的直径，点是上一点，平分交于点，过点作直线分别交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图， 是的平分线， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得到，结合圆周角定理得，再结合的直径得，由平行线得即可证明； （2）过点A作于点G，过点B作于点H，则四边形为矩形，有和，证明有，即可求得，同理可证，，求得，由即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点A作于点G，过点B作于点H，如图， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， ∴的半径为5， ∵， ∴， 解得， 同理可证，，则 即， 解得， 则． 【点睛】本题主要考查直径所对的圆周角为直角、圆周角定理、角平分线的性质、切线的判定、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟悉圆的性质和三角形的性质． 27. （1）如图，在矩形中，为边上一点，连接， ①若，过作交于点，求证：； ②若时，则______． （2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值． （3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长． 【答案】 （1）①证明：∵四边形是矩形，则， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴； ②； （2）； （3）或或 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质得出，，进而证明结合已知条件，即可证明； ②由①可得，，证明，得出，根据，即可求解； （2）根据菱形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分三种情况讨论，①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，证明，解，进而得出，根据，得出，建立方程解方程即可求解；②当点在边上时，如图所示，连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，同理证明，根据得出，建立方程，解方程即可求解；③当点在边上时，如图所示，过点作于点，求得，而，得出矛盾，则此情况不存在． 【详解】解：（1）①略 ②由①可得， ∴ ∴， 又∵ ∴, 故答案为：． （2）∵在菱形中，， ∴，， 则， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴, 又， ∴， ∴， ∴； （3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点， ∵平行四边形中，，， ∴，, ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 在中，， 则，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则，，， ∴ 解得：或， 即或， ②当点在边上时，如图所示， 连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形， 设，则，， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ 过点作于点， 在中，， ∴，， ∴，则， ∴， ∴， ， ∴ ∴， 即， ∴ 即 解得：（舍去） 即； ③当点在边上时，如图所示， 过点作于点， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点不可能在边上， 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 28. 如图，一次函数与二次函数的图象交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，点C的坐标为_______； （3）点D为抛物线位于线段下方图象上一动点，过点D作轴，交线段于点E，求线段长度的最大值并求出此时点D的坐标． （4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标． 【答案】（1） （2） （3）有最大值为， （4） 【解析】 【分析】（1）将，代入得到关于，的二元一次方程组求解即可； （2）抛物线的对称轴为，求出直线与对称轴的交点即可求解； （3）设，则，则，根据二次函数的性质得出的最大值，即可求解此时点坐标； （4）根据题意画出图形，分情况求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，设直线的解析式为：， 把点 ，代入， 得，解得 ， 直线的解析式为： ， 由（1）知抛物线的对称轴为， 点为抛物线对称轴上一动点，， 当点在上时，最小， 把代入，得， 点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，由（2）知 直线的解析式为， 设，则， 则， 当时，有最大值为， ∴ 【小问4详解】 解：如图，直线的解析式为：， 直线与轴的交点为， ， ， ， ， 若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论： ①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形为正方形， 依题意，知D与F重合，点的坐标为； ②以为中心分别作点F，点C的对称点 ，连接，则四边形是正方形， ∵， ∴点的坐标为； ③延长到使，作于点，则四边形是正方形， ∵点的坐标为，即，且为中点， ∴的坐标为； ④取的中点，的中点，则为正方形， ∵， ∴的坐标为， 综上所述，点N的坐标为： 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形面积问题，特殊四边形问题，正方形的性质，根据题意正确画图是解本题的关键． 29. 甲、乙两辆新能源货车分别从相距的，两地同时出发，甲货车从地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往地，乙货车沿同一条公路从地驶往地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回地，结果比甲货车晚半小时到达地．如图是甲、乙两货车距地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答问题： （1）甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ． （2）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象和性质，解一元一次方程等： （1）根据图象可知，甲货车到达配货站之前的速度，乙货车的速度． （2）段的函数表达式为，段的函数表达式为，段的函数表达式为，段的函数表达式为，分三种情况讨论：当甲货车在段，乙货车在段时；当甲货车在段，乙货车在段时；当甲货车在段，乙货车在段时． 【小问1详解】 甲货车到达配货站之前的速度． 乙货车的速度． 故答案为： 【小问2详解】 设段的函数表达式为． 根据图象可知，点和点在的图象上，可得 解得 所以，段的函数表达式为． 同理可得，段的函数表达式为，段的函数表达式为，段的函数表达式为． ①当甲货车在段（即甲货车到达配货站之前），乙货车在段时（即乙货车到达配货站之前），根据题意可得 ． 解得 ． 经检验，符合题意． ②当甲货车在段（即甲货车到达配货站之前），乙货车在段时（即乙货车从配货站返回地），根据题意可得 ． 解得 ． 经检验，符合题意． ③当甲货车在段（即甲货车从配货站出发去往地），乙货车在段时（即乙货车从配货站返回地），根据题意可得 ． 解得 ． 经检验，符合题意． 综上所述，出发时间为，，时，甲、乙两货车与配货站的距离相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $