精品解析：山东省青岛第二中学2026-2027学年第一学期10月份阶段练习（一）高二数学试题

青岛二中2026-2027学年第一学期10月份阶段练习一 高二数学试题 时间：90分钟 满分：120分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 焦点在轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与，则“”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知圆是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如果实数满足等式，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A. B. C. D. 7. 已知圆，点在直线上.若圆上存在两点，使得是等边三角形，则点的纵坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线恒过定点，圆上的两点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与间的距离是 C. 若两条不同直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的必要不充分条件 D. 与点和点距离是1的直线有且只有两条 10. 椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（ ） A. 的焦距为2 B. 的短轴长为1 C. 的离心率为 D. 的周长为 11. 已知圆，圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆关于点对称的圆的方程为： B. 存在，使得圆与圆内含 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则其外公切线长度为 D. 若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 12. 已知与轴分别交于两点（其中在轴负半轴），为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域（含边界）记作，则下列说法正确的是（ ） A. 若的方程为，则 B. 若为区域内的动点，则的最大值为1 C. 内的点到轴距离的最大值为 D. 若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 13. 已知是直线的一个方向向量，则直线的斜率为_________. 14. 若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为_________. 15. 已知圆为圆上相异两点，且，则的最大值为_________. 16. 已知点分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点，已知，，则的最小值为_________ 四､解答题：本题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． （1）求顶点，的坐标； （2）求外接圆的标准方程． 18. 已知圆的圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知点，过点的直线与圆交于两点（在之间），若，求线段的长度. 19. 已知点，动点在圆上运动.设线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设点为直线上的一动点.过点作曲线的两条切线，切点为，若的面积为，求点的坐标； （3）点是曲线上任意一点，点，是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛二中2026-2027学年第一学期10月份阶段练习一 高二数学试题 时间：90分钟 满分：120分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把直线方程化成斜截式方程，求出斜率，再根据直线斜率与直线倾斜角之间的关系，结合特殊角的正切值，求出直线的倾斜角. 【详解】由化简得：， 所以直线的斜率为，为倾斜角， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 焦点在轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定椭圆标准方程的形式，再计算参数的值，代入即可得到椭圆方程. 【详解】因焦点在轴上，则椭圆方程为， 由条件得：，，则椭圆方程为. 3. 已知直线与，则“”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得． 【详解】，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 故＂＂是＂＂的充要条件． 4. 已知圆是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，利用垂径定理结合条件求出，即得点的轨迹为圆，写出其轨迹方程即可. 【详解】如图，连接，则，且， 在中，，因， 故的中点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 其方程为. 5. 如果实数满足等式，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将其看作过的直线的斜率，利用圆心到直线的距离不大于半径得解. 【详解】由知圆心为，半径为， 由题意可设过点的直线的斜率为， 所以直线方程为，且直线与圆有公共点， 则，解得， 所以的最小值为. 6. 圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两圆方程得圆心和半径，判断两圆外离，求公切线时，利用圆心到直线的距离等于半径这一条件，逐一检验选项：分别计算两圆心到各直线的距离，若都等于半径，则该直线为公切线. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 两圆半径相等，圆心距所以两圆外离，有公切线； A选项：，圆心到该直线距离，不是切线，A选项错误； C选项：，圆心到该直线距离，也不是切线，C选项错误； B选项：，圆心到直线距离，不是切线，B选项错误； D选项：，圆心到直线距离，圆心到直线距离， 两者都等于半径，所以是两圆的一条公切线，D选项正确. 7. 已知圆，点在直线上.若圆上存在两点，使得是等边三角形，则点的纵坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意存在点，使得是等边三角形，过作圆的切线，切点为，连接，则，又，即可得到，设，根据距离公式得到不等式，解得即可. 【详解】圆，圆心为原点，半径. 在直线上，设. 因为圆上存在两点使为等边三角形，所以， 过作圆的切线，切点为，连接， 则，又， 所以，即，则， 即，解得，故， 所以，点的纵坐标的取值范围为. 8. 已知直线恒过定点，圆上的两点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，由得到三点共线，设弦的中点为，得到，利用，得到E的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设直线l为，利用点到直线的距离求出E到l的最小距离，过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，则四边形是直角梯形，且R是的中点，则是直角梯形的中位线，即，计算得解. 【详解】， ，解得，则， ,三点共线， 设弦的中点为，连接，则，即， ∴，，， 所以点E的轨迹方程为， 即E的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设直线l为， 则到的最小距离为， 过P、E、Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、R、N， 则四边形是直角梯形，且R是的中点， 则是直角梯形的中位线， ∴， 即， 即， 所以的最小值为． 二､多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与间的距离是 C. 若两条不同直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的必要不充分条件 D. 与点和点距离是1的直线有且只有两条 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，直线方程整理为，则斜率． 直线倾斜角的范围是，且需满足． 例如，则，此时倾斜角，与不相等， 故直线的倾斜角不一定为，故A错误； 对于B，两条直线的方程为和， 先将系数化为一致，即变为． 故两条直线的距离为，故B正确； 对于C，若，则倾斜角，且倾斜角范围． 当时，和无意义，则不成立，故充分性不成立； 若，且，则，故，故必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，设点和点，则． 与、距离均为1的直线，需满足到两点的距离均为1， 即直线为两圆（为圆心、1为半径；为圆心、1为半径）的公切线． 两圆半径均为1，圆心距， 故两圆外离，外离的两圆有4条公切线，故符合条件的直线有4条，不是2条，D错误． 10. 椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（ ） A. 的焦距为2 B. 的短轴长为1 C. 的离心率为 D. 的周长为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题设椭圆方程及的关系先求出，再结合条件求出，即得，，再由椭圆的定义求出的周长即可. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则焦距为，故A正确； 由椭圆的对称性，知，又，则得， 则的短半轴长，则短轴长为2，故B错误； 则椭圆的离心率为，故C正确； 的周长为，故D错误. 11. 已知圆，圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆关于点对称的圆的方程为： B. 存在，使得圆与圆内含 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则其外公切线长度为 D. 若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过求对称圆的圆心得出对称圆方程判断A；圆心距判断两圆位置关系判断B；根据公切线条数可得两圆的位置关系求解公切线判断C；结合圆的弦长性质与直线过圆心条件求，验证相交关系判断D. 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径. 选项A： 因为关于点的对称点是，所以圆关于点对称的圆的方程为：，即，故A正确； 选项B： 因为圆心距无解， 所以不存在，使得圆与圆内含，B错误. 选项C： 圆与圆恰有三条公切线，对应两圆外切，此时， 所以公切线的长为，C正确； 选项D： 圆的方程展开为，圆的方程展开为， 两式相减得公共弦所在直线方程为， 公共弦长最大时，公共弦为圆的直径（长度为2），此时直线过圆心， 代入得，解得. 验证圆心距，满足，两圆相交，公共弦存在，故公共弦长的最大值为2，D正确. 12. 已知与轴分别交于两点（其中在轴负半轴），为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域（含边界）记作，则下列说法正确的是（ ） A. 若的方程为，则 B. 若为区域内的动点，则的最大值为1 C. 内的点到轴距离的最大值为 D. 若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以AP为直径的圆的圆心是AP的中点，先求圆心E的轨迹与半径的变化规律，作出区域M的示意图，再对四个说法逐项推理：A由圆心与半径确定P后求角，B在M内找使AQ与AO垂直的点，C、D分别求M上的点到x轴、到原点距离的最大值. 【详解】由 得，. 设，， 则的圆心为的中点，半径. 圆心的坐标满足，即在以 为圆心、 为半径的圆上运动， 且由知每个都经过点. 由对称性，区域关于轴对称， 如图所示（虚线圆为与时的一个，实线为的边界）， 以下只需考虑，此时. 对于选项A：圆 的圆心为，半径为. 由得，，即， 此时，，该圆确是 之一. 直线的斜率为，故与轴正方向所成的角为， 而在轴正半轴上，所以，说法A成立. 对于选项B：当时， 即圆. 取点， 由 知在该圆上，又含边界，所以. 此时直线即，与所在的轴垂直，，， 而角的正弦值不会超过 ，所以的最大值为 ，说法B成立. 对于选项C：内各点纵坐标的最大值为（圆的最高点的纵坐标）， 故内点纵坐标的最大值为. 当时，令，则. 设，则 . 当 时 ，，函数单调递增， 当 时， ，函数单调递减， 所以. 所以内点到轴距离的最大值为 （在 的 的最高点处取得），不等于，说法C不成立. 对于选项D：以为圆心的圆能覆盖，半径必须不小于上的点到距离的最大值， 而上的点到O距离的最大值为. 当 时，. 于是， 当且仅当时取等号，所以覆盖圆的最小半径为，其面积的最小值为，说法D成立. 三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 13. 已知是直线的一个方向向量，则直线的斜率为_________. 【答案】## 【解析】 【详解】由题意得，直线的斜率为. 14. 若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据为直角三角形，进而根据求解的最小值即可求得的最小值. 【详解】圆：，圆心，半径， 是切线，为切点，由切线性质：，为直角三角形， 由勾股定理：，其中， 所以 要最小，即最小，故当时，， 所以，的最小值为. 15. 已知圆为圆上相异两点，且，则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到A，B的关系，进而得到的关系，代入目标式以后，利用三角换元求最值. 【详解】因为，则， 又A，B为圆O上相异两点，则A，B关于原点O对称， 所以，，所以， 由圆得半径，圆心为， 设，所以， 当时，取最大值为， 即的最大值为. 16. 已知点分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点，已知，，则的最小值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由阿波罗尼斯圆的性质，转化，利用三角形两边之和大于第三边的思想求折线最小值. 【详解】由分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点， 可得：点的轨迹为圆， 设存在点对于圆上任意一点都满足，， 则点到点的距离为点到点的距离的两倍， 点到点的距离为点到点的距离的两倍，，  对圆上的点任意一点， 都有相似三角形关系（两边成比例​，共角）， 因此 则圆上的点满足: ， 所以， 因为， 所以. 四､解答题：本题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． （1）求顶点，的坐标； （2）求外接圆的标准方程． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先由高所在直线，点的坐标，确定所在直线方程，从而联立方程组求出点的坐标，再设点，求得中点的坐标，通过点，点所在直线的方程，联立方程组求出点的坐标； （2）设外接圆的方程为，代入三个顶点坐标，求得参数取值，再转化为标准方程，即可求解． 【小问1详解】 因为，所以． 又因为所在直线的方程为，即，所以． 因为点，代入点斜式， 所以，即． 联立方程，解得，即点． 设点，则． 因为点在上，点在上， 所以联立方程，解得，即点． 【小问2详解】 设外接圆的方程为, 代入三个顶点坐标，可得，解得， 故外接圆的方程为，即． 18. 已知圆的圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知点，过点的直线与圆交于两点（在之间），若，求线段的长度. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1） 根据圆的一般式写出圆心的坐标为，代入直线方程求出，即可得到圆C方程； （2） 与同高，面积之比转化为底边长之比，得到； 取弦中点，由垂径定理得，设，找到关系并列出方程求出，进而求得弦长． 【小问1详解】 由圆可知圆心的坐标为， 又因为圆心在直线上， 所以，解得，则圆心的坐标为， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 因为与同高，所以三角形面积之比可转化为底边长之比， 又，所以， 取中点，则， 令，则，， 由垂径定理可知， 在中， 在中， 所以，得，解得， 所以线段． 19. 已知点，动点在圆上运动.设线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设点为直线上的一动点.过点作曲线的两条切线，切点为，若的面积为，求点的坐标； （3）点是曲线上任意一点，点，是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）设线段的中点为，得出，代入方程中即可； （2）设，，得出，再令，解一元三次方程即可； （3）设，，，根据条件列关系式，再根据任意性即可列方程组求出. 【小问1详解】 设线段的中点为，则， 代入中得，即， 故曲线的方程为； 【小问2详解】 设，， 则，则，， 则， 令，则，即， 得，则， 设，则，得或， 则或； 【小问3详解】 存在，或， 设，，， 因为，所以 ， 则， 因为点是曲线上任意一点，所以， 得或，即或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $