精品解析：山东省新泰市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段性考试数学试题

新泰一中2025级高二上学期第一次阶段性考试 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求） 1. 若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方向向量求出斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率， 所以直线方程为，化简可得. 故选：A 2. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【详解】，，， 则． 故选：A． 3. 已知，若四点共面，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据四点共面，结合空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题可知. 因为四点共面，所以， 即， 则解得. 故选：A 4. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是（ ） A. B. 1或 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行列方程求解即可. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，，满足； 当时，，即，， 两直线重合，不符合题意. 综上所述，. 故选：A. 5. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把直线的方程整理为，显然直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】由直线的方程为，变形得， 显然直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 6. 给出以下命题，其中正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与平行 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为 D. 平面的法向量分别为，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示以及点到直线距离的向量法求解． 【详解】对于选项A， ，与不平行，故A错误； 对于选项B， ，与不平行，故B错误； 对于选项C，直线过点，且方向向量为 直线的标准方程为 过点作与已知直线垂直相交的平面，且设直线与平面的交点为， 则到直线的距离可转化为到的距离； 方向向量为 平面的方程为：,， 即：，设垂足， 点在平面上，则， 解得： ，故选项C正确； 对于选项D， 与不垂直，故选项D错误． 故选：C. 7. 在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为 A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 画出图形，作，则，可得，沿轴将坐标平面折成的二面角，故两异面直线所成的角为，结合已知，即可求得答案. 【详解】如图为折叠后的图形，其中作 则， 沿轴将坐标平面折成的二面角 两异面直线所成的角为． 可得： 故由 得 故选：D. 【点睛】本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向量的距离求解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题. 8. 下列四个说法中，正确说法的个数是（ ） ①经过定点的直线，都可以用方程来表示： ②经过任意两个不同点的直线都可以用方程来表示； ③在轴、轴上的截距分别为的直线方程都可以用表示； ④经过点的直线，都可以用方程来表示． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】①没有考虑斜率问题，错误；②对于任意不同点确定的直线都适合，正确；③根据截距概念判断；④考虑直线斜率是否存在问题 【详解】①过定点的直线斜率不存在时，方程不成立，故错误；②对于任意不同点确定的直线都适合，正确；③根据截距概念知可以为0，此时不能用表示，故错误；④当过点的直线斜率不存在时，不能用方程来表示，故错误. 故选B. 【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，考查斜率是否存在，截距是否为0，属于中档题. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上，全对得6分，漏选得部分分，错选不得分） 9. 如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 在上的投影向量为 D. 二面角的余弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出求出法向量和直线方向向量，根据向量关系即可判断AB；由投影向量公式可判断C；求出两个平面法向量，根据向量夹角公式可判断D. 【详解】以为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则令，则，. 因为，所以平面，A正确. ，所以EO不与平面平行，B错误. 在上的投影向量为，C错误． 易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为， 则，D正确. 故选：AD 10. 已知正方体的棱长为1，动点P满足（，，），下列说法正确的是（   ） A. 当时， B. 当，，时，则P到平面的距离的最小值是 C. 当，时，的最小值为 D. 当，且时，则P的轨迹总长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，计算，可判断A；利用点到平面的距离的向量公式，即可判断B；将折线距离和转化为平面内两点间距离即可判断C；利用点到平面的距离公式，结合点的轨迹，利用数形结合，即可判断D. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则 因为，∴ 对于A，当时，，此时,，，得，， 所以直线与平面垂直，故A正确； 对于B，由选项A知，向量也是平面的一个法向量，当，，时，，，则点到平面的距离，所以P到平面的距离的最小值是，故B不正确； 对于C，当，时，，， 故， 故 令，则 如图所示，， 显然当三点共线时，取得最小值， 最小值为，当且仅当，即时，等号成立，此时 则的最小值为，故C正确； 对于D，当时，可得四点共面，所以点的轨迹在内（包括边界），设点在平面内的投影为点， 因为，所以点是的中心， ，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 若，则， 即点落在以为圆心，为半径的圆上， 点到三边的距离为， 此时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，其轨迹长度为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知直线过定点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若直线不经过第四象限，则的取值范围为 C. 若直线在轴上的截距为－3，则 D. 若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】直线方程整理得，然后求定点即可判断A；由直线不经过第四象限，则斜率和在轴上的截距都大于等于零，列出不等式求解即可判断B；由截距可求得得到C；设，利用三点共线可得，再表示出，根据基本不等式即可求得最小值，根据取最值的条件即可求出直线方程判断D. 【详解】对于A，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故A正确； 对于B，直线，即， 直线不经过第四象限，，解得， 故的取值范围是，故B错误； 对于C，易知时，直线在轴上的截距存在， 依题意，令，得直线在轴上的截距为，解得． 对于D，设三点共线， ，整理得 ， 当且仅当，即时等号成立， 当取得最小值时，直线的方程为，即． 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填在答题纸的横线上） 12. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 13. 设直线l的斜率为k，且，则直线的倾斜角的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用倾斜角与斜率关系图象得解. 【详解】 由图得当时， 故答案为： 【点睛】熟悉倾斜角与斜率函数图象是解题关键. 14. 在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】将该四面体放置于长方体中，列方程求出长方体长宽高，再转化为求异面直线距离即可. 【详解】如图，将四面体放入长方体中，分别为矩形的中心， 设，，， 则，，， 得，，． 由图易知直线与异面，则线段长度的最小值即为求两异面直线距离， 即长方体的二平行平面间的距离. 故答案为：3 四、解答题（本大题5小题，共77分，解答应写出文字说明，演算步骤） 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解； （2）根据条件得到，再利用，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又，所以，得到. 【小问2详解】 因为，又，所以，解得或， 所以的坐标为或. 16. 求满足下列条件的直线方程； （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）过点，且与直线垂直的直线方程； （3）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂线直线的斜率乘积为，从而求解直线方程； （3）分直线过原点、不过原点讨论可得答案. 【小问1详解】 设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的方程为； 【小问2详解】 设与直线垂直的直线方程为； 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为； 【小问3详解】 当直线过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 综上，所求直线方程为或. 17. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 连接，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，AB，平面，所以平面， 又平面，则， 因为在直三棱柱中，所以四边形为正方形， 所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，则； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求证平面，再证明平面即可； （2）以A为原点建系，计算平面的一个法向量为，利用向量夹角和线面角之间的关系求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直三棱柱中，，所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 设与平面所成角为， 所以， 即与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的余弦值为. 18. 已知直线 （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）判断直线与直线的位置关系 （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）； （2）当时，两直线平行，当时，两直线相交； （3）4， 【解析】 【分析】（1）根据直线不经过第四象限，得到不等式，求出； （2）先根据平行的条件得到方程，求出，验证后得到两直线平行；当时，两直线相交； （3）根据题意得到不等式，求出，表达出，由基本不等式求出最值，并求出直线方程. 【小问1详解】 由直线不经过第四象限，又， 则，解得； 【小问2详解】 令，解得，此时直线，显然与平行； 当时，两直线相交， 综上，当时，两直线平行，当时，两直线相交； 【小问3详解】 直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面为， 由直线的方程可得与坐标轴的交点，， 则，解得：． ， 当且仅当，即时取等号． 的最小值为4，及此时直线的方程为：． 19. 如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 取的中点N， 连接， 如图所示： 为棱的中点， 四边形ABMN是平行四边形， 又平面， 平面， 平面. （2） （3）存在，理由如下： 假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设 则 由（i）知平面的一个法向量为 点Q到平面的距离是 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明； （2）建系得出平面和平面的法向量即可得出面面角余弦，最后同角三角函数关系求解正弦； （3）设再应用点到平面距离即可计算求参. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由在等腰梯形中，，，为边上靠近点的三等分点，可得， 也即 又平面平面，交线为,平面， 所以平面， 又平面ABCD， 又 以点D为坐标原点， 所在直线分别为轴建立直角坐标系，, 如图，则 为棱的中点， （i） 设平面的一个法向量为 则 令 则 平面的一个法向量为 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰一中2025级高二上学期第一次阶段性考试 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求） 1. 若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若四点共面，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 4. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是（ ） A. B. 1或 C. D. 6 5. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 6. 给出以下命题，其中正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与平行 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为 D. 平面的法向量分别为，则 7. 在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为 A. B. C. D. 2 8. 下列四个说法中，正确说法的个数是（ ） ①经过定点的直线，都可以用方程来表示： ②经过任意两个不同点的直线都可以用方程来表示； ③在轴、轴上的截距分别为的直线方程都可以用表示； ④经过点的直线，都可以用方程来表示． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上，全对得6分，漏选得部分分，错选不得分） 9. 如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 在上的投影向量为 D. 二面角的余弦值为 10. 已知正方体的棱长为1，动点P满足（，，），下列说法正确的是（   ） A. 当时， B. 当，，时，则P到平面的距离的最小值是 C. 当，时，的最小值为 D. 当，且时，则P的轨迹总长度为 11. 已知直线过定点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若直线不经过第四象限，则的取值范围为 C. 若直线在轴上的截距为－3，则 D. 若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填在答题纸的横线上） 12. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 13. 设直线l的斜率为k，且，则直线的倾斜角的取值范围是_________. 14. 在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为______． 四、解答题（本大题5小题，共77分，解答应写出文字说明，演算步骤） 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 16. 求满足下列条件的直线方程； （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）过点，且与直线垂直的直线方程； （3）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 17. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 18. 已知直线 （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）判断直线与直线的位置关系 （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 19. 如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $