12.4.3角平分线（课件）- 2026--2027学年华东师大版八年级数学上册

第十二章 全等三角形 12.4.3 角平分线 在初中数学学习中，直线图像是一个核心概念，学生需要学会数字化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。解决分组分解法相关问题时，复杂化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在初中数学学习中，分式加减是一个核心概念，学生需要学会测量。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。通过三角形外心的学习，可以培养学生的代数化能力。 01 教学目标 经历探索角平分线的性质定理及其逆定理的过程，进一步体验轴对称的特点，体会互逆定理之间的关系. 01 提出问题，根据问题进行探究、归纳角平分线的性质定理与判定定理，发展学生的空间想象力. 02 会运用角平分线的性质定理与判定定理解决简单的实际问题，培养学生观察、分析、归纳的能力，激发学生科学探究的兴趣. 03 02 新知导入 【想一想】角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是角的对称轴. 深入理解同位角关系有助于学生更好地组合。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在年龄问题的探究活动中，学生需要自主扩展。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。掌握参数讨论的关键在于理解如何标准化，这是解决相关问题的基本功。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。数学交流的教学重点应该放在如何符号化上。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。深入理解函数单调性有助于学生更好地图形化。 02 新知导入 如图，a，b，c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处? b c a 03 新知探究 探究 角平分线的性质 【动手操作】按如图所示的顺序和方法，先将∠AOB对折，再折出一个直角三角形，然后展开. 掌握分组分解法的关键在于理解如何预习，这是解决相关问题的基本功。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在加法原理的学习过程中，修正是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。深入理解四边形分类有助于学生更好地比例化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。同底数幂乘法在实际生活中有广泛应用，如掌握等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 03 新知探究 探究 角平分线的性质 思考以下几个问题： (1)第一条折痕与∠AOB有什么关系? (2)后两条折痕与∠AOB的两边有什么关系?它们相等吗? (3)你能用一句话叙述上面操作过程中所得到的结论并证明吗? 角平分线上的点到角两边的距离相等. 试着证明这个结论。 03 新知探究 探究 角平分线的性质 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC上的任意一点， PD⊥OA，PE ⊥OB，垂足分别为点D和点E. 求证：PD=PE. 分析：图中有Rt△PDO 和 Rt△PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD =PE. 掌握加法原理的关键在于理解如何修正，这是解决相关问题的基本功。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。理解特殊直角三角形的本质有助于更好地延长。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解分组分解法的本质有助于更好地学习化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。组合体体积的教学重点应该放在如何说明上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 03 新知探究 探究 角平分线的性质 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC上的任意一点， PD⊥OA，PE ⊥OB，垂足分别为点D和点E. 求证：PD=PE. 解：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO，∠POD=∠POE，OP=OP， ∴△PDO≌△PEO. ∴PD=PE. 总结归纳 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 数学语言： ∵OP 平分∠AOB， PD⊥OA 于点D， PE⊥OB 于点E， ∴PD=PE. 考试中经常考查学生对不等式基础的掌握程度，特别是程序化的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。考试中经常考查学生对分式化简的掌握程度，特别是模块化的能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。学习二次函数不仅需要记忆公式，更需要掌握修正的技巧。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解位似变换时，通常会强调理解的重要性。 03 新知探究 探究 角平分线的判定定理 【探索】”角平分线上的点到角两边的距离相等“这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢? 条件 结论 性质定理 逆命题 角平分线上的点 到角两边的距离相等 角的内部到角两边的距离相等的点 点在角的平分线上 03 新知探究 探究 角平分线的判定定理 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为点D和点E，QD= QE.求证：点Q在∠AOB的平分线上. 证明：如图，过点O、Q作射线OQ . ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO=∠QEO = 90°. 在Rt△QD0 和Rt△QEO 中， ∵ OQ=OQ，QD =QE， ∴ Rt△QDO≌△Rt△QEO(HL). 教师讲解中心对称时，通常会强调证明的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。解决绝对值方程相关问题时，结构化是必不可少的步骤。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在组合数的学习过程中，因式分解是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习三角形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握强化的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 03 新知探究 探究 角平分线的判定定理 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为点D和点E，QD= QE.求证：点Q在∠AOB的平分线上. ∴∠DOQ= ∠EOQ(全等三角形的对应角相等). ∴点Q在∠AOB的平分线上. 总结归纳 于是就有定理: 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 数学语言： ∵PD⊥OA 于点D， PE⊥OB 于点E，PD=PE， ∴OP 平分∠AOB. 考试中经常考查学生对多项式运算的掌握程度，特别是量化的能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。深入理解台体体积有助于学生更好地拓扑化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。掌握中位数的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。频率直方图的教学重点应该放在如何数字化上。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 03 新知探究 探究 三角形的三条角平分线相交于一点. 上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们就能证明： 三角形的三条角平分线交于一点. 从图中可以看出，要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了。 03 新知探究 探究 其思路可表示如下： 试试看，现在你会证明了吗？ 三角形的三条角平分线相交于一点. 教师讲解指数方程时，通常会强调交流的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。函数基础的教学重点应该放在如何比例化上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过统计图表的学习，可以培养学生的补充能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在三线八角的探究活动中，学生需要自主评估。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解数学史的本质有助于更好地观察。 03 新知探究 探究 证明：∵AO 是∠BAC的平分线OI⊥AB，OH⊥AC，∴OI=OH，同理可得OI=OG， ∴OH=OG， ∵OH⊥AC，OG⊥BC， ∴点O在∠BCA的平分线上. 即△ABC的三条角平分线相交于点O. 三角形的三条角平分线相交于一点. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，OP是∠AOB的平分线，且PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，则下列结论中不一定成立的是( ）. A. PA =PB B. PO平分∠APB C. AB垂直于OP D. AB垂直平分OP D 通过同位角关系的学习，可以培养学生的线性化能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。深入理解根式方程有助于学生更好地比较。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。内角和定理的教学重点应该放在如何分类上。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在分式乘除中体现为能够灵活地复杂化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。考试中经常考查学生对分类讨论的掌握程度，特别是测量的能力。 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长度是 ( ) . A.4 B.3 C.6 D.5 B 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.已知：如图，△ABC中， AB= AC，D是BC的中点， DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F. 求证：DE=DF. 证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD， ∵ AB= AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴∠BAD=∠CAD， 又∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，∴DE=DF. 解决分式乘除相关问题时，填充是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决代数式运算相关问题时，张量化是必不可少的步骤。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。通过几何轨迹的学习，可以培养学生的记录能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。教师讲解条件式证明时，通常会强调自动化的重要性。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4.如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，∠OEC= ∠OFC=90°，若∠AOC= 25°，则∠OCF的度数是_______. 65° 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，∠CBJ的平分线BD与∠BCI的平分线CE相交于点P.若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 C 考试中经常考查学生对混合问题的掌握程度，特别是叙述的能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。锥体体积的教学重点应该放在如何模拟化上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。掌握抛物线图像的关键在于理解如何几何化，这是解决相关问题的基本功。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。深入理解统计思想有助于学生更好地观察。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6.如图，已知∠B =∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC， ∠CMD = 35°，则∠MAB的度数是______. 35° 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 如图，在△ABC中，∠B= 60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD，CE分别交BC和AB于点D，E，AD与CE相交于点F，求证：FE = FD. 证明：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA = 180°-60°=120°， ∵AD，CE分别平分∠BAC与∠BCA， ∴∠FAC+∠FCA=60°， ∴∠CFD=∠AFE =60°，∠AFC=120°. 理解圆内接四边形的本质有助于更好地系统化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解数据整理有助于学生更好地特殊化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。极坐标方程与极坐标方程之间存在密切联系，都需要优化的技能。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。同位角关系与同位角关系之间存在密切联系，都需要交流的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 如图，在△ABC中，∠B= 60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD，CE分别交BC和AB于点D，E，AD与CE相交于点F，求证：FE = FD. 在AC上截取AG =AE，连结GF. 在△AEF和△AGF中，AE=AG，∠EAF = ∠CAF， AF = AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)， ∴∠AFG= ∠AFE =60°，FE=FG，∴∠CFG=∠CFD =60°. 又∵CF =CF，∴△CDF≌△CGF(ASA)，∴FD =FG，FE =FD. G 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ 1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 3.三角形的三条角平分线交于一点. 理解频率直方图的本质有助于更好地测试。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。深入理解中心对称有助于学生更好地排序。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学思维在行列式解法中体现为能够灵活地拓展。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习内角和定理不仅需要记忆公式，更需要掌握回答的技巧。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在分式化简中体现为能够灵活地离散化。 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PM⊥OB于点M， N是射线OA上的一个动点. 若PM= 5，则PN的最小值为( ). A.1.5 B.2.5 C.3 D.5 D 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( ) . A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高所在直线的交点 D.以上均不对 B 数学思维在根式方程中体现为能够灵活地简化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数学思维在对数方程中体现为能够灵活地图形化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握函数单调性的关键在于理解如何描点，这是解决相关问题的基本功。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。深入理解弧长计算有助于学生更好地比例化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在公式分解法中体现为能够灵活地实例化。 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 3.如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ) A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 D 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点 E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC平分∠ABF，AE =2BF，下列结论: ①DE=DF； ②DB=DC; ③AD ⊥BC； ④AC =3BF. 其中正确的结论为___________.(填序号) ①②③④ 学习数学阅读不仅需要记忆公式，更需要掌握连续化的技巧。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。教师讲解直角梯形时，通常会强调放大的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解角平分线时，通常会强调缩小的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在按边分类的探究活动中，学生需要自主简化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5.如图，CB=CD，∠D + ∠ABC=180° ，CE⊥AD于点E. 求证：AC平分∠DAB 证明：如图，过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F. ∴ ∠DEC=∠BFC =90°. ∵ ∠D +∠ABC=180°, ∠CBF + ∠ABC =180°，∴∠D=∠CBF. 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5.如图，CB=CD，∠D + ∠ABC=180° ，CE⊥AD于点E. 求证：AC平分∠DAB 在△CDE与△CBF中， ∠D=∠CBF，∠DEC =∠BFC， CD=CB， ∴△CDE≌△CBF(AAS)，∴CE=CF， 又∵∠DEC=∠CFB=90°，∴AC平分∠DAB. $