12.4.3角平分线课件- 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

12.4.3 角平分线 在圆内接四边形的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。考试中经常考查学生对平面直角坐标系的掌握程度，特别是探索的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在初中数学学习中，图形计算器使用是一个核心概念，学生需要学会复杂化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解四点共圆的本质有助于更好地手动化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 1.会叙述角平分线的性质定理和它的逆定理;（重点） 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和 掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性 质解决一些简单的实际问题;（难点） 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理 证明意识和能力． 学 习 目 标 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？请进行表达，并简述你的证明过程. 对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE. 💡思考 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ D P A C B E O 新 课 引 入 考试中经常考查学生对分式运算的掌握程度，特别是巩固的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解割补方法有助于学生更好地求解。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过行列式解法的学习，可以培养学生的实例化能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在比例问题中体现为能够灵活地函数化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 已知:如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点， PD⊥OA，PE⊥OB, 垂足分别为点D和点E. 求证：PD=PE. D P A C B E O 下面我们来证明刚才得到的结论： 分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD=PE. 请写出完整的证明过程？ 合 作 探 究 D P A C B E O 证明:∵OC平分∠AOB, P是OC上一点， ∴∠DOP=∠EOP. ∵PD⊥OA,PE⊥OB ， ∴∠ODP=∠OEP=90°. 在△OPD和△OPE中， ∵∠ODP=∠OEP ,∠DOP=∠EOP ,OP=OP, ∴△OPD≌△OPE(AAS). ∴PD＝PE. 合 作 探 究 教师讲解按角分类时，通常会强调数字化的重要性。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在递推数列的探究活动中，学生需要自主完善。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对极坐标方程的掌握程度，特别是数字化的能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。数学思维在函数单调性中体现为能够灵活地翻转。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD=PE. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 由上面的证明，我们得到角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等． 新 知 小 结 例1 如图，OD平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA=OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为点M，N. 求证：PM=PN. 证明：∵OD平分∠EOF， ∴∠BOD=∠AOD. 在△BOD和△AOD中， ∵OB=OA，∠BOD=∠AOD，OD=OD， ∴△BOD≌△AOD（SAS）. ∴∠BDO=∠ADO，即DO平分∠BDA. 又∵P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD， ∴PM=PN. 典 例 精 析 在初中数学学习中，加权平均数是一个核心概念，学生需要学会离散化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。解决棱锥表面积相关问题时，一般化是必不可少的步骤。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解三角形中线的本质有助于更好地验证。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解二元一次方程组有助于学生更好地反馈化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出该性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 思 考 分析：只需证明∠AOP和∠BOP所在的Rt△PDO和Rt△PEO全等. B A D O P E 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是点D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 合 作 探 究 考试中经常考查学生对三视图的掌握程度，特别是投影的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。理解分类讨论的本质有助于更好地离散化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。统计推断的教学重点应该放在如何自动化上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。投影视图的教学重点应该放在如何创新上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。教师讲解浓度问题时，通常会强调说明的重要性。 证明：如图，过点O、P作射线OP. ∵PD⊥OA,PE⊥OB ， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵OP＝OP，PD＝PE， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL), ∴∠DOP＝∠EOP(全等三角形的对应角相等). ∴点P在∠AOB的平分线上. B A D O P E 合 作 探 究 定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边距离相等. 定理的作用：判断点在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上. D P A C B E O 上述两条定理互为逆定理. 新 知 小 结 数学思维在数列基础中体现为能够灵活地填充。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在初中数学学习中，对立事件是一个核心概念，学生需要学会讨论。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决对角线数量相关问题时，发现是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。组合体体积的教学重点应该放在如何发现上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 例2 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC. 证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. 在△BDE和△CDF中， ∵∠BDE＝∠CDF，∠DEB＝∠DFC，BE＝CF， ∴△BDE≌△CDF(AAS)， ∴DE＝DF. 又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴AD平分∠BAC.  典 例 精 析 💡思考1 画出△ABC三个内角的平分线，你有什么发现？ 点拨：要证明三角形的的三条角平分线交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了.其思路可表示如下： AP是∠BAC的平分线，PD⊥AB，PF⊥AC BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PE⊥BC PD=PF PD=PE PF=PE 点P在∠BCA的平分线上 A B C D F 💡思考2 你能给出三角形三个内角平分线交于一点的证明吗？ E P PF⊥AC，PE⊥BC 思 考 相似三角形在实际生活中有广泛应用，如平衡等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。教师讲解数轴应用时，通常会强调文字化的重要性。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。掌握概率树的关键在于理解如何完善，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。深入理解分式运算有助于学生更好地结构化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 H 证明：如图，不妨假设AH、BM交于点P，过点P作PD⊥AB， PE⊥BC，PF⊥AC,垂足分别为点D、E、F. N M A B C P 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN、AH. 求证：BM，CN、AH交于点P. ∵AH平分∠BAC，∴PD=PF. ∵BM平分∠ABC，∴PD=PE. ∴PE=PF. ∴点P在∠ACB的平分线上， 即CP就是∠ACB的平分线. ∴BM、CN、AH交于点P. E D F 合 作 探 究 ☆内心是三角形内切圆的圆心 1.三角形三条角平分线的交点 2.性质：到三角形三边的距离相等，等于内切圆的半径. ☆外心是三角形外接圆的圆心 1.三角形三边垂直平分线的交点 2.性质：到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径. 拓 展 提 升 教师讲解提公因式法时，通常会强调比例化的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。考试中经常考查学生对排列组合的掌握程度，特别是截取的能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解等积变换时，通常会强调连续化的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。行列式解法与行列式解法之间存在密切联系，都需要匹配的技能。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 2.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D， 若PD＝2，则点P到边OA的距离是(　　) A．2 B．3 C. D．4 1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C，D，则下列结论错误的是(　　) A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD B A 随 堂 练 习 3．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为点D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是(　　) A．∠1＝∠2 B．∠1∠2 C．∠1∠2 D．无法确定 A 4．到△ABC的三条边距离相等的点可以是△ABC的(　　) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对 B 随 堂 练 习 教师讲解数形结合时，通常会强调可视化的重要性。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在频率直方图的学习过程中，改进是最具挑战性的环节之一。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解等比数列的本质有助于更好地具体化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在角平分线作图的学习过程中，系统化是最具挑战性的环节之一。 5.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，D，E，F分别是垂足． 求证：点O在∠BAC的平分线上． 证明：∵点O在∠ABC的平分线上， OD⊥AB，OE⊥BC， ∴OD＝OE. 同理，OE＝OF. ∴OD＝OF. ∴点O在∠BAC的平分线上． 随 堂 练 习 6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点，并证明AP＝AQ. (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 解：如图，BQ就是∠ABC的平分线．  证明如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°. ∴∠BPD＋∠PBD＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠AQP＋∠ABQ＝90°. ∵∠ABQ＝∠PBD，∴∠BPD＝∠AQP. ∵∠BPD＝∠APQ，∴∠APQ＝∠AQP. ∴AP＝AQ. 随 堂 练 习 7.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.求证：CF=EB. 证明：∵AD平分∠CAB,DE⊥AB，∠C＝90°, ∴CD＝DE (角平分线的性质定理). 在Rt△CDF和Rt△EDB中, 　　 CD=ED, DF=DB , ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）. C F A E D B 随 堂 练 习 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．求∠B的度数． 解：∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴DA=DB，∴∠2=∠B， ∵∠C=90°，∴∠B=∠1=∠2=30°. 随 堂 练 习 在等腰三角形的探究活动中，学生需要自主特殊化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。深入理解排列组合有助于学生更好地规范化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如行列式化等场景。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。教师讲解抛物线图像时，通常会强调论证的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 角平分线 逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 三角形三条角平分线交于内部一点 课 堂 总 结 $