12.4 第3课时 角平分线-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第3课时 角平分线 边一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D、E,再 分别以点D、E为圆心、大于)DE的长为半径画弧，两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G. 若CG=1,AB=4,则点G到线段AB的距离是 () A.1 B.3 C.4 D.5 B 0 D B D C (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AB=7,AC=5,则S△ABm：S△ACD= 3.如图，O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D,且OD=4.若△ABC的 周长是17，则△ABC的面积为 4.∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC,EC=DC,直线AD与BE交于点F. (1)如图①，若∠CEB=90°，求证：FC平分∠BFD. (2)如图②，若∠CEB≠90°，(1)中的结论是否成立？请说明理由. (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.如图，ABCD,O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E.若OE=2,则AB与 CD之间的距离是 () A.2 B.4 C.6 D.8 0 (第5题) (第6题) 6.*如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N,连结MN,MP平分∠AMN,NP平分∠MNB.若 MN=4,△PMN的面积是6，△OMN的面积是9，则OM+ON的长是 62 第12章全等三角形 7.△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，△ABD为等边三角形，连结CD, (1)如图①，求∠ACD的度数. (2)如图②，作∠BAC的平分线交CD于点E,M为线段BC右侧一点，满足∠CMB=60°.求 证：ME平分∠CMB, (第7题) 8.*如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延长线上的一点，BE=BA,过点E作 EF⊥AB,垂足为F.求证： (1)△ABD≌△EBC. (2)∠BCE+∠BDC=180°. (3)AB+BC=2BF. (第8题) 一 微专题·与角平分线有关的面积问题 1.如图，I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1,△ACI的面积记为 S2,△BCI的面积记为S3,且S3=6,则S1十S2的值可能为 (第1题) A.4 B.5 C.6 D.8 2.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=110°，∠ABC的平分线交AC于点E,过点E 作EF⊥AB,交BA的延长线于点F,且∠AEF=55°，连结DE. (1)求证：DE平分∠ADC (2)若AB=8,AD=6,CD=10,△ACD的面积是16，求△ABE的面积. (第2题) ●“答案与解析”见P29 638.(1)如图，点M即为所求作.(2)如图，过点M作 ME⊥AC,交AB于点E,则EM即为所求作.：∠C= 90°，∴.BC⊥AC.由此作ME⊥AC,∴.ME∥BC. (3)△ABC≌△MED.理由：MD⊥AB,∴.∠MDE= ∠C=90.ME∥BC,.∠B=∠MED.在△ABC和 |∠B=∠MED, △MED中，∠C=∠EDM,∴.△ABC≌△MED(AAS). AC-MD. AD B (第8题) 9.(1)l1是AB边的垂直平分线，.DA=DB. :L2是AC边的垂直平分线，∴.EA=EC.∴.BC=BD十 DE+EC=DA+DE+EA.:△ADE的周长为6cm,即 DA+DE+EA=6cm,∴.BC=6cm.(2):'l,是AB 边的垂直平分线，∴.OA=OB.,l2是AC边的垂直平分 线，∴.OA=OC..△OBC的周长为14cm,即OB+OC+ BC=14 cm,BC=6 cm,.OA=OB=OC=4 cm. (3):∠BAC=100°，∴.∠ABC+∠ACB=80°.DA= DB,EA=EC,.∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB. ∴.∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=∠BAC- (∠ABC+∠ACB)=20° 第3课时角平分线 1.A如图，过点G作GH⊥AB于点H.:∠C=90°， .GC⊥AC.由作图可知，AG平分∠BAC.:GH⊥AB, GCLAC,∴.GH=GC=1. B (第1题) 2.7:5如图，过点D分别作DE⊥AB、DF⊥AC,垂足 分别为E、F.AD平分∠BAC,∴.DE=DF..AB=7, Ac=5.2 SoMm Sm (x7.DE) (号×5Dp)=7:5. (第2题) 3.34如图，过点O作OE⊥AC于点E,OF⊥AB于点 F,连结OA.O为△ABC的两条角平分线的交点， ∴.BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.又OE⊥AC,OF⊥ AB,ODL BC,OD=4,.OE=OD=4,OF=OD=4. :.Sawx=Saw+Sax+Se=号AB·OF+ 2BC·0D+号AC·OE=3X1(AB+BC+AC). .△ABC的周长是17，，.AB+BC+AC=17. 1 .SAAx=2X4X17=34. B (第3题) 4.(1):∠ACB=∠DCE=90°，∴.∠ACB-∠ECA= ∠DCE-∠ECA.∴.∠CE=∠ACD.'BC=AC,EC=DC, ∴.△BCE≌△ACD(SAS)..∴.∠CEB=∠CDA=90°，即CEL BF,CD⊥AD..点C在∠BFD的平分线上，即FC平分 ∠BFD.(2)成立.理由：如图，过点C作直线AD、BE的垂 线，垂足分别为M、N.同(1)可证△BCE2△ACD,'.∠B= ∠A.'∠CNB=∠AMC=90°，BC=AC,∴.△BCN≌ △ACM(AAS).∴.CM=CN.CMLAD,CN⊥BE,∴.点C 在∠BFD的平分线上，即FC平分∠BFD. A B (第4题) 5.B如图，过点O作OM⊥AB于点M,延长MO交CD 于点N.ABCD,∴.MN⊥CD.AO是∠BAC的平 分线，OM⊥AB,OE⊥AC,∴.OM=OE=2..CO是 ∠ACD的平分线，ON⊥CD,OE⊥AC,.ON=OE= 2...MN=OM+ON=4,即AB与CD之间的距离是4. 0 E CN D (第5题) 6.10如图，过点P作PH⊥MN于点H,PC⊥OA于点 C,PD⊥OB于点D,连结PO.MP平分∠AMN,NP 平分∠MNB,∴.PC=PH,PD=PH.∴.PC=PD. :△PMN的面积=号MN·PH=6,MN=4,.PH= 3.∴.PC=PD=3.△PMN的面积是6，△OMN的面 积是9，∴.S△OM+S△PON=S△PMN+S△O=6+9= 15.2OM·PC+2ON·PD=15.(OM+ON)× 3=15×2..OM+ON=10. H 0 -B (第6题) 方法归纳 遇角平分线作垂线 过角平分线上一点向该角的两边作垂线是常见的添加 辅助线的方法.在本题中过，点P分别向∠AMN和∠MNB 的两边作垂线，连结OP,然后利用角平分线的性质得出 PC=PD=PH,再利用面积法即可求出OM十ON的值. 7.(1):△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°， .AB=AC.·△ABD为等边三角形，.AD=AB ∠BAD=60°..∠CAD=∠BAD+∠BAC=150°，AD= AC..∠ACD=∠ADC=180-∠CAD=15.(2)s如 2 图，过点E作EG⊥BM于点G,EH⊥CM,交MC的延长线 于点H,连结BE.AE平分∠BAC,∴.∠BAE ∠CAE=7∠BAC=45.·.∠AEC=18O-∠CAE- ∠ACE=120°.：'AB=AC,AE=AE,∴.△AEB≌△AEC (SAS).∴.∠AEB=∠AEC=120°，BE=CE.∴.∠BEC= 360°-∠AEC-∠AEB=120°.EG⊥MG,EH⊥MH, ∠GMH=60°，.∴.∠GEH=360°-90°-90°-60°=120° .∠BEG=∠CEH=120°一∠CEG.又.∠BGE= ∠CHE=90°，∴.△BGE≌△CHE(AAS).∴.EG=EH.又 .·EG⊥BM,EH⊥CM,∴.ME平分∠CMB. B H (第7题) 8.(1)BD为△ABC的角平分线，∴.∠ABD ∠CBD..'BD=BC,BA=BE,.△ABD≌△EBC (SAS.(2)△ABD≌△EBC,∴.∠BDA= ∠BCE.∴.∠BCE+∠BDC=∠BDA+∠BDC=180. (3)如图，过点E作EM⊥BC,交BC的延长线于点M. :BD=BC,BE=BA,∠ABD=∠CBD,∴.易得 ∠BCD=∠BEA..∠BDA=∠DAE+∠BEA, ∠BCE=∠BCD+∠DCE,∠BCD=∠BEA,∠BDA= ∠BCE,.∠DAE=∠DCE.∴.AE=CE.BD为 △ABC的角平分线，EF⊥AB,EM⊥BC,∴.EF=EM, ∠AFE=∠BFE=∠M=90°..'BE=BE,.∴.Rt△BEF≌ Rt△BEM(HⅡ)..BF=BM..AE=CE,EF=EM, .Rt△EFA≌Rt△EMC(HL).∴.AF=CM.∴.AB+ BC=BF+AF+BM-CM=BF+BM=2BF. A B (第8题) 方法归纳 运用角平分线的性质的两点注意 (1)运用角平分线的性质时，角平分线、角平分线上的点 到角两边的距离两个条件缺一不可，不能错用为角平分 线上的点到角两边任意点的距离相等. (2)由角平分线的性质不用证全等可以直接得到线段相 等，这是证线段相等的一个简便方法。 一微专题·与角平分线有关的面积问题 1.D,I是△ABC三条角平分线的交点，∴.△ABI、 △ACI和△BCI的边AB、AC、BC上的高相等.设这个 相等的高为h.,△ABI的面积记为S,△ACI的面积 记为S,△CI的面积记为SS,=·A5,S, 2S2 BC=-空由三角形三边关系得AB十AC>C. +容>g8+5>5又8=6 h ∴.S,十S2>6..S,+S2的值可能为8，选项D符合题 意，选项A、B、C不符合题意. 2.(1)如图，过点E作EG⊥AD交AD于点G,EH⊥ BC交BC于点H.:EF⊥AB,∠AEF=55, .∠EAF=90°-55°=35.∴.∠BAC=180° ∠EAF=145°.∴.∠CAD=∠BAC-∠BAD=35°. .AE平分∠FAD.:EF⊥AF,EG⊥AD,.EF= EG.BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,∴.EF= EH.∴.EG=EH.:EG⊥AD,EH⊥BC,.点E在 ∠ADC的平分线上，即DE平分∠ADC. (2)S16+SA16.AD EG+CD.EH-16.AD-6.CD-10,EG-EH, (AD+CD)- 1 ×8× EG-2.AB-8 SMWE-2AB.EF-2 2=8. B DH (第2题)