江苏省常州市2026-2027学年高三上学期期中数学模拟卷（二）

江苏省常州市2027届高三上学期期中数学模拟卷（二） 参考答案 1．A【详解】由已知得，，设， 因为，，四边形是复平面内的平行四边形， 所以，解得，所以点对应的复数为． 2．B【详解】选项A：定义域是，对称轴是，不满足偶函数定义，排除A. 选项B：定义域是，，满足偶函数定义，在上任取两个数. 假设，作差得， 其中，即，又，所以，即， 因此，即，故在上单调递增,符合题意. 选项C：是偶函数，但在是周期函数，不满足单调递增的要求，不符合题意，排除C. 选项D：函数定义域为，不满足偶函数的定义域要求，排除D. 3．C【详解】时，，因此，其长度为0，不合题意； 时，，，，则的长度为，，，长度为， 时，，，，则的长度为，，，长度为， 所以的长度为5. 4．C【详解】向量在向量方向上的投影向量. 5．A【详解】因为，所以， 从而，又因为，所以，从而，故选A. 6．D【详解】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（为常数）. 当时，，代入得：① 当时，，代入得：② 将①②化简可得：，即，解得：， 代入①式求得：，由题意，即：，即， 则，将代入：， 化简可得： ，当指数大于等于零时不等式成立，即 ，解得：. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过. 7．D【详解】由，令，则， 由，故为偶函数， 当时，在上单调递增， ，， 因为，，所以， 所以,所以即. 8．B【详解】因为，所以，为单位向量， 故可设， 则， 两式相加得， 即（其中）， 所以，解得， 所以. 9．BCD【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）后可得 函数的图象，再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象. 对于A，的最小正周期为,A错误； 对于B，令，可得，解得，B正确； 对于C，令，解得，C正确； 对于D，令，解得，D正确. 10．BCD【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得， 因为分别是的中点，所以. 设是线段上的动点，， 设，其中，则. 设平面的法向量为，， 由，取，可得. 对于A：因为，又， 所以与平面的法向量不垂直，即与平面相交， 不存在点，使得平面，故A错误； 对于B：因为，又，平面， 所以平面，所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C：当为线段中点时，此时， 设平面的法向量为，由，取，可得， 因为，所以，即平面平面，故C正确； 对于D：点与重合时，， 设直线与平面所成角为，则，故D正确. 11．BCD【详解】由得， 即， 由得， 设，则有，， 由此可知是的两个实数根， 则， 因为，所以，因此，解得， 若，则，不满足， 综上，，即， 对于A，若相互独立，则，即， 即，解得或(舍去)， 因为，仅是其中一种情况，故相互独立不恒成立，故A错误， 对于B，当时，， 所以，故B正确， 对于C，， 由可知，故C正确， 对于D，， 即，整理得， 代入得， ， 代入并约去得， 两边同时乘以得， 注意到符合等式，故因式分解中含有项，即项， 所以原式转化为， 即，即， 因为的判别式， 故此方程的唯一实数解为，此时， 进而，得出，即必然有，故D正确. 12．2【详解】因为展开式的通项为， 令，解得，所以，所以，则， 所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为2. 13．【详解】已知，由正弦定理得：， 又，所以， 代入化简：， 因三角形为锐角三角形，，故，且正弦在上单调递增，所以， 于是， 由锐角条件：，，综上可得，由正弦定理：，令，因，所以，故. 14．【详解】由得：， 当时，，，等式成立，则为的一个解； 当时，有且仅有两个不同的解； 令，则与有且仅有两个不同交点； 在平面直角坐标系中作出的图象如下图所示， ①当时，与位置关系如下图所示， 由图象可知：与在上上有且仅有两个不同交点，在上无交点，符合题意； ②当时，与位置关系如下图所示， 由图象可知：与在上有且仅有一个交点，在上无交点，不合题意； ③当时，与在上有且仅有一个交点， 若与有且仅有两个不同交点，则与在上有唯一交点； 若与相切，则有唯一解， ，解得：，此时切点为，符合题意，； ④当时，与位置关系如下图所示， 由图象可知：与在上有且仅有一个交点，在上有且仅有一个交点，符合题意； ⑤当时，与位置关系如下图所示， 由图象可知：与在上有且仅有一个交点，在上有两个不同的交点，不合题意； ⑥当时，与位置关系如下图所示， 由图象可知：与在上无交点，在上有且仅有两个不同交点，符合题意； ⑦当时，与无交点，且与无交点； 若与有且仅有两个不同交点，则需与有且仅有两个不同交点， 由与得：， ，解得：，即， 此时两交点为，满足，，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 15．（1）由题意可知，，所以及格率为. （2）由题意可知， 平均分， 解得，，由分层随机抽样可知，在内抽取的分数个数为， 分数记为，，在内抽取的分数个数为，分数记为，，， 从这个分数中随机抽取个分数，样本空间， 共有10个结果，设选取的个分数都在内为事件， 则，共有3个结果，所以. （3）由频率分布直方图知，这份答卷分数在内的份数为， 分数在内的份数为，所以， 总方差. 16．（1）时，，，，， 故曲线在处的切线方程为； （2），当时恒成立，在上单调递增； 当时，由得， 时，， 时，， 故的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）由（2）知时，在上单调递增， 时，，在上也单调递增， 故时最小值为，令得，符合； 当时，最小值点为， 此时， 令，由得，即，与矛盾，舍去；故. 17（1）取的中点O，连接.由为等边三角形，得. 而平面平面，平面平面，平面， 则平面. 由，，得四边形是平行四边形. 于是，而，则，直线两两垂直. 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，. 则，，. 设平面的法向量为， 则，取，得. 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. (2)存在，.令，. ，. 设平面的法向量为， 则， 取，得. 平面的法向量为. 于是. 化简得，又，解得，即. 所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 18．（1） ∴ 由正弦定理得：  ，展开得： 而 ，故等式两边同时除以 得： 故 ． （2）①    如图所示， 当时取等号, 由面积公式： ②    如图所示， 为角平分线，在中 由正弦定理得 又 当时取等号, 故 19．（1）根据题意可知的所有可能取值为， ， 分布列为 （2）①设两轮总差为,那么的可能取值为， , , , 若时乙获得最终胜利的概率，则， 故. ②设三轮总差为变量，甲乙分数相同即，那么 的可能取值为， ,， , 所以时在乙获得最终胜利的条件下，甲乙分数相同的概率为 . 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $江苏省常州市2027届高三上学期期中数学模拟卷（二） 一、单选题 1．复平面内，，，三点对应的复数分别是，，，若四边形是平行四边形，则点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 4．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 5．记，，分别是的内角A，B，C的对边，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程．主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）．已知某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：）之间满足：（其中，为常数）．若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为261小时，在的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最高不能超过（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，设，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．已知平面向量满足：，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题 9．将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．的零点为 C．图象的对称轴方程为 D．的单调递减区间为 10．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（    ） A．存在点，使得平面 B．三棱锥的体积为定值 C．当点为线段中点时，平面平面 D．当点与重合时，直线与平面所成角的正弦值为 11．设是一个随机试验中的两个事件，，，则（    ） A．事件相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 三、填空题 12．若的展开式中的系数为6，则的最小值为__________. 13．在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，则的取值范围是________． 14．已知函数，若函数有且仅有个零点，则实数的取值范围为________． 四、解答题 15．某市消防队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次安全常识(综合安全事故、自然灾害等)网络测试，满分为分.测试完后抽取了份试卷，把分数按，，，依次分为第一至第六组(所有得分均满足)，其中与的人数均为，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为分. (1)求图中的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例)； (2)根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从，两个区间抽取出个分数，再从这个分数中随机抽取个分数，求选取的个分数都在内的概率； (3)已知落在内的样本平均分是，方差是，落在内的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 16．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性，并求出单调区间； (3)若函数在区间上的最小值为0，求a的值. 17．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角A． (2)D为边上一点，且． ①若，求面积的最大值； ②若为角平分线，求的取值范围． 19．现有A、B两个箱子，里面分别装有3个大小、质地完全相同的小球．A箱有2个红球，1个白球；B箱有1个红球，2个白球．现有甲、乙两人进行摸球游戏，每轮游戏甲从A箱取一球，乙从B箱取一球，每次取球后放回原来箱子（即每次取球时箱中球的总数和颜色保持不变，各轮取球相互独立）．每轮取球得分规则如下： •若两人取出的球颜色相同：各得2分 •若一人取红球，一人取白球：取红球者得3分，取白球者得1分 (1)求第一轮游戏甲与乙得分之差的分布列和期望； (2)若规定游戏进行轮结束（），轮游戏结束后若甲累计得分高于乙，则甲获得最终胜利；若乙累计得分不低于甲，则乙获得最终胜利． ①求时乙获得最终胜利的概率； ②求时在乙获得最终胜利的条件下，甲乙分数相同的概率． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $