江苏省常州市2026-2027学年高三上学期期中数学模拟卷（一）

江苏省常州市2027届高三上学期期中数学模拟卷（一）参考答案 1．B【详解】已知集合，，则，故B正确. 2．A【详解】设，则，因为， 所以，所以，解得，故， 所以的虚部为． 3．C【详解】，则，， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以有，，即，，所以. 4．C【详解】由，，，根据余弦定理可得： ，解得； 由中线满足向量关系可得： ，则． 5．C【详解】因为，，， 所以，， 所以为直角三角形，为其斜边，为直角三角形，为其斜边， 取的中点为，则， 所以点是三棱锥的外接球的球心，球的半径， 所以外接球的表面积． 6．D【详解】当时，，则， 因为，所以，即， 若恒成立，则，得，当时，，有， 因为，所以，，若恒成立，则，得， 综上，. 7．D【详解】由题意 ，取为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 令，平面为平面. 设 ，其中即点到底面的高. 因为，所以. 记，展开上式得①. 向量，向量， 则②. 将①代入②得：.取正根：，，， 令，.由球表面积. 底面为直角三角形，外心在中点，故球心为. 由，得. 由，展开化简得：，代入，与联立， 消去：.舍去退化情形，取：. 设与平面所成角为，则：. 8．B【详解】对于选项A，因为， 即，所以不是的一个周期，故A错误； 对于选项B，因为 当时，，此时，可知在上单调递减，故B正确； 对于选项C，因为， ， 即，所以不是图象的一个对称中心，故C错误； 对于选项D，因为 所以 令，设. 则.令，得或. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增.又，.所以.所以的最小值为，故D错误. 9．BD【详解】分层抽样为按比例抽样，每层样本数不一定相等，A不正确； 线性相关系数，表示两个变量没有线性相关关系，可能存在非线性关系，C不正确；B为残差的性质，D为二项分布的性质，故均正确. 10．BD【详解】 由题意及图形可知，，， 因为为的俯角，根据平行线性质（内错角相等），可知. 对于A：在中，， ， A错误； 对于B：由选项A的分析可知，，而。 因为， 所以为等腰三角形，且， B正确； 对于C：在中，，， 所以 ， 由正弦定理 ，得 . 设山顶到水平面的高度为， 则 ， C错误； 对于D：在中，由正弦定理， 得， 因为共线，且， 所以， 解得，D正确. 11．ABD【详解】对于A，如图，作交于, 过作交于, 过作交于， 则截面四边形为四边形，且四边形是平行四边形， 因为正四面体对棱互相垂直，所以， 可得，得到截面四边形是矩形， 设，，，则，， 所以截面四边形面积，当且仅当时，，故A正确， 对于B，先证明内切球半径公式，对于正四面体，设内切球球心为， 由题意得， 而棱锥的高是内切球的半径， 得到， 则， 记正四面体体积为，表面积为，即， 解得，即正四面体内切球半径公式得证， 将正四面体补形成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系， 由正四面体的棱长为2，得正方体的棱长为， 则， 而为中点，则，且， 由题意得，则是等边三角形， 由三角形面积公式得，由两点间距离公式得，，而，可得是直角三角形， 由三角形面积公式得，而，可得是直角三角形， 由三角形面积公式得，由余弦定理得， 由同角三角函数的基本关系得，由三角形面积公式得， 故， 由题意得， 设面的法向量为，得到， 令，解得，，可得， 设到面的距离为，由点到平面的距离公式得， 由三棱锥体积公式得， 代入公式可得，故B正确， 对于C，由题意得， 而，，则， ，且， 设面的法向量为，得到， 令，解得，则， 设直线与平面所成角为，且， 则，而，得到， 可得直线与平面所成角为，故C错误， 对于D，由题意得，设， 而，， 因为点在棱上，所以， 则，，解得，， 得到，， 可得，设异面直线与所成角为， 则， 令，则， 当时，恒成立，则在上单调递减， 而，，则，即， 而，解得，故D正确. 12．【详解】已知，将等式两边同时平方，可得 因为，因此有，则 . 13．【详解】函数定义域，对求导， 令，得，即， 结合，解得，即的单调递增区间为， 函数在内单调递增，则是的子集， 故，解得，则a的取值范围是. 14．【详解】由 ，用余弦定理 代入，所以，即， 因为三角形是钝角三角形，所以 ， 所以，由正弦定理 ， 代入得，已知 ，得， 以 为原点， 在 轴上，设 ，， 所以重心 ， 由 ， 所以， 代入 ，得 所以，解得 或 ， 对应 ，不是钝角，舍去， 因此，， 所以． 15．（1）依题意，得 ， 解得 ． （2）依题意，成绩在的人有 （人）， 成绩在的人有 （人）， 用分层随机抽样的方法抽取5人， 则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人． 所以 的所有可能取值为0，1，2， 则， ， 所以 的分布列为 0 1 2 （3）因为成绩在的频率为，用频率估计概率， 所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为． 又全公司中成绩在范围的人有 （人）， 所以 的可能取值为0，1，2，3，且． 方法一： 方法二：，， ，． 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以， 所以. 16．（1）函数的定义域为， 所以， 因为，所以，令得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 因此只有极小值，无极大值，且极小值为； （2）由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增， 因此最小值为， 计算区间端点值，， 因为，所以，所以， 故在上的最大值为． (3)证明：由，得，即， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以． 17．（1）因为，所以．    由正弦定理知，   又因为，所以， 又，因此． （2）因为，所以， 在中，，故．    由，得，得， 所以． 在中，由余弦定理得， 所以的周长为． 18．（1）作，垂足为E，连接， 因为侧面底面，侧面底面，故底面， 底面，则， 则即为直线与平面所成角， ，故，故， 则, 又，故， 故. （2）因为侧面底面，侧面底面，， 底面，故侧面， 以点A为坐标原点，以分别为轴，以过点A垂直于平面的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图： 则，则，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 结合题意可知平面的法向量可取作， 设锐二面角为，则， （3）设线段上存在，使得它到平面的距离为， 由，可得到平面的距离， 解得或(舍去)，所以，则． 19．（1）表示结束练习时投篮的总次数为， 表明第次投中且前次中有次投中， 所以. （2）① 所以＝. 令，解得； 令，解得； 令，解得. 所以 所以，当或时，最大. ②， 则， 设， 则 令，得； 令，得. 所以在上递增，在上递减. 所以，的极大值点为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $江苏省常州市2027届高三上学期期中数学模拟卷（一） 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 3．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B．4 C． D．2 4．在中，角的对边分别为，已知，，，边上的中线的长度为（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是（     ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，若恒成立．则实数的值为（     ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，，，，，若该三棱锥外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，则（    ） A．是的一个周期 B．在区间内单调递减 C．是图象的一个对称中心 D．的最小值为 二、多选题 9．下列说法正确的是（     ） A．在分层抽样中，每层抽取的样本数量一定要相等 B．回归分析中，残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好 C．回归分析中，线性相关系数，表示两个变量没有任何关系 D．在二项分布中，如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值 10．某研究性学习小组开展测绘实践活动，为山体隧道工程收集测量数据.如图，，，为山脚同一水平面上共线的三个测量点，在山顶处测得，，三点的俯角分别为，，.现规划沿直线开通穿山隧道，经实地测量得到，，，以下是兴趣小组得出的结论，其中正确的有（    ）. A． B． C．山顶到水平面的高度为 D．隧道的长度为 11．已知正四面体的棱长为2，点在棱上（不含端点），过点作平行于和的截面，则下列结论正确的有（     ） A．截面面积的最大值为1 B．当点为中点时，三棱锥内切球的半径为 C．直线与平面所成角为 D．异面直线与所成角的取值范围 三、填空题 12．已知，则_________ 13．若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 14．在钝角中，，，的对边分别为，，，为的重心，且满足，，当时，的面积为_____ 四、解答题 15．（本题13分）2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列． (3)假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的期望和方差． 16．已知函数. (1)求函数的极值； (2)求函数在上的最小值与最大值； (3)设，证明：. 17．在中，角，，所对的边分别为，，，满足． (1)求的值； (2)如图，点在边上且满足，，，求的周长． 18．如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求锐二面角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．某同学进行连续投篮练习，累计投中次后结束练习.设该同学每次投中的概率均为，记结束练习时投篮的总次数为. (1)求； (2)已知. ①若，求当为何值时，最大； ②若为常数，记函数，求的极大值点. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $