精品解析：辽宁沈阳市东北育才学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

东北育才高中2026—2027学年度上学期 高二年级数学科第一次月考试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 已知为直线l的方向向量，，分别为两个不同平面，的法向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是半径为2的的两条直径，且与成60°角，现将沿直径折成直二面角，此时线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 正四面体棱长为，为空间中任意一点，的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，，，若该三棱锥外接球的表面积为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 点为平面外一点，为平面内一点，若，则 10. 如图，在直三棱柱中，E、F分别是边，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 和平面平行 B. 若，则异面直线和垂直 C. D. 若，，与平面所成角为，则 11. 正六棱锥的底面对角线交点如图，设棱锥的内切球半径为r，棱锥的内切球半径为R，那么的值可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间两点，，且，则点P的坐标为__________． 13. 如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则__________． 14. 2026年7月23日，中国籍数学家王虹因在三维挂谷（Kakeya）猜想上的杰出贡献获得菲尔兹奖．三维挂谷猜想研究：给定长度为的线段，在空间中经过平移与旋转，扫过区域的体积与维度问题．现有一条长度为的线段，该线段可以取遍空间中的所有方向；若要求无论线段朝向空间哪个方向，整条线段都能完整放置在棱长为的正四面体内部（包含边界），则正四面体棱长的最小值是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，且，，． （1）证明：； （2）点是线段上的点，且点到平面的距离为，求的值． 18. 已知：斜三棱柱中，，与面所成角正切值为2，，，，点为棱的中点，且点向平面所作投影在内． （1）求证：； （2）棱（含端点）上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为，若存在，指出点位置，若不存在，说明理由． 19. 如图，若三角形在平面内的射影为三角形，三角形和平面的成角设为（只考虑锐角的情况），那么，我们可根据此信息完成下列问题：正三角形的顶点O固定在平面上，三角形可以绕O在平面的一侧转动，在面上的射影为，若是直角，记和平面的成角为． （1）若为等腰直角三角形，求； （2）设，，，证明：； （3）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北育才高中2026—2027学年度上学期 高二年级数学科第一次月考试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】已知向量，若， 则，解得． 2. 已知为直线l的方向向量，，分别为两个不同平面，的法向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线的方向向量与平面的法向量结合最基本的空间图形长方体求解即可. 【详解】因为为平面的法向量当时，则；故选项A错误； 若，，则故选项B错误； 若，时，与可能相交，例如下图， 为直线方向，为方向，为方向，则面可以是面,面可以是面此时，与相交，故选项C错误， 若，，则，故选项D正确. 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】向量在向量上的投影向量为. 4. 在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加减法运算和向量基本定理进行变形. 【详解】 如图所示： ，因为分别为，的中点， 所以，， 所以． 5. 已知，是半径为2的的两条直径，且与成60°角，现将沿直径折成直二面角，此时线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内过点作于，根据面面垂直性质定理证明，解三角形求结论. 【详解】在平面内过点作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，而平面，则， 在中，，则， 在中，，由余弦定理得， 在中，. 6. 已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作辅助线，找到二面角的平面角，利用相关线段长度，结合二面角的余弦值求出的长度，再利用勾股定理求出正三棱锥的高，设外接球半径为，根据外接球的性质，结合勾股定理列出关于的方程，求解出，最后利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接. 由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 7. 正四面体棱长为，为空间中任意一点，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正四面体的性质建立空间直角坐标系，设，及、、、的坐标，结合空间直角坐标系的坐标运算计算即可. 【详解】取的中点，在上取点使得， 易知为的中心，根据正四面体的性质知底面， 因为是边长为的等边三角形，为的中点，所以，作， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 因为为等边三角形的中心，所以，， 由勾股定理可得， 则、、、， 设，所以，， ，， 所以， 则 ， 当且仅当时，取得最小值，即B正确. 8. 在三棱锥中，，，，，若该三棱锥外接球的表面积为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，先用长度和定出在平面上的投影坐标，再用外接球半径反解出坐标，即得点到平面的距离. 【详解】由题意，取点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 令点，点，点. 设点，其中即点到平面的距离. 因为，所以. 记，展开得①. 向量，向量， 则②. 将①代入②得， 取正根，则，所以. 令，则， 由球表面积. 底面为直角三角形，外心在中点，故球心为. 由，得. 由，展开化简得，代入，与联立，消去得. 舍去退化情形，取，所以. 故点到平面的距离为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 点为平面外一点，为平面内一点，若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于根据空间向量坐标运算求模即可；对于根据向量共面判定定理判定；对于，令，则，此时从而判定；对于根据四点共面的向量判定定理求解. 【详解】对于,因为，， 则， 所以， 故正确； 对于若三个向量共面， 则存在实数， 使得， 解得， 则， 所以三个向量共面， 不可以构成空间向量的基底，故错误； 对于,因为，， 当时，，， 则，此时,不为钝角， 则错误； 对于因为是平面内一点， 根据四点共面的向量判定定理知： ，解得， 故正确， 故选： 10. 如图，在直三棱柱中，E、F分别是边，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 和平面平行 B. 若，则异面直线和垂直 C. D. 若，，与平面所成角为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据面面平行的判定定理及面面平行的性质证明即可； 对于B，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质，结合异面直线所成角的求法求解即可； 对于C，利用等体积法和棱锥体积公式计算即可； 对于D，建立空间直角坐标系，利用线面角公式求出. 【详解】选项A：取的中点，连接，. 在中，为的中点，为的中点，所以. 直三棱柱中，，所以. 因为平面，平面，所以平面. 在中，为的中点，为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又，平面，所以平面平面. 因为平面，所以平面.故A正确. 选项B：直三棱柱中，，平面， 所以异面直线和所成的角即为直线和所成的角. 连接.若，且为的中点，则. 因为平面，所以. 又，平面，所以平面. 因为平面，所以，所以.故B正确. 选项C：设直三棱柱的高为，底面的面积为， 则. 因为是的中点，所以到平面的距离. 因为是的中点，所以. 所以.故C错误. 选项D：直三棱柱中，平面， 又平面，所以，. 因为， 所以两两垂直. 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，. 因为为中点，则，为中点，则，所以. 因为，，，平面， 所以平面，所以即为平面的法向量. 因为与平面所成角为， 则， 即，解得，即，即.故D正确. 11. 正六棱锥的底面对角线交点如图，设棱锥的内切球半径为r，棱锥的内切球半径为R，那么的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先确定底面为正六边形，设底面边长及正六棱锥的高，结合等积法计算各内切球半径， 再由糖水不等式放缩得出下限即可判定选项. 【详解】易知，则， 同理可知为正三角形， 则为正六边形，记正六边形的中心为O， 则正六边形的中心也为O， 不妨设，正六边形及正六边形的面积分别为， 则，到的距离分别为， 易得， 所以， , 所以， 易知， 即当很小时，两半径比值接近1，当很大时，两半径比值接近， 所以A不符题意，B、C、D符合题意. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间两点，，且，则点P的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设点P的坐标为， ，则， ，解得. 13. 如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由平面可得，再结合空间向量的线性运算、数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由平面，平面，得， 因为底面是边长为的正三角形，则为边上的高， 所以，. 因此 14. 2026年7月23日，中国籍数学家王虹因在三维挂谷（Kakeya）猜想上的杰出贡献获得菲尔兹奖．三维挂谷猜想研究：给定长度为的线段，在空间中经过平移与旋转，扫过区域的体积与维度问题．现有一条长度为的线段，该线段可以取遍空间中的所有方向；若要求无论线段朝向空间哪个方向，整条线段都能完整放置在棱长为的正四面体内部（包含边界），则正四面体棱长的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】把正四面体补形为正方体，结合正方体的性质分析对棱中点连线的距离即为正方体棱长，进而分析求解即可. 【详解】把正四面体补形为正方体，该正四面体的棱为正方体的面对角线， 设正方体棱长为，正四面体棱长为，则， 正四面体在沿正方体棱方向的投影宽度最小， 最小值等于正方体棱长，当时，取得最小值，， 故正四面体棱长的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接，． ，分别为，的中点，，. 又，， ，. ∴四边形是平行四边形，． 平面，平面，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，． 设平面的法向量为，则， 取，得，，得． 故直线与平面所成角的正弦值为． 16. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：面面， 又，面，面面， 则面， 又面，则． ，，，面， 则面 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明 平面，从而得到，结合 即可证明结论； （2）取 中点，建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，利用向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 证明略 【小问2详解】 取中点O，中点M，连接，，如图所示： 则，，面，面， 则，故，，O为中点，则， 建立空间直角坐标系，设， 因为，，所以， 因为，，，所以， ，，， ，． 易知平面的一个法向量为， ，， 设平面的法向量为，， 取，则， ， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 17. 如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，且，，． （1）证明：； （2）点是线段上的点，且点到平面的距离为，求的值． 【答案】（1），，， ，得， ∵平面平面，且平面平面，平面， 平面，而平面， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可证得，再由面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的空间向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面，且． 以B为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设， 则， 设平面的一个法向量为，则， 取，得． 设点M到平面的距离为d， 则，解得或（舍）． ． 18. 已知：斜三棱柱中，，与面所成角正切值为2，，，，点为棱的中点，且点向平面所作投影在内． （1）求证：； （2）棱（含端点）上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为，若存在，指出点位置，若不存在，说明理由． 【答案】（1）取线段的中点，连接、， 在斜三棱柱中，且，则四边形为平行四边形， 所以且， 因为、分别为、的中点，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为，则，因为，则， 因为，为的中点，则， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）存在，F点满足. 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，可知直线与平面所成的角为，根据已知条件求出、的长，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，平面， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面，平面，则， 又因为，，、平面，则平面， 所以直线与平面所成的角为， 所以，则， 因为，可得，， 因为，， 所以，则， 因为为的中点，所以， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 而，则， 即点，同理可得点、， 设，其中， 则，且， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 因为二面角的平面角的余弦值为， 则，整理可得， 因为，解得，即. 19. 如图，若三角形在平面内的射影为三角形，三角形和平面的成角设为（只考虑锐角的情况），那么，我们可根据此信息完成下列问题：正三角形的顶点O固定在平面上，三角形可以绕O在平面的一侧转动，在面上的射影为，若是直角，记和平面的成角为． （1）若为等腰直角三角形，求； （2）设，，，证明：； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2）由，，得，故四点共面, 在该平面内作于，则，所以四边形是矩形，所以， 又，所以, 在中，由勾股定理得， 在中，，故， 将、、代入得， 即，即，所以得，得证. （3）． 【解析】 【分析】（1）等腰直角条件推出，结合边长关系求出射影边长，代入面积比公式计算； （2）作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理与射影边长关系，联立化简证明等式； （3）问将转化为关于的表达式，利用均值不等式求最值，得到的最大值. 【小问1详解】 设正的边长为，则，原三角形面积， 设，， 由，，根据勾股定理得射影边长，， 又，因此射影三角形面积， 根据题给公式，平面角满足， 由为等腰直角三角形且，得，因此， 所以， 在中，斜边。 又，共面，过作于，则，且， 故，即，因此，解得， 代入的表达式： . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得，由（2）得， 所以， 要使最大，需使根号内的最小， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 将代入得， 故的最大值为（此时，为等腰直角三角形，与（1）的情形一致）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $