精品解析：辽宁大连市某校2026-2027学年高二上学期第一阶段学情反馈数学试卷

2026-2027学年度上学期高二阶段性学情反馈 数学试卷 满分：150分 考试时间：120 分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点在Oyz平面上的射影坐标特征是不变，变为0， 所以点在平面上的射影坐标为． 2. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或 C. D. 与相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以， 所以或. 3. 如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 4. 如图所示，在正方体中，分别在上，且，则（ ） A. 至多与之一垂直 B. 是的公垂线 C. 与相交 D. 与异面 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标，求出相应向量的坐标，利用向量法判断两条直线的位置关系即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 由，则， 所以， 因为，所以，又与无公共点，所以，故C，D错误； 由， 且， 所以，故A错误，B正确. 5. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，确定各点坐标，并计算向量，再计算向量的数量积与模长，最后利用向量的点积公式计算异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，如图， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为， ， ， 所以， 又异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 6. 已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，求出点关于平面的对称点，再利用两点间线段最短求解. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，连接， 三棱锥是正四面体，令正的重心为，则， 因点即正的中心，则平面， 设，即点，则点与点关于平面对称， 由为平面内动点，得， 则， 当且仅当是线段与平面的交点时取等号， 所以的最小值为. 7. 若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的直径的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意，将平面的方程化为的形式，从而得到该平面的法向量及经过的点坐标，再应用向量法求点面距，结合球体的特征确定球直径的最小值． 【详解】由平面的方程可化为， 则平面的一个法向量为，且过点. 又球经过点，则. 所以点到平面的距离为. 所以球直径最小值为． 8. 在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，，设，，，的重心分别为O，P，Q，R，则四面体OPQR的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先看出，，，分别是四面体四个面的重心，因此四面体与四面体的体积比为．再求出平行六面体的体积，并利用四面体的体积是该平行六面体体积的，即可求得结果． 【详解】由题意可知，，，，分别是四面体四个面的重心，如图． 在任意四面体中，连接四个面的重心得到的小四面体与原四面体对应边平行，且相似比为，所以体积比为 因此 下面求．设平行六面体的体积为． 底面是边长为，夹角为的菱形，所以 设到底面的距离为．由于与，的夹角都为，所以在底面上的射影在的角平分线上． 设该射影为，则与，的夹角均为． 由，可得 解得 所以 故平行六面体的体积为 四面体由平行六面体的四个交错顶点组成，其体积为平行六面体体积的，故 于是 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对按部分得分，有选错的得0分． 9. 关于空间平面、、和直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则内一定存在直线平行于 B. 若，则内所有直线都垂直于 C. 若，，，则 D. 若不垂直于，则内一定不存在直线垂直于 【答案】ACD 【解析】 【详解】 若，设，在内作且， 则，选项A正确； 如图所示，取为平面，为平面，， 但，选项B错误； 设，，在内任取一点， 过点作于点，过点作于点， ，，，，，， 又，所以，，，， 所以，选项C正确； 若内一定存在直线垂直于，则， 所以不垂直于，则内一定不存在直线垂直于，选项D正确. 10. 给出下列命题，其中不正确的有（ ） A. 设是空间的一个基底，若，则 B. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. 若三个非零空间向量满足，则 D. 已知直线过点，是的方向向量，则点到的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由空间基底线性无关的定义直接判断选项A；假设线性组合为零向量，推出存在非零解，故向量组共面，不能作基底，判断选项B；举空间反例，说明垂直于同一向量的两向量未必平行，判断选项C；利用勾股定理，先求在方向向量上投影长度，再用向量模长平方减去投影平方开根号得到距离，判断选项D． 【详解】已知三个向量线性无关，，则系数必须全为0，故A正确； 设，整理得， 已知是基底，则，存在非零解，则三个向量线性相关、共面， 不能作为向量基底，故B错误； 空间中，垂直于同一个向量的两个向量不一定平行，如沿轴方向，沿轴方向， 沿轴方向，满足，但并不平行，故C错误； 向量， 则在方向向量上投影长度为， 故，故D错误． 11. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系，将几何条件转化为坐标运算.通过向量数量积判断异面直线垂直，借助平面法向量求解点到平面距离、直线与平面所成角；把动点Q约束在侧面上，将空间距离条件转化为平面圆方程，结合侧面边界确定圆弧轨迹并计算弧长. 【详解】以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 由题得各点坐标： ，是的中点，故. 对于选项，向量，，故 . 因此，即，正确. 对于选项，， 设平面的一个法向量，则 解得，令，则. 因为 ，所以点到平面的距离为，正确. 对于选项，向量，设直线与平面所成角为， 则，错误. 对于选项，侧面​内的点满足.设，由得：  ，化简得. 该圆半径为，在矩形​（）内的部分是圆心角为的圆弧， 所以轨迹长度为，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平行六面体中，为中点，直线与平面交于点，则的值为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量共线与平面内向量的线性表示，通过待定系数列方程求出参数，得到线段比值． 【详解】设， 而为中点，则， 已知共线，故， 而在平面内，平面内向量满足， ，， 则，故，即，解得， 故，即． 13. 如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使与成角，则间的距离为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】 由题意先得然后两边平方,根据数量积的运算求解即可． 【详解】，．同理． 在三棱锥中，与成角， 或． 又， 或， 或|BD|=， 故答案为2或． 【点睛】在空间中，求两点间距离或某一线段的长度时，一般用向量的模来解决，通过向量数量积的运算可得所求结果．在本题中容易出现的错误是误认为，而忽视另一种情形． 14. 如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且．则二面角的正切值的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用面面垂直的性质证明得出线面垂直，作出二面角的平面角并利用勾股定理求得线段长度，即可得出二面角的正切值. 【详解】取的中点为，连接， 依题意平面平面，且平面平面，平面， 由题意：，所以平面， 过点作于点，连接，如下图所示： 由平面，又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，平面，可得； 即可得为二面角的平面角； 设，则， 由的面积， 得 又三角形为正三角形，所以， 在中，. 当时取等号， 即二面角的正切值最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【小问1详解】 由可得， 故； 【小问2详解】 易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； 【小问3详解】 因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因，对照可得， 解得．故． 16. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，O为的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）因为为等边三角形，且为的中点，所以. 又因为平面平面，平面，且平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理由平面平面可得平面，进而即可证明． （2）建立空间坐标系，求得平面与的法向量，利用向量法求得法向量的夹角的余弦值，从而可求二面角的正弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，因为四边形为等腰梯形，所以. 由（1）知平面，因为平面，所以. 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，设， 如图所示，则. 可得. 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又由平面的一个法向量为. 设二面角的平面角为，可得. 因为，所以. 所以二面角的正弦值为. 17. 在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． （1）若，，求的斜坐标； （2）在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 【答案】（1） （2）, 2 【解析】 【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. （2）设分别为与同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到 ，从而得到求向量的斜坐标；②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值. 【小问1详解】 ， 的斜坐标为． 【小问2详解】 设分别为与同方向的单位向量， 则，， ① ； ②由题， 由，知， 由， ， ，解得， 则． 18. 如图，在长方体中，，，，分别为棱，上的动点（含端点）． （1）当点在什么位置时，有平面？ （2）当动点，满足时，求点到平面距离的取值范围． 【答案】（1）是棱上靠近点的四等分点 （2） 【解析】 【分析】第（1）问建立空间直角坐标系，设出点的位置参数，利用线面垂直的向量条件列出方程，解出参数确定位置； 第（2）问同样设参数表示动点坐标，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式得到关于参数的函数，再根据参数范围求出距离的取值范围. 【小问1详解】 如图，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，， 则，，，，，， ∴，，， 要使平面， 需满足 由，解得． ∴当是棱上靠近点的四等分点时，有平面． 【小问2详解】 设，，则，，∴，，． 设平面的法向量为，令，得到，， 得为平面的一个法向量． 点到平面的距离， 易知在区间上单调递减， 最大值为2，最小值为， ∴． 即点到平面距离的取值范围为． 19. 已知三棱柱中，，，，，，且，，分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）求的长度的取值范围； （3）若，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）以为基底表示，即，同时设，再利用，进而将表示为的函数后，再求其取值范围. （3）建立空间直角坐标系，设根据，求，根据求，再根据求，再设与平面所成的角为，即可利用进行求解. 【小问1详解】 连接，则，分别为，的中点，， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 因为，，设，则，， 则， ， ， 又因为， ， ， 其中 ． 因为，所以， 又在单调递增，所以 ， ，所以， 故的长度的取值范围为． 【小问3详解】 以为坐标原点，，，为，，轴的正方向，建立如图空间直角坐标系． 则，，，设（）， ，，． 因为，所以，，，解得． 因为，所以，，，解得． 又因为，所以 ，所以． 设为平面的一个法向量，则， 又，，所以， 令，得，，． 设与平面所成的角为，， 则． 所以与平面所成的角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期高二阶段性学情反馈 数学试卷 满分：150分 考试时间：120 分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或 C. D. 与相交但不垂直 3. 如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在正方体中，分别在上，且，则（ ） A. 至多与之一垂直 B. 是的公垂线 C. 与相交 D. 与异面 5. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 7. 若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的直径的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，，设，，，的重心分别为O，P，Q，R，则四面体OPQR的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对按部分得分，有选错的得0分． 9. 关于空间平面、、和直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则内一定存在直线平行于 B. 若，则内所有直线都垂直于 C. 若，，，则 D. 若不垂直于，则内一定不存在直线垂直于 10. 给出下列命题，其中不正确的有（ ） A. 设是空间的一个基底，若，则 B. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. 若三个非零空间向量满足，则 D. 已知直线过点，是的方向向量，则点到的距离为 11. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平行六面体中，为中点，直线与平面交于点，则的值为______________． 13. 如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使与成角，则间的距离为______． 14. 如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且．则二面角的正切值的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 16. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，O为的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 17. 在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． （1）若，，求的斜坐标； （2）在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 18. 如图，在长方体中，，，，分别为棱，上的动点（含端点）． （1）当点在什么位置时，有平面？ （2）当动点，满足时，求点到平面距离的取值范围． 19. 已知三棱柱中，，，，，，且，，分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）求的长度的取值范围； （3）若，求与平面所成的角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $