辽宁省实验中学2026-2027学年高二上学期十月考试数学试题

2026-2027学年上学期高二年级十月考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．点关于平面对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（ ） A． B． C． D． 3．经过点，且一个法向量为的直线方程为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A． B．3 C． D． 6．一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离（ ） A． B． C． D． 7．已知正方体中，，分别为棱，上的动点，则二面角的最大值为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．在四棱锥中，底面平行四边形，过点的平面与棱，，分别交于点，，，且，．四棱锥的体积和四棱的体积比值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的有（ ） A．直线在轴上的截距是 B．一条直线的斜率为，则该条直线的倾斜角为 C．已知直线：，直线恒过点 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10．如图，在平行六面体中，，，点，分别是棱，的中点，则下列说法中正确的有（ ） A． B． C．向量，，共面 D．若，则该平行六面体的高为 11．如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为的中点，则（ ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C．若，分别为，上的点，则的最小值为 D．若点在底面上，且平面，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图所示，二面角为60°，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长________． 13．已知空间向量，，向量在向量上的投影数量为________． 14．边长为的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段中点，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是________ 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16．（15分） 在平面直角坐标系中，直线过点，且分别与轴、轴的正半轴交于，两点． （1）当的面积最小时，求直线的方程； （2）当取得最小值时，求直线的方程； （3）当取得最小值时，求直线的方程． 17．（15分） 如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 18．（17分） 在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点． （1）若，证明：平面； （2）在（1）的条件下，若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球的表面积； （3）求二面角的余弦值的最小值． 19．（17分） 如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角． （1）当时，求证：； （2）定义：过点作垂直底面于，且在内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率． （i）当时，求斜三棱柱的投影偏差率（不需证明），并求此时平面与平面夹角的余弦值； （ii）关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：为定值，并求该定值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 三、解答题 15题 16题 高二上第一次月考数学答题纸   贴条码处 姓 名： 考生号： 班 级：28届 班 选择题 1  2  3  4  9  10  11   5  6  7  8  二、填空题 12． 13. 14．     19题 18题  17题    $ 数学参考答案 一、单选题 1-4 DABA 5-8 DCBA 二、多选题 9．AC 10．ABD 11．ACD 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15．（1）侧面底面，侧面底面，， 底面，底面，， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， 由此可知 异面直线与所成角的余弦值为． （6分） （2）由（1）得，．设平面的法向量为， 则令，则，，得平面的法向量为． 易得平面的一个法向量为， 由此可知 平面与平面夹角的余弦值为 （13分） 16．（1）解法一：易知直线的斜率小于0．由题意，设直线的方程为，且，则，，则 ，当且仅当，即时，的面积最小，为8，此时，直线的方程为，即． 解法二：设直线的方程为（，），则．由，得，当且仅当，即，时，的面积取得最小值，为8，此时，直线的方程为，即． （5分） （2）由（1）的解法一可得，当且仅当，即时，取得最小值，为9，此时直线的方程为． 解法二：同（1）中的解法二 （10分） （3）解法一：由（1）的解法一可得，当且仅当，即时，取得最小值，为8．此时直线的方程为． 解法二：由（1）的解法二知，，，所以 ，当且仅当，即时，取得最小值，为8，此时直线的方程为 解法三：设，，，则 ，故斜率，此时直线的方程为． （15分） 17．（1）取的中点，连接、． 由为中点，得且； 由为中点，得且，故且， 所以四边形为平行四边形，因此． （4分） 又平面，平面，故平面． （2）连接，，设，连接，则平面，以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系． 由为二面角的平面角，得、， 而是的中点，所以，，所以，是等边三角形， 因为，所以，高， ，，，，， ，，， ，，设平面的法向量为， 则，故可设平面的法向量， 由平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， ，所以直线到平面的距离为． （9分） （3）设为线段上的动点，令， 则 ，则， 向量． 设直线与平面所成角为， 则， ， 当时，取得最小值， 此时取得最大值为：． （15分） 18．（1）证明：在中，由，得， 所以，且， 即， 因为，，，、平面， 所以平面． （4分） （2）以为原点，，分别为轴和轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设球心，半径， 则， 所以， 解得，，，，所以球的为 （9分） （3）在平面中，过作于，在平面中，过作， 因，，平面，则平面． 则由（1），， 设，，以为原点，，分别为轴和轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内， 则，，，，， 所以，，， 设平面一个法向量分别为，则， 即，取，则得； 平面的一个法向量为，则， 即，取，则得， （14分） 所以， 令，则由得，则， 于是 ，当且仅当即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值为 （17分） 19．（1）证明如下： 因为 ，所以，即． （3分） （2）以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于面的直线为轴， 建立下图所示空间直角坐标系，则，，， （i）已知，，， 则，，故， 已知与、所成角分别为、， 则，， 则， 注：也可以直接是利用三余弦公式 （5分） ，则，， ，， 设平面的法向量为，则， 令，则，平面的法向量可取， 设平面与平面夹角为，则 所以平面与平面夹角的余弦值 （10分） （ii）证明如下：， （12分） 已知存在两个不同的锐角，使得，设，， 则，锐角，是两个不同的锐角，则，符号相反， ，即，化简整理得， ，，为锐角，则，，． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $