带电粒子在磁场中运动的临界与多解问题（7类题型） 题型专项训练 -2026-2027学年高二上学期物理人教版选择性必修第二册题型解构与专项训练

1.4 带电粒子在磁场中运动的临界与多解问题 题型1：放缩圆 1 题型2：旋转圆 2 题型3：平移圆 4 题型4：磁场最小面积与确定磁场区域范围问题 5 题型5：带电粒子电性不确定形成多解 6 题型6：磁场方向不定形成多解 7 题型7：临界状态不唯一形成多解 8 题型精练 题型1：放缩圆 1.如图所示，边长为L的正方形匀强磁场区域abcd内的P点处有一粒子源，可以发射不同速率的质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子沿纸面以与Pd成角的方向射入该匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，P点是cd边的中点。不计粒子的重力以及粒子间的相互作用。 求带电粒子在磁场中运动的周期T； 若粒子由边界cd离开磁场，求该粒子在磁场中的运动时间t； 若粒子离开磁场时的速度方向偏转了，求该粒子的速度大小v。 2.如图所示，在虚线边界上方区域有磁感应强度为B的匀强磁场，MN为磁场边界上的长度为2a的接收屏，与垂直，和的长度均为a。在O点的电子源可大量发射方向平行于边界向右、速度大小不同的电子。已知电子的质量为m，电荷量为，不计电子间的相互作用，电子打到接收屏上即被吸收。求： 能打到接收屏上的电子速度大小的范围； 打到接收屏上的电子在磁场中运动的最长时间。 题型2：旋转圆 3.如图所示，垂直纸面向里的有界匀强磁场的宽度为d，在纸面内，相同的带正电的粒子不计重力从左边界的A点以大小相等的初速度，在范围内沿不同方向垂直磁场射入，有些粒子从右边界射出磁场，有些粒子从左边界射出磁场。已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R且R=d，圆周运动的周期为T，则下列说法中正确的是() A.磁场中有粒子经过的区域面积为 B.从磁场右边界射出的粒子中，在磁场中运动最长时间是最短时间的倍 C.从左边界射出的粒子数占总粒子数的 D.右边界有粒子射出的区域长度为 4.如图所示，空间存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，一粒子发射源P位于足够大绝缘平板MN的上方距离为d处，在纸面内向各个方向均匀发射速率均为v的同种带负电粒子，不考虑粒子间的相互作用和粒子所受的重力，已知粒子做圆周运动的半径大小为，则下列说法正确的是() A.若改变粒子的电性，则到达板上的粒子位置不变 B.粒子能打在板上离P点的最远距离为2d C.粒子从P点运动到板上的最长时间 D.粒子能打在板上的区域长度为 5.如图所示，边长为L的正方形abcd区域内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，O点是cd边的中点。若一质量为m，电荷量为q的带正电粒子不计重力从O点沿纸面以与Od成角的方向以不同的速率v射入磁场，能从ab边飞出的粒子的速率范围为() A. B. C. D. 6.（多选）如图所示，以三角形ACD为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，，，AO垂直于点有一电子源，可沿CD上方纸面范围内各个方向均匀地发射速率相同的电子不计电子重力，恰好有三分之一的电子从AC边射出，则() A.电子能经过D点 B.电子速度方向与OC的夹角为时，电子在磁场中飞行时间最短 C.AC边上有电子射出区域占AC长度的二分之一 D.经过AC边的电子数与经过AD边的电子数之比为 题型3：平移圆 7.如图所示，等腰直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ac边射入场区，结果在ab边仅有的区域内有粒子射出。已知ab边长为，不计粒子重力及粒子间相互作用。粒子的入射速度为() A. B. C. D. 8.如图所示，在xOy平面直角坐标系内，OA与x轴的夹角为，OA足够长，OA与x轴之间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，在OA上分布着足够多的粒子源，可以向磁场中发射速度大小为，方向垂直于OA的带电粒子，带电粒子的质量为m，电荷量为，则带电粒子能打到x轴距坐标原点最远位置的横坐标为 A. B. C. D. 9.如图所示，在xOy平面内，有一线状电子源沿x轴正方向发射速度均为v的电子，形成宽为2R、在y轴方向均匀分布且关于x轴对称的电子流．电子流沿方向射入一个半径为R、中心位于原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向里．在磁场区域的正下方d处，有一长为2d的金属板MN关于y轴对称放置，用于接收电子．电子质量为m，电荷量为e，不计电子重力及它们间的相互作用． 若正对O点射入的电子恰好从P点射出磁场，求磁感应强度大小B； 在第问的情况下，求电子从进入磁场到打在MN板上的时间t； 若所有电子都能从P点射出磁场，MN板能接收到的电子数占发射电子总数的比例是多大？ 题型4：磁场最小面积与确定磁场区域范围问题 10．如图所示，ABCD是长为L的矩形，内部存在垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m、带电量为q的粒子从A点以速度垂直射入磁场，速度方向与AB的夹角为，粒子刚好从B点射出磁场，不计粒子的重力，则（） A．粒子一定带负电 B．匀强磁场的磁感应强度为 C．粒子从A到B所需的时间为 D．矩形磁场宽度的最小值为 11．（25-26高二下·山东枣庄·期中）如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的P1点以速度v射入第一象限所示的区域，入射方向与x轴正方向成α=53o角，为了使该粒子能从x轴上的P2点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成α角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若磁场分布为一个矩形区域，则这一矩形区域的最小面积为（不计粒子的重力）（　　） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·陕西榆林·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，第一、四象限区域存在磁感应强度大小为、方向垂直于坐标平面向里的匀强磁场，第二象限存在磁感应强度大小为、方向垂直于坐标平面向里的圆形有界匀强磁场（磁场均没有画出）。从点发射一质量为、电荷量为的粒子，粒子依次经过、两点后进入第二象限。粒子经过第二象限圆形有界磁场偏转后恰好回到点，且回到点时速度方向与在点发射时相同。不计粒子重力，已知，，求： (1)粒子从点发射时的速度大小v； (2)第二象限圆形磁场区域的最小面积S； (3)粒子从点出发到再次回到点的时间t。 题型5：带电粒子电性不确定形成多解 13．（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　） A． B． C． D． 14．在磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，直线OM和ON之间的夹角为30°，一质量为m，带电量为q的粒子，沿纸面以大小为v0的速度从OM上的向左上方垂直磁场方向射入NOM之间，速度与OM成30°角，如图所示，已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，不计重力，则的距离为多少？ 题型6：磁场方向不定形成多解 15．（25-26高二下·广东汕头·开学考试）（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 16．在如图所示的正方形平面oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图所示．一个质量为m、带电量为的粒子不计重力，在时刻平行于oc边从o点射入磁场中．已知正方形边长为L，规定磁场向外的方向为正，磁感应强度的最大值为求： 带电粒子在磁场中做圆周运动的周期； 若带电粒子不能从oa边界射出磁场，磁感应强度B变化周期T的最大值； 要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射出磁场时的速度． 题型7：临界状态不唯一形成多解 17．（25-26高二上·山东威海·期末）如图所示，垂直纸面向外的匀强磁场分布在正方形区域内，是边的中点。一带负电的粒子（不计重力）从点沿纸面垂直边射入磁场，经时间粒子刚好从点射出磁场。现让大量速率不同的上述粒子从点沿纸面与成的方向射入该磁场，能从边射出磁场的粒子在磁场中的运动时间为。关于的取值范围，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 18．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，在平面内存在着磁感应强度大小均为的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外，，为坐标轴上的两点。现有一质量为、电荷量为的电子从点沿方向射出，不计电子的重力，则下列说法中正确的是（） A．若电子从点出发恰好第一次经原点点，运动时间一定为 B．若电子从点出发恰好第一次经原点点，运动路程可能为 C．若电子从点出发恰好第一次经原点到达点，运动路程可能为或 D．若电子从点出发经原点到达点，运动时间可能为 19．（25-26高二下·安徽滁州·期中）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷，忽略质子重力和质子间的相互作用，则质子的速度不可能为（　　） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·山西朔州·期末）如图所示的xOy平面内，x<0的区域内有竖直向上的匀强电场；在0<x≤4L区域内，处于第一象限的匀强磁场，磁感应强度为B1（未知）；处于第四象限的匀强磁场，磁感应强度为B2（未知），大小关系为B2=4B1，磁场方向均垂直于纸面向外。一质量为m、带电荷量为+q的粒子，在t=0时刻，从P点x=-2L，y=-L以速度v0沿x轴正向水平射出，恰好从坐标原点进入第一象限，最终垂直于磁场右边界离开磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子进入磁场时的速度； (2)若粒子通过坐标原点后仅在第一象限中运动便离开磁场，粒子在磁场中运动的时间； (3)磁感应强度B1的可能取值。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 带电粒子在磁场中运动的临界与多解问题 题型1：放缩圆 1 题型2：旋转圆 3 题型3：平移圆 8 题型4：磁场最小面积与确定磁场区域范围问题 11 题型5：带电粒子电性不确定形成多解 15 题型6：磁场方向不定形成多解 17 题型7：临界状态不唯一形成多解 20 题型精练 题型1：放缩圆 1.如图所示，边长为L的正方形匀强磁场区域abcd内的P点处有一粒子源，可以发射不同速率的质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子沿纸面以与Pd成角的方向射入该匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，P点是cd边的中点。不计粒子的重力以及粒子间的相互作用。 求带电粒子在磁场中运动的周期T； 若粒子由边界cd离开磁场，求该粒子在磁场中的运动时间t； 若粒子离开磁场时的速度方向偏转了，求该粒子的速度大小v。 【答案】粒子在磁场中做匀速圆周运动过程中，由牛顿第二定律有 根据圆周运动的周期公式 联立解得； 根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由图可知若粒子由边界cd离开磁场时，运动轨迹所对圆心角为 其运动时间 联立可得； 根据题意可知，带电粒子在磁场中运动的圆心角为，则弦切角与速度方向成，由几何关系可知，过P点做cd边的垂线，与ab边交点为Q，即粒子从ab边界中点Q离开磁场，运动轨迹如图所示 由几何关系可知 解得 根据牛顿第二定律有 解得。 2.如图所示，在虚线边界上方区域有磁感应强度为B的匀强磁场，MN为磁场边界上的长度为2a的接收屏，与垂直，和的长度均为a。在O点的电子源可大量发射方向平行于边界向右、速度大小不同的电子。已知电子的质量为m，电荷量为，不计电子间的相互作用，电子打到接收屏上即被吸收。求： 能打到接收屏上的电子速度大小的范围； 打到接收屏上的电子在磁场中运动的最长时间。 【答案】解：洛伦兹力提供向心力 电子打到M点时，在磁场中运动的圆周半径最小，几何关系 解得 电子打到N点时，在磁场中运动的圆周半径最大，几何关系 解得 电子的速度满足； 打到M点的电子在磁场中运动的时间最长 周期 解得 题型2：旋转圆 3.如图所示，垂直纸面向里的有界匀强磁场的宽度为d，在纸面内，相同的带正电的粒子不计重力从左边界的A点以大小相等的初速度，在范围内沿不同方向垂直磁场射入，有些粒子从右边界射出磁场，有些粒子从左边界射出磁场。已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R且R=d，圆周运动的周期为T，则下列说法中正确的是() A.磁场中有粒子经过的区域面积为 B.从磁场右边界射出的粒子中，在磁场中运动最长时间是最短时间的倍 C.从左边界射出的粒子数占总粒子数的 D.右边界有粒子射出的区域长度为 【答案】B 【解析】A.由题意可知，根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系，可得从左右两个边界射出的粒子运动轨迹如图所示 实线标记的上方半圆及下方圆弧内的面积为 由图可知，磁场中有粒子经过的区域面积大于，A错误； B.由图可知，粒子在该磁场中运动时间不大于半个周期，圆心角不大于，入射点和出射点之间的连线越长即弦长越长、弧长越大、圆心角越大，那么粒子运动时间就越长，反之越短。分析运动轨迹图象可知，能从右边界射出的粒子，最短的弦长为R，圆心角最小为，则最短时间 最长的弦长为，圆心角最大为，则最长的运动时间为 故从磁场右边界射出的粒子中，在磁场中运动最长时间是最短时间的倍，B正确； C.粒子初速度方向从向下到向右这范围内的粒子从右边界射出，初速度方向从向右到向上这范围内的粒子从左边界射出，故从左边界射出的粒子数占总粒子数的，C错误； D.如图由几何关系可知，最高点M和最低点N间距离为2d，D错误。 故选B。 4.如图所示，空间存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，一粒子发射源P位于足够大绝缘平板MN的上方距离为d处，在纸面内向各个方向均匀发射速率均为v的同种带负电粒子，不考虑粒子间的相互作用和粒子所受的重力，已知粒子做圆周运动的半径大小为，则下列说法正确的是() A.若改变粒子的电性，则到达板上的粒子位置不变 B.粒子能打在板上离P点的最远距离为2d C.粒子从P点运动到板上的最长时间 D.粒子能打在板上的区域长度为 【答案】C 【解析】B.如图所示，圆与平板MN相切于A点，圆于平板MN相交于B点，PB为直径，圆与平板MN相切于C点，A、C两点为粒子恰好能打到平板上的临界点，B为粒子能打到的距离P点最远的点，BC为粒子能打到平板的范围； 粒子能打在板上离P点的最远距离为，故B错误； A.改变粒子电性，粒子能打到的范围长度不变，但位置发生变化，故A错误； C.粒子打到平板所用时间最长的粒子其初速度为，设与竖直方向夹角为，由几何关系得 解得，所以打到A点的粒子速度偏转角为，所以最长时间为，故C正确； D.BC为粒子能打到平板上的范围，由几何关系可得，故D错误。 故选C。 5.如图所示，边长为L的正方形abcd区域内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，O点是cd边的中点。若一质量为m，电荷量为q的带正电粒子不计重力从O点沿纸面以与Od成角的方向以不同的速率v射入磁场，能从ab边飞出的粒子的速率范围为() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设粒子的运动轨迹半径为时，粒子的轨迹与ad边相切，如图中曲线①所示 由几何关系得 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得粒子的速率为 当粒子的运动轨迹与ab边相切时，如图中曲线②所示，由几何关系可得 此时粒子的运动轨迹半径 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得粒子的速率 故能从ab边飞出的粒子的速率范围为 故选C。 6.（多选）如图所示，以三角形ACD为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，，，AO垂直于点有一电子源，可沿CD上方纸面范围内各个方向均匀地发射速率相同的电子不计电子重力，恰好有三分之一的电子从AC边射出，则() A.电子能经过D点 B.电子速度方向与OC的夹角为时，电子在磁场中飞行时间最短 C.AC边上有电子射出区域占AC长度的二分之一 D.经过AC边的电子数与经过AD边的电子数之比为 【答案】ACD 【解析】A.由于粒子源发生的电子速率相同，电子在磁场中做匀速圆周运动，有，解得，即所有电子的半径都相等，由题意可知，其恰好有三分之一的电子从AC边射出。由左手定则可知，电子进入磁场后逆时针做圆周运动，所以其从AC边射出的一个临界位置为从A点射出，此时，如图所示 设AO的距离为L，由几何关系可知其电子的半径为，将该圆进行旋转，可知，当，电子从D点射出，故A正确; B.电子在磁场中做匀速圆周运动，其周期为T，有，在磁场中运动的时间为t，有，整理有，即电子运动的圆心角越小，其在磁场中运动的时间就越小，所以最短时间即为弦长的最小值，由几何关系可知，弦长最短的为垂直于AD，由几何关系可知，此时时，所以为时电子在磁场中飞行时间并不是最短的，故B错误; C.由上述分析可知，电子从AC边上射出，其中一个临界为A点，另一个临界为E点，如图所示 由之前的分析可知。粒子的半径为L，AO的距离也为L，有几何关系可知，AC为2L，E点为AC的中点，即AC边上有电子射出区域占AC长度的二分之一，故C项正确; D.由题意及之前的分析可知，当范围内，电子从AC边上射出，当粒子在范围内，电子从AD边射出，所以经过AC边的电子数与经过AD边的电子数之比为，故D项正确。 题型3：平移圆 7.如图所示，等腰直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ac边射入场区，结果在ab边仅有的区域内有粒子射出。已知ab边长为，不计粒子重力及粒子间相互作用。粒子的入射速度为() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意可知，从ac边进入磁场的粒子的圆心都在ac上且半径大小相等，将这个半径为r的圆的圆心沿a点向c点移动，直到这个圆的水平半径与ab边相交时，此时对应着粒子能从ab边出射的最远点记为d点，由题意知，根据几何关系得到，由洛伦兹力提供向心力得，整理得粒子的入射速度，故B正确。 8.如图所示，在xOy平面直角坐标系内，OA与x轴的夹角为，OA足够长，OA与x轴之间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，在OA上分布着足够多的粒子源，可以向磁场中发射速度大小为，方向垂直于OA的带电粒子，带电粒子的质量为m，电荷量为，则带电粒子能打到x轴距坐标原点最远位置的横坐标为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】带电粒子在磁场中运动过程中，洛伦兹力提供向心力有，将磁感应强度代入，解得，OA上的粒子源向外发射的所有带电粒子在磁场中运动的轨迹为一平移圆，如图所示， 根据几何关系可得当粒子半径与OA垂直时，打到x轴上的P点距坐标原点最远，根据几何关系得，另外要注意本题中带电粒子打的最远的距离不是轨迹与x轴相切时，如果相切时作出轨迹图如图所示， 根据几何关系有，所以Q点不是距离坐标原点最远的点。 故选C。 9.如图所示，在xOy平面内，有一线状电子源沿x轴正方向发射速度均为v的电子，形成宽为2R、在y轴方向均匀分布且关于x轴对称的电子流．电子流沿方向射入一个半径为R、中心位于原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向里．在磁场区域的正下方d处，有一长为2d的金属板MN关于y轴对称放置，用于接收电子．电子质量为m，电荷量为e，不计电子重力及它们间的相互作用． 若正对O点射入的电子恰好从P点射出磁场，求磁感应强度大小B； 在第问的情况下，求电子从进入磁场到打在MN板上的时间t； 若所有电子都能从P点射出磁场，MN板能接收到的电子数占发射电子总数的比例是多大？ 【答案】由题意可知，电子在磁场中做圆周运动的轨道半径是： 洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得： 解得： 电子在磁场中运动时间为： 把B代入得： 电子出磁场后做匀速直线运动，运动时间为： 总时间为： 所有电子在磁场中运动的半径相等，因为所有电子都能从P点射出磁场，所以所有电子在磁场中运动的半径均为R。 MN板能接收到的电子从P点射出时，速度偏转角为即与x正方向的夹角满足： ①到达N点的电子轨迹如图甲所示，其入射点为E，四边形为菱形。 E点到x轴的距离为： ②到达M点的电子轨迹如图乙所示，其入射点为F，四边形为菱形。 F点到x轴的距离为： EF竖直长度占射入总长度2R的比例为： 所以MN板能接收到的电子数占发射电子总数的比例。 题型4：磁场最小面积与确定磁场区域范围问题 10．如图所示，ABCD是长为L的矩形，内部存在垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m、带电量为q的粒子从A点以速度垂直射入磁场，速度方向与AB的夹角为，粒子刚好从B点射出磁场，不计粒子的重力，则（） A．粒子一定带负电 B．匀强磁场的磁感应强度为 C．粒子从A到B所需的时间为 D．矩形磁场宽度的最小值为 【答案】B 【解析】A．粒子进入磁场时所受洛伦兹力斜向右下方，由左手定则可知，粒子带正电，故A错误； B．粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可得，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，即 解得，故B正确； C．由几何知识可知，粒子在磁场中转过的圆心角为，粒子在磁场中运动的时间为 又由 解得，故C错误； D．由几何知识可知，矩形磁场宽度的最小值为粒子运动轨迹最高点到的距离，即，故D错误。 故选B。 11．（25-26高二下·山东枣庄·期中）如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的P1点以速度v射入第一象限所示的区域，入射方向与x轴正方向成α=53o角，为了使该粒子能从x轴上的P2点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成α角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若磁场分布为一个矩形区域，则这一矩形区域的最小面积为（不计粒子的重力）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律 有 得粒子在磁场中做圆周运动的半径，画出粒子运动的轨迹，如图所示，轨迹圆心为 若磁场分布为一个矩形区域，则这一矩形区域的最小面积如图所示，设矩形的边长为，高为，有， 解得矩形区域的最小面积，ACD错误，B正确。 故选B。 12．（25-26高二下·陕西榆林·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，第一、四象限区域存在磁感应强度大小为、方向垂直于坐标平面向里的匀强磁场，第二象限存在磁感应强度大小为、方向垂直于坐标平面向里的圆形有界匀强磁场（磁场均没有画出）。从点发射一质量为、电荷量为的粒子，粒子依次经过、两点后进入第二象限。粒子经过第二象限圆形有界磁场偏转后恰好回到点，且回到点时速度方向与在点发射时相同。不计粒子重力，已知，，求： (1)粒子从点发射时的速度大小v； (2)第二象限圆形磁场区域的最小面积S； (3)粒子从点出发到再次回到点的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）画出粒子运动轨迹如图，设粒子在第一象限运动时，粒子轨迹圆半径 根据几何关系有 解得 根据 联立解得 （2）由几何关系可知，粒子回到点时速度垂直连线，与轴负方向的夹角仍为，故粒子在第二象限中运动时速度方向改变了106°，在有界磁场中轨迹所对的圆心角为106° 又 所以圆形磁场最小半径为 所以最小面积为 联立解得 （3）粒子在第一、四象限的磁场中运动时间为 粒子在第二象限的磁场中运动时间为 粒子在第二象限有界磁场外做匀速直线运动的距离 则粒子在第二象限做匀速直线运动的时间为 粒子相邻两次经过点的时间为 联立解得 题型5：带电粒子电性不确定形成多解 13．（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得 根据线速度和周期的关系，可得 联立解得 由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为 故选AD。 14．在磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，直线OM和ON之间的夹角为30°，一质量为m，带电量为q的粒子，沿纸面以大小为v0的速度从OM上的向左上方垂直磁场方向射入NOM之间，速度与OM成30°角，如图所示，已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，不计重力，则的距离为多少？ 【答案】若粒子带负电，为，若粒子带正电，为 【解析】若粒子电荷量q为负电荷，其在磁场中运动的轨迹如图所示 由图可得 根据洛伦兹力提供向心力可得 可得 若粒子电荷量q为正电荷，其在磁场中运动的轨迹如图所示 则可得 所以 题型6：磁场方向不定形成多解 15．（25-26高二下·广东汕头·开学考试）（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 【答案】BD 【解析】AB．取负离子电荷量的绝对值为，设轨道半径为，由洛伦兹力提供向心力得 解得 磁场垂直纸面向里时，负离子所受洛伦兹力初始向右，圆心在点右侧，故 该方向下的临界轨迹如图所示。 圆心到直线的距离不小于，由几何关系得 解得，A项对应的轨道半径为，B项对应的轨道半径为 前者大于，后者小于，故A错误，B正确。 CD．取负离子电荷量的绝对值为，设轨道半径为，由洛伦兹力提供向心力得 解得 磁场垂直纸面向外时，负离子所受洛伦兹力初始向左，圆心在点左侧。要使圆轨道不越过直线，圆心应在，之间，故 该方向下的临界轨迹如图所示。 圆心到直线的距离不小于，由几何关系得 解得，C项对应的轨道半径为，D项对应的轨道半径为 前者大于，后者小于，故C错误，D正确。 故选BD。 16．在如图所示的正方形平面oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图所示．一个质量为m、带电量为的粒子不计重力，在时刻平行于oc边从o点射入磁场中．已知正方形边长为L，规定磁场向外的方向为正，磁感应强度的最大值为求： 带电粒子在磁场中做圆周运动的周期； 若带电粒子不能从oa边界射出磁场，磁感应强度B变化周期T的最大值； 要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射出磁场时的速度． 【答案】；；，． 【解析】粒子在磁场中只受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，故洛伦兹力做向心力，则有：，所以，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期； 粒子在前半周期和后半周期的偏转方向相反，根据时间相同可得：经过一个周期T后粒子速度回到竖直向上； 那么，根据粒子偏转，当时，粒子一直向上运动，不可能从oa边界射出磁场； 若，则粒子必在时从oa边界射出磁场 当时，由几何关系可得：当磁场第一次改变方向后的轨迹与边界oa相切时如右图所示， ； ，所以，，即磁场变向前运动轨迹的圆心角为； 所以，磁场每次变向的最长时间，粒子不从oa边界射出磁场； 故，所以，T的最大值； 由可知：经过时间T后粒子运动重复，故根据几何关系可得：粒子经过时间T后在对角线ob上； 那么，根据粒子在前半周期和后半周期的偏转方向相反，运动时间相同可得：前后半周期的位移相同，故粒子经过后在对角线ob上； 那么，粒子运动轨迹如图所示， ； 所以，由几何关系可得：每次磁场改变前粒子偏转的圆心角为，且从粒子进入到离开，磁场改变了偶数次；故有：，所以，； 设磁场一共变化了n次，则由几何关系可得：；故轨道半径，，； 根据洛伦兹力做向心力可得：，所以，粒子出磁场时的速度； 题型7：临界状态不唯一形成多解 17．（25-26高二上·山东威海·期末）如图所示，垂直纸面向外的匀强磁场分布在正方形区域内，是边的中点。一带负电的粒子（不计重力）从点沿纸面垂直边射入磁场，经时间粒子刚好从点射出磁场。现让大量速率不同的上述粒子从点沿纸面与成的方向射入该磁场，能从边射出磁场的粒子在磁场中的运动时间为。关于的取值范围，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正方形边长为，是中点，故。带负电粒子垂直射入，从射出时，轨迹为半圆，对应圆心角，运动时间，因此粒子运动周期 粒子以与成向下射入磁场，能从射出的两个临界情况： 临界1：轨迹刚好与相切（最小时间） 由几何关系得，此时轨迹对应的圆心角 运动时间： 半径更大的粒子无法到达，因此能从射出的粒子满足 临界2：轨迹刚好与相切（最大时间） 由几何关系得，此时轨迹对应的圆心角 运动时间： 圆心角更大的粒子会从边射出，无法从射出，因此满足 故选C。 18．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，在平面内存在着磁感应强度大小均为的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外，，为坐标轴上的两点。现有一质量为、电荷量为的电子从点沿方向射出，不计电子的重力，则下列说法中正确的是（） A．若电子从点出发恰好第一次经原点点，运动时间一定为 B．若电子从点出发恰好第一次经原点点，运动路程可能为 C．若电子从点出发恰好第一次经原点到达点，运动路程可能为或 D．若电子从点出发经原点到达点，运动时间可能为 【答案】C 【解析】A．电子从点出发恰好第一次经原点点，有两类情况，一类是第奇数次回到轴经过原点，另一类是第偶数次回到轴经过原点。其中第一次和第二次回到轴的轨迹如图，运动时间 又 解得 当时，运动时间为；当时，运动时间为，故A错误； B．由轨迹图结合几何关系可知，轨迹圆的半径为。 可得运动路程为，故B错误； D．若电子从点出发第一次经原点到达点，轨迹也为两类，如图。由轨迹图结合几何关系，可得运动时间为或 解得或，故D错误； C．若电子从点出发恰好第一次经原点到达点，运动路程为或 解得或，故C正确。 故选C。 19．（25-26高二下·安徽滁州·期中）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷，忽略质子重力和质子间的相互作用，则质子的速度不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示 所有圆弧所对圆心角均为60°，根据几何关系可知，质子运动半径为(n＝1,2,3…) 质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力 联立解得(n＝1,2,3…) 可知质子的速度不可能为，C满足题意要求，ABD不满足题意要求。 故选C。 20．（25-26高二上·山西朔州·期末）如图所示的xOy平面内，x<0的区域内有竖直向上的匀强电场；在0<x≤4L区域内，处于第一象限的匀强磁场，磁感应强度为B1（未知）；处于第四象限的匀强磁场，磁感应强度为B2（未知），大小关系为B2=4B1，磁场方向均垂直于纸面向外。一质量为m、带电荷量为+q的粒子，在t=0时刻，从P点x=-2L，y=-L以速度v0沿x轴正向水平射出，恰好从坐标原点进入第一象限，最终垂直于磁场右边界离开磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子进入磁场时的速度； (2)若粒子通过坐标原点后仅在第一象限中运动便离开磁场，粒子在磁场中运动的时间； (3)磁感应强度B1的可能取值。 【答案】(1)，方向与x轴正半轴成45°角 (2) (3)（n=0，1，2，3……） 【解析】（1）带电粒子在电场中，水平方向做匀速运动，有 竖直方向做匀加速运动，有 解得 则带电粒子通过坐标原点的速度大小 速度方向与轴正半轴的夹角为，则 可得 （2）当粒子进入磁场后，第一次恰好垂直磁场右边界射出时的时间最短，如图所示由几何关系知 带电粒子在磁场中运动的周期 粒子在磁场中运动的时间 解得 （3）粒子在磁场中运动，如图所示 由洛伦兹力提供向心力有 且，则有 且满足关系，（） 由洛伦兹力提供向心力有 解得，（） 2 学科网（北京）股份有限公司 $