精品解析：江苏省徐州市树人初级中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学限时练习 （时间80分钟 满分140分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程是整理后形如其中的整式方程，解决本题的关键是根据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A选项：方程中含有个未知数，且未知项的最高次数是， 是二元一次方程，不是一元二次方程，故A选项不符合题意； B选项：方程中，若，则方程是一元二次方程，若，则方程不是一元二次方程，故B选项不符合题意； C选项：方程中分母中有未知数，是分式方程， 不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：方程中含有个未知数，且未知项的最高次数是， 是一元二次方程，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 3. 将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据二次函数平移的规则“左加右减，上加下减”，逐步进行平移变换即可求解． 【详解】解：将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是， 故选：A． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 5. 已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标．熟练掌握：的顶点坐标是是解题的关键． 根据的顶点坐标是求解作答即可． 【详解】解：由题意知，这条抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 6. 若菱形两条对角线和的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（　　） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理．先求出方程的解，即可得出，根据菱形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：， 解得：， 即， 如图，对角线和交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 故选：A 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，，且二次项系数不为0，即可求出k的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：，且， ∴的取值范围是且， 故选：D． 8. 如图，是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的其中一个交点在点和，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由时函数取最大值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为值， ∴，， ∴，①②正确． ∵时， ∴时，，③不正确． 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，④正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请将答案直接写答题卡相应的位置） 9. 已知二次函数图象的开口方向__________．（填“向上”或“向下”） 【答案】向上 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质．根据抛物线a的符号，确定抛物线的开口方向即可． 【详解】解：抛物线中， 故抛物线的开口向上， 故答案为：向上． 10. 一元二次方程有一个根为1，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义，将代入列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴满足关于x的一元二次方程， ∴， 解得，． 故答案为：5． 11. 抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 直接根据顶点式可求得答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线， 故答案为：． 12. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 13. 设分别是方程的两个实数根，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟悉：一元二次方程的两个根为，，则，． 利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵分别是方程的两个实数根， ∴， 故答案为：． 14. 已知二次函数y=x2－4x－m的最小值是1，则m=_______． 【答案】-5 【解析】 【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，利用二次函数求最值方法求解即可． 【详解】解：由知， 当x=2时，y有最小值为-4-m， ∵该函数的最小值为1， ∴-4-m=1， 解得：m=-5， 故答案为：-5． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握求二次函数的最值方法是解答的关键． 15. 若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求得． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴无交点， ∴无实数根， ∴， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 16. 如图所示，现有一块矩形铁皮，其长是宽的2倍，在铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，设矩形的宽为，则可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要是一元二次方程的应用题，关键是找出题中的等量关系；设矩形的宽为，则矩形的长为，做成一个无盖的盒子后，该长方体盒子的长为，宽为，高为，根据盒子的容积是，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的长为，做成一个无盖的盒子后，该长方体盒子的长为，宽为，高为， 根据题意： 故答案为：． 17. 如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为或， 故答案为：或． 18. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 三、解答题（本大题共有7小题） 19. 解方程： （1）； （2） （3） （4）； 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：公式法、直接开平方法、因式分解法、配方法，选用适当的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用直接开平方法解方程即可； （4）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：移项得， 开方得， 解得，； 【小问2详解】 解：因式分解得， 则，， 解得，； 【小问3详解】 解：开方得， 解得，； 【小问4详解】 解：， 移项得， 配方得，即， 开方得 解得，． 20. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求函数表达式． （2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 点不在这个二次函数图象上，理由如下： 当时，， ∴点不在这个二次函数图象上． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时对应的函数值，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数（b，c为常数）的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数表达式为； 【小问2详解】 略 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的一个根，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）求出，从而得证； （）将代入方程得：，然后求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程得：， 解得：， ∴的值为． 22. 如图，二次函数的图像过，且顶点为，解答完成下列问题： （1）当时，y随x增大而________（填“增大”或“减小”）； （2）当时，y的取值范围是________； （3）方程的两个根是________． 【答案】（1）减小 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程等知识，熟悉二次函数的图象与性质是关键． （1）由顶点坐标设二次函数解析式为顶点式，再把点坐标代入即可求出函数解析式；由顶点坐标及函数增减性质即可完成； （2）由抛物线对称性可求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，结合二次函数的图象与性质即可求解； （3）考虑二次函数与直线的交点横坐标，即可求得方程的解． 【小问1详解】 解：∵二次函数顶点为， ∴设， ∵图像过， ∴， 即， ∴，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小； 故答案为：减小； 【小问2详解】 解：∵抛物线对称轴为直线，与x轴一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向上，函数取得最小值， ∴当时，y的取值范围是； 故答案为：； 【小问3详解】 解：对于，当时，， 即抛物线与y轴的交点坐标为； 由抛物线对称性知，关于对称轴的对称点坐标为； 对于方程的解，就是二次函数与直线的交点横坐标， 而二次函数与直线的交点为与， ∴方程的解为，； 故答案为：，． 23. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 24. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙长为）的矩形菜园． （1）当围成的矩形面积为时，求的长； （2）当长为多少时，围成的矩形面积最大?面积最大值是多少? 【答案】（1）长为； （2）当时，矩形面积最大，最大面积为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值． 设，根据矩形的面积为列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，因为墙的长度为，把超过的解舍去； 根据矩形的面积公式得到矩形的面积与的长度之间的函数关系式为，配方法可得，从而可得当时，矩形面积最大，最大面积为． 【小问1详解】 解：设，则 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，， 舍去， 长为； 【小问2详解】 解：设围成矩形的面积为 根据题意得： ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 又， 当时，矩形面积最大，最大面积为． 25. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，过点P作轴于点E，交于点G，作于点F． （1）点B的坐标是____________，点C的坐标是___________； （2）当时，求出点P的坐标； （3）当的周长最大时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式等知识． （1）分别令，，即可求解； （2）利用待定系数法可得直线的解析式为，设点P的坐标为，则点G的坐标为，可得，再根据，建立方程求解即可； （3）先证得是等腰直角三角形，可得，设点P的坐标为，则点G的坐标为，可得，进而可得的周长，运用二次函数的性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴点； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点G的坐标为， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：或3， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点，点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点P的坐标为，则点G的坐标为， ∴， ∴的周长 ， ∴当时，的周长最大，最大值为，此时点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学限时练习 （时间80分钟 满分140分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 若菱形两条对角线和的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（　　） A. B. 4 C. D. 5 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 8. 如图，是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的其中一个交点在点和，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请将答案直接写答题卡相应的位置） 9. 已知二次函数图象的开口方向__________．（填“向上”或“向下”） 10. 一元二次方程有一个根为1，则________． 11. 抛物线的对称轴是直线______． 12. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为______． 13. 设分别是方程的两个实数根，则的值是_____． 14. 已知二次函数y=x2－4x－m的最小值是1，则m=_______． 15. 若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围是______． 16. 如图所示，现有一块矩形铁皮，其长是宽的2倍，在铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，设矩形的宽为，则可列方程为_____． 17. 如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点，则关于x的不等式的解集是______． 18. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 三、解答题（本大题共有7小题） 19. 解方程： （1）； （2） （3） （4）； 20. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求函数表达式． （2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的一个根，求的值． 22. 如图，二次函数的图像过，且顶点为，解答完成下列问题： （1）当时，y随x增大而________（填“增大”或“减小”）； （2）当时，y的取值范围是________； （3）方程的两个根是________． 23. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 24. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙长为）的矩形菜园． （1）当围成的矩形面积为时，求的长； （2）当长为多少时，围成的矩形面积最大?面积最大值是多少? 25. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，过点P作轴于点E，交于点G，作于点F． （1）点B的坐标是____________，点C的坐标是___________； （2）当时，求出点P的坐标； （3）当的周长最大时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $