江苏 南京郑和外国语学校2026-2027学年第一学期九年级十月学情自测数学

2026/2027学年度南京郑和外国语学校第一次阶段性练习 数学试卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1．已知的直径为，点到圆心的距离为，则点在（ ） A．外 B．内 C．上 D．无法确定 2．下列函数中，不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 3．已知点、都在反比例函数的图象上，且，则有（ ） A． B． C． D． 4．如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，，，分别与扇形相切于点，．若，，则的长为（ ） A．8 B．8．5 C． D．9 6．如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且，连接、，则的面积是（ ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 二、填空题（每题2分，共20分） 7．把一元二次方程化成一般形式：__________． 8．圆锥的底面半径为3，母线长为4，则它的侧面展开图扇形的面积为__________． 9．把方程化成的形式，则的值是__________． 10．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为__________寸． 11．如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则__________．（填“>”“<”或“=”） 12．已知反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是__________． 13．如图，四边形内接于，延长交于点．若，则_________°． 14．一次函数与反比例函数图象交于点，则当时，的取值范围是__________． 15．如图，矩形中，，．若为矩形内一点，且，则所有符合条件的点形成的区域的面积是________________． 16．如图，是的弦，点在内，，，连接，若的半径是4，则长的最小值为________________． 三、解答题（共10题，共88分） 17．（8分）解下列关于的方程： （1）； （2）． 18．（8分）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根、满足，求实数的值． 19．（8分）如图，已知，M是射线上一点，．以点M为圆心、r为半径画． （1）当与射线相切时，求的值； （2）直接写出与射线的公共点的个数及对应的的取值范围． 20．（8分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）若，求与的值； （2）关于的不等式的解集为_________________； （3）连接，，若的面积为12，则的值为__________． 21．（8分）如图，等腰的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点． （1）当，求的度数． （2）若点为的中点，求的度数． 22．（8分）为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售一种当地的农特产品，成本价为50元/件．直播后，按每件70元销售，第一天卖出了80件．若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10件．求当售价定为多少时，日销售利润为1950元？ 23．（8分）如图，点为直线外一点，分别作出满足下列条件的． （1）过点，与直线相切于点Q； （2）过点，与直线相切于点P，的度数为； 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 24．（10分）在四边形中，，是上一点，以为直径的经过，两点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25．（10分）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的矩形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒． ①剪去矩形的长为_____________； ②若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 26．（12分）结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积． 解：设的内切圆分别与、相切于点，，的长为． 根据切线长定理，得，，． 根据勾股定理，得． 整理，得． 所以 ． 小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索． 已知：的内切圆与相切于点，，． 可以一般化吗？ （1）若，求证：的面积等于． 倒过来思考呢？ （2）若，求证． （3）若，，，直接写出的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $