精品解析：浙江义乌市后宅中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026年下学期第一次作业检测九年级数学试题 一、选择题（每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，根据二次函数定义：形如的多项式函数，最高次项为二次，逐项判断即可． 【详解】，最高次项为三次，不是二次函数，故A不符合题意； ，最高次项为一次，不是二次函数，故B不符合题意； ，符合形式，且，是二次函数，故C符合题意； 含有分式，不是二次函数，故D不符合题意． 故选：C． 2. 五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，同一条直线上的三个点A，B，C都在平行线上．若，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，从而根据比例的性质可求出的长． 【详解】解：∵五条平行线的距离都相等， ， ， ． 3. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、2、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，能成比例； B．，不能成比例； C．能成比例； D．，能成比例． 故选B 4. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别连接、、，其所在直线交于点，即可得到答案． 【详解】如图，分别连接、、，其所在直线交于点 则点G为所求的位似中心， 故选：C． 【点睛】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键． 5. 如图玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（）时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金比列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴ ∴． 6. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b＜0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误； B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧， ∴a>0，b>0， ∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴a<0，b>0， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误； D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a＜0，b＜0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键． 8. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（ ） A. 三个同学都正确 B. 只有乙和丙同学正确 C. 只有甲和丙同学正确 D. 只有甲同学正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，由等腰三角形的性质可得，利用三角形外角性质可得，即可，即可判断甲；证明即可判断乙；证明，由等腰三角形的性质即可判断丙；据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故甲同学说法正确； 若， ∵， ∴， ∴，故乙同学说法正确； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点，故丙同学说法正确； 综上，三个同学说法都正确， 故选：． 9. 如图，在中，，点E为此三角形的重心，连接并延长交于点D，过点E作于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形重心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，合理作图是关键． 根据三角形的重心得到，证明，求出，再证明即可求解． 【详解】解：如图1所示，连接并延长交线段于点，与交于点，连接， ∵点为三角形的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2所示，过作于， ∵是的中线， ， ，，， ， ， ， ， ，即， ， ，， ， ， ，即， ． 故选：． 10. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，根据题意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根据可得BE=PE=PC=PF=DF，根据正方形的性质可证明△FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根据三角形中位线的性质可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可证明△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示长CH的长，即可表示出CG的长，进而可得答案． 【详解】如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q， ∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形， ∴BE=PC=DF，AE=BP=CF， ∵， ∴BE=PE=PC=PF=DF， ∵∠CFD=∠BPC， ∴DF//EH， ∴PH为△CFQ的中位线， ∴PH=QF，CH=HQ， ∵四边形EPFN是正方形， ∴∠EFN=45°， ∵GD⊥DF， ∴△FDG是等腰直角三角形， ∴DG=FD=PC， ∵∠GDQ=∠CPH=90°， ∴DG//CF， ∴∠DGQ=∠PCH， 在△DGQ和△PCH中，， ∴△DGQ≌△PCH， ∴PH=DQ，CH=GQ， ∴PH=DF=BE，CG=3CH， ∴BH=BE+PE+PH=， 在Rt△PCH中，CH==， ∴CG=BE， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若△ABC∽△A'B'C'，相似比为1:2，则△ABC与△A'B'C'的面积比为____． 【答案】1：4． 【解析】 【详解】因为相似三角形的面积比等于相似比的平方,所以△ABC与△A'B'C'的面积比为1:4,故答案为 1:4. 12. 若，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，用表示出是解题的关键．根据等式用表示出，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：7 13. 二次函数的对称轴为________． 【答案】直线 【解析】 【详解】解：∵ ∴该二次函数的对称轴为直线． 14. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．据此求解即可． 【详解】解：由题意得，平移后的解析式为：， 故答案为：． 15. 如图，在中，D是上一点，且，，、的平分线分别交、于E，F，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质解题即可． 【详解】解：在与中， ∵，， ∴∽， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是与对应角、的平分线， ∴， ∴． 故答案为： 16. 如图，在矩形中，点P是边上一动点，连接，作于点H，作于点E，作直线于点F，交于点G．已知：，． （1）若点E，F分别为的中点时，记矩形的面积为，矩形的面积为，则的值为________； （2）在点P的运动过程中，若，矩形与矩形相似，则n的值为________． 【答案】 ①. ②. 2或4 【解析】 【分析】（1）根据线段中点的定义可得，，由勾股定理可得；证明，得到，则；证明，可得，则，，再根据矩形面积公式求解即可； （2）分点F在上和点F在的延长线上两种情况，证明得到，证明，，再根据相似多边形的性质得到或，据此讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵点E，F分别为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）当点F在上时，∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴，即， ∴，即 ∵矩形与矩形相似， ∴或， 当时，则， ∴，即， ∴； 当时，则， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，； 当点F在延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴，即， ∴，即 ∵矩形与矩形相似， ∴或， 当时，则， ∴，即， ∴； 当时，则， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，或； 综上所述，或 故答案为：2或4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，相似多边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与相似多边形的性质是解题的关键． 三、解答题（第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程、解不等式组 （1）解一元二次方程； （2）解不等式组： 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 18. 已知二次函数的图象经过两点． （1）求的值． （2）试判断点是否在此函数的图象上． 【答案】（1）p=-3，q=1；（2）不在 【解析】 【分析】（1）把两点代入即可得出p，q的值； （2）把x=-1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案． 【详解】解：（1）把A（0，1），B（2，-1）代入y=x2+px+q， 得， 解得：， ∴p，q的值分别为-3，1； （2）把x=-1代入y=x2-3x+1，得y=5， ∴点P（-1，2）不在此函数的图象上． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键． 19. 如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，在格点上画出，使得且相似比为． （2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． 【答案】（1）即为所作． （2）则点即为所作； 【解析】 【分析】本题考查作图—位似变换，平行线分线段成比例定理． （1）将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，点、、三点共线，点B向右移动1个格点单位，向上移动1个格点单位得到点N，点、、三点共线，连接，，； （2）构建，为分成等份，其中点为等份点，过点的格线交于点 【小问1详解】 如图，将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，点、、三点共线，点B向右移动1个格点单位，向上移动1个格点单位得到点N，点、、三点共线，连接连接，，，即为所作，使得且相似比为． 【小问2详解】 如图，取格点，连接、，取点为等份点，过点的格线交于点， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点，． （1）求证：； （2）若的面积为，求平行四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，由平行线的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质，可求出的面积，即可得到四边形的面积，再证明，根据相似三角形的性质，可求出的面积，由此可得平行四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的判定和性质是解题的关键． 21. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x的函数表达式； （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】（1） （2）的长是3米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）先表示出的长，再利用矩形的面积公式列出函数关系式即可； （2）令，求出的长即可． 【小问1详解】 解：由题意，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，则：， 解得：或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，满足题意； ∴的长是3米． 22. 如下图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让以的速度沿NM运动，最终点A与点M重合． （1）求重叠部分面积y（单位：）关于时间t（单位：s）的解析式，并写出t的取值范围． （2）当时，求y的值． （3）当时，求t的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，需注意AM的值的求法． （1）根据△ABC是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解； （2）代入函数解析式求值； （3）代入函数解析式计算求解． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形， 重叠部分也是等腰直角三角形 由题意，得， 则重叠部分面积； 【小问2详解】 解：当时，． 【小问3详解】 解：当时，， 解得（舍去）， ． 23. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 期末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进间地面F点时，测得； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 （1）求的长． （2）请利用上述数据，求出围墙的高度． 【答案】（1）（2）围墙的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的性质与判定，熟练掌握定理是解题的关键． （1）根据题意证明，，根据相似的性质即可得到答案． （2）利用（1）中信息，直接求解即可． 【详解】解：（1）如图，连接． ， ． ．即． ． 同理，． ．即． ． 解得，． （2）由（1）知：，， ． ∴围墙的高度为． 24. 在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究． 如图，，（），点D在边上，延长交于点F． （1）【初步感知】求证：； （2）【深入探究】如图1，当，时，求的长； （3）【拓展延伸】如图2，将绕点E按逆时针方向旋转一定角度（小于）得到，若F，，三点共线，且点A的对应点满足，求n的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，结合证明，再利用相似三角形的性质即可证明； （2）根据题意得，，由得到，则，，再利用线段的和差列出关于长的方程，求出，即可求解的长； （3）连接，设，由（2）中的结论可得，根据旋转的性质得，，则，设，导角可得，则，推出，再结合推出，则，再由得到，，再利用线段的和差列出关于n的方程，即可求解n的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，，， ∵，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， 即的长为； 【小问3详解】 解：如图，连接， 设， 由（2）中的结论可得， 由旋转的性质得，，， ∴， 设， ∵F，，三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴n的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期第一次作业检测九年级数学试题 一、选择题（每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，同一条直线上的三个点A，B，C都在平行线上．若，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、2、 4. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（）时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（ ） A. 三个同学都正确 B. 只有乙和丙同学正确 C. 只有甲和丙同学正确 D. 只有甲同学正确 9. 如图，在中，，点E为此三角形的重心，连接并延长交于点D，过点E作于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 10. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若△ABC∽△A'B'C'，相似比为1:2，则△ABC与△A'B'C'的面积比为____． 12. 若，则的值为______． 13. 二次函数的对称轴为________． 14. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是___________． 15. 如图，在中，D是上一点，且，，、的平分线分别交、于E，F，则的值为________． 16. 如图，在矩形中，点P是边上一动点，连接，作于点H，作于点E，作直线于点F，交于点G．已知：，． （1）若点E，F分别为的中点时，记矩形的面积为，矩形的面积为，则的值为________； （2）在点P的运动过程中，若，矩形与矩形相似，则n的值为________． 三、解答题（第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程、解不等式组 （1）解一元二次方程； （2）解不等式组： 18. 已知二次函数的图象经过两点． （1）求的值． （2）试判断点是否在此函数的图象上． 19. 如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，在格点上画出，使得且相似比为． （2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． 20. 如图，平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点，． （1）求证：； （2）若的面积为，求平行四边形的面积． 21. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x的函数表达式； （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 22. 如下图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让以的速度沿NM运动，最终点A与点M重合． （1）求重叠部分面积y（单位：）关于时间t（单位：s）的解析式，并写出t的取值范围． （2）当时，求y的值． （3）当时，求t的值． 23. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 期末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进间地面F点时，测得； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 （1）求的长． （2）请利用上述数据，求出围墙的高度． 24. 在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究． 如图，，（），点D在边上，延长交于点F． （1）【初步感知】求证：； （2）【深入探究】如图1，当，时，求的长； （3）【拓展延伸】如图2，将绕点E按逆时针方向旋转一定角度（小于）得到，若F，，三点共线，且点A的对应点满足，求n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $