江西南昌市第二中学2025—2026学年第二学期八年级数学学科期中阶段性学习质量检测

南昌二中 2025—2026学年第二学期八年级数学学科期中阶段性学习质量检测 数　学 考试日期：2026 年 5 月 8 日 说明：1．本卷共六题，23 小题，全卷满分 120 分，考试时间 120 分钟．2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上做答，否则不给分． 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．使函数 y＝ 有意义的 x 的取值范围是（　　） A．x＞2　　B．x≥2　　C．x＜2　　D．x≤2 2．南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000 架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点 A 处起飞，先垂直爬升 3 米，后水平飞行 4 米到达点 B 处，如图所示，则点 A 与点 B 之间的距离是（　　） A．5 米　　B． 米　　C．6 米　　D．7 米 3．已知直线 l₁：y＝−kx+b 与直线 l₂：y＝2kx−b 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．如图 1，平行四边形 ABCD 中，AD＞AB，∠ABC 为锐角．要在对角线 BD 上找点 N，M，使四边形 ANCM 为平行四边形，现有图 2 中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　） A．只有甲、乙才是　　B．只有甲、丙才是 C．只有乙、丙才是　　D．甲、乙、丙都是 5．如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC⊥BC．若 AB＝5，BC＝3，则 BD 的长为（　　） A．　　B．2　　C．2　　D．4 6．如图①，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，动点 D 从点 A 出发，沿 A→C→B 以 1cm/s 的速度匀速运动到点 B，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，图②是点 D 运动时，△ADE 的面积 y（cm²）随时间 x（s）变化的关系图象，其中图象最高点的纵坐标是 12，则 BC 的长为（　　） A．4cm　　B．4cm　　C．8cm　　D．8cm 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．直线 y＝2x+6 经过点（0，a），则 a＝______． 8．如图 1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈 90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图 1 抽象成图 2，若两手握住的绳柄两端距离约为 1m，小臂到地面的距离约 1.2m，则适合小明的绳长为______m． 9．如图，一次函数 y＝kx+b 与 y＝x+2 的图象相交于点 P（m，4），则不等式 kx+b＜x+2 的解集为______． 10．已知一个菱形的周长与面积均为 20，则这个菱形较短对角线长为______． 11．生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯．油罐底面圆半径为 米，高为 12 米，旋梯正中间有一段 0.8 米的平台，则从旋梯底部 A 到顶部 B 的扶手长度至少为______米（旋梯宽度忽略不计）． 12．如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝8，点 E 为 BC 边的中点，点 P 在 AD 边上运动，F 为 BP 的中点，当△BEF 为等腰三角形时，AP 的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）一次函数 y＝2x−b 中，当 x＝1 时，y＝3． （1）求 b 的值； （2）y＝5 时，求 x 的值． 14．（6分）如图所示，在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝CD＝2，AD＝2． （1）求 AC 的长； （2）求四边形 ABCD 的面积． 15．（6分）如图，在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线 BE 和∠BCD 的平分线 CE 交于点 E，点 E 在 AD 边上，以 BE，CE 为边作▱BECF． （1）求证：四边形 BECF 是矩形； （2）若 AD＝2，∠D＝60°，求四边形 BECF 的周长． 16．（6分）一次函数 y＝ax+b（a≠0）的图象恒过定点（1，1）． （1）若图象还经过（2，3），求该一次函数的表达式； （2）若当−3≤x≤4 时，一次函数 y 的最大值和最小值的差是 6，求 a 的值． 17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，1），B（−2，1），C（−2，0），D（2，0），请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图（1）中作出函数 y＝0.25x+0.5 的图象； （2）在图（2）中，将（1）中所作图象向上平移 0.5 个单位长度． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．（8分）如图，正方形 ABCD 的顶点 A，D 分别在 x 轴，y 轴上，点 B（6，2）在直线 l：y＝kx+8 上，直线 l 分别交 x 轴，y 轴于点 E，F．将正方形 ABCD 沿 y 轴向下平移 m 个单位长度后，点 C 恰好落在直线 l 上． （1）求直线 l 的解析式； （2）求 m 的值． 19．（8分）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售 A，B 两种配件．已知购进 40 件 A 配件和 100 件 B 配件需支出成本 16000 元；购进 30 件 A 配件和 30 件 B 配件需支出成本 9300 元． （1）求 A，B 两种配件的进货单价； （2）若该配件销售部门计划购进 A，B 两种配件共 300 件，B 配件进货件数不低于 A 配件件数的 2 倍．据市场销售分析，A 配件提价 20% 销售，B 配件按进价的 1.5 倍销售．怎样安排 A，B 两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 20．（8分）如图，AD 是△ABC 的中线，E 是线段 AD 的中点，AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F，连接 CF． （1）如图 1，求证：四边形 AFCD 是平行四边形； （2）如图 2，连接 DF，若 AD⊥BC，∠ABC＝45°，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图 2 中长度为 AF 的 倍的线段，并说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．（9分）某同学在研究一个函数时，利用计算机，设计了一个如图所示的流程图．若输入 x＝−4，输出 y＝−1；输入 x＝，输出 y＝−1；输入 x＝，输出 y＝1． （1）a＝______，k＝______，b＝______； （2）在平面直角坐标系中，请作出 x≥0 时的函数图象； （3）请写出一条该函数的性质：________________________； （4）根据函数图象，关于 x 的方程 kx+b＝−x+m（x≥0）有解，m 的取值范围为______． 22．（9分）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现：如图①，将△ABC 纸片按所示折叠成完美矩形 EFGH，若△ABC 的面积为 12，BC＝6，则此完美矩形的边长 FG＝______，面积为______． （2）类比探究：如图②，将平行四边形 ABCD 纸片按所示折叠成完美矩形 AEFG，若平行四边形 ABCD 的面积为 30，BC＝6，则完美矩形 AEFG 的周长为______． （3）拓展延伸：如图③，将平行四边形 ABCD 纸片按所示折叠成完美矩形 EFGH，若 EF：EH＝3：4，AD＝20，求此完美矩形的周长为多少． 六、解答题（本大题12分） 23．（12分）如图 1，在平面直角坐标系中，直线 AB：y＝−x+4 与坐标轴交于 A，B 两点，点 C 为 AB 的中点，动点 P 从点 A 出发，沿 AO 方向以每秒 1 个单位的速度向终点 O 运动，同时动点 Q 从点 O 出发，以每秒 2 个单位的速度沿射线 OB 方向运动，当点 P 到达点 O 时，点 Q 也停止运动．以 CP，CQ 为邻边构造▱CPDQ，设点 P 运动的时间为 t 秒． （1）直接写出点 C 的坐标为______； （2）如图 2，过点 D 作 DG⊥y 轴于 G，过点 C 作 CH⊥x 轴于 H．证明：△PDG≌△CQH． （3）如图 3，连结 OC，当点 D 恰好落在△OBC 的边所在的直线上时，求所有满足要求的 t 的值． 南昌二中 2025—2026学年第二学期八年级数学学科期中阶段性学习质量检测 参考答案与评分标准 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 评分说明：每小题只有一个正确选项，答对得 3 分，不选、错选均不得分． 1．（3分）A． 【解答】解：当 x−2＞0 时，函数 y＝ 有意义，解得：x＞2，故选：A． 2．（3分）A． 【解答】解：根据题意得，点 A 与点 B 之间的距离是 ＝5（米），故选：A． 3．（3分）B． 【解答】解：A、直线 l₁：y＝−kx+b 中 k＜0，b＞0，l₂：y＝2kx−b 中 k＜0，b＜0，b 的取值相矛盾，故本选项不符合题意； B、直线 l₁：y＝−kx+b 中 k＜0，b＞0，l₂：y＝2kx−b 中 k＜0，b＞0，k，b 的取值一致，故本选项符合题意； C、直线 l₁：y＝−kx+b 中 k＞0，b＞0，l₂：y＝2kx−b 中 k＜0，b＞0，k 的取值相矛盾，故本选项不符合题意； D、直线 l₁：y＝−kx+b 中 k＞0，b＜0，l₂：y＝2kx−b 中 k＞0，b＞0，b 的取值矛盾，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（3分）D． 【分析】方案甲，连接 AC，由平行四边形的性质得 OB＝OD，OA＝OC，则 NO＝OM，得四边形 ANCM 为平行四边形，方案甲正确； 方案乙，证△ABN≌△CDM（AAS），得 AN＝CM，再由 AN∥CM，得四边形 ANCM 为平行四边形，方案乙正确； 方案丙，证△ABN≌△CDM（ASA），得 AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，则∠ANM＝∠CMN，证出 AN∥CM，得四边形 ANCM 为平行四边形，方案丙正确． 【解答】解：方案甲中，连接 AC，如图所示： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，O 为 BD 的中点，∴OB＝OD，OA＝OC． ∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四边形 ANCM 为平行四边形，故方案甲正确； 方案乙中，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM． ∵AN⊥BD，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD． 在△ABN 和△CDM 中，∵∠ABN＝∠CDM，∠ANB＝∠CMD，AB＝CD，∴△ABN≌△CDM（AAS），∴AN＝CM． 又∵AN∥CM，∴四边形 ANCM 为平行四边形，故方案乙正确； 方案丙中，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM． ∵AN 平分∠BAD，CM 平分∠BCD，∴∠BAN＝∠DCM． 在△ABN 和△CDM 中，∵∠ABN＝∠CDM，AB＝CD，∠BAN＝∠DCM，∴△ABN≌△CDM（ASA），∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD． ∴∠ANM＝∠CMN，∴AN∥CM，∴四边形 ANCM 为平行四边形，故方案丙正确．故选：D． 5．（3分）B． 【分析】先利用勾股定理求出 AC，再由平行四边形对角线互相平分得 OC＝AC＝2，接着在 Rt△OBC 中利用勾股定理求得 OB，最后由 BD＝2OB 即可得出． 【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，由勾股定理可得，AC＝＝4． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OC＝AC＝2，BD＝2OB． 由勾股定理可得，OB＝＝，∴BD＝2．故选：B． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据勾股定理得出 AC 解答． 6．（3分）B． 【分析】动点 D 速度为 1cm/s，运动时间为 x（s），所以运动路程为 x cm．拐点的纵坐标是 12，可判断此时点 D 运动到点 C 处，根据△ADE 的面积可得 AC 长，进而除以 可得 BC 的长． 【解答】解：∵动点 D 速度为 1cm/s，运动时间为 x s，∴运动路程为 x cm． ∵拐点的纵坐标是 12，∴此时点 D 运动到点 C 处，AD＝x cm，△ADE 的面积为 12 cm²． ∵DE⊥AB，∴∠CEA＝90°．∵∠A＝30°，∴CE＝，∴AE＝x． ∴×x·＝12．∴x＝4（取正值）．∴AC＝4． ∵∠ACB＝90°，∴BC＝AC÷＝4．故选：B． 【点评】本题考查动点问题的函数图象．关键是理解拐点纵坐标的意义及此时动点所在的位置．用到的知识点为：30° 的直角三角形三边比是 1：：2． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 评分说明：每小题 3 分，答对得 3 分，多填、少填、错填均不得分． 7．（3分）6． 【解答】解：∵令 x＝0，则 y＝6，∴a＝6．故答案为：6． 8．（3分）2.6． 【分析】如图，过 A 作 AD⊥BC 于 D，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图，过 A 作 AD⊥BC 于 D． ∵AB＝AC，∴BD＝BC＝（m）． 在 Rt△ABD 中，AD＝1.2，∴AB＝AC＝＝＝1.3（m）， ∴绳长为 1.3×2＝2.6（m）．故答案为：2.6． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 9．（3分）x＞2． 【解答】解：把 P（m，4）代入 y＝x+2，得 m+2＝4，解得 m＝2，则 P（2，4）， 因为当 x＞2 时，kx+b＜x+2，所以关于 x 的不等式 kx+b＜x+2 的解集为 x＞2． 故答案为：x＞2． 10．（3分）2． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴BC＝＝5． ∵四边形 ABCD 是菱形，其面积为 20，BC＝5，∴5×AE＝20，解得：AE＝4． ∴BE＝＝＝＝＝3． ∵BC＝5，BE＝3，∴EC＝BC−BE＝5−3＝2． ∴AC＝＝＝＝＝2． 则另一条对角线的长度为 ＝4＞2，故这个菱形较短对角线长为 2． 故答案为：2． 11．（3分）13.8． 【解答】解：如图，B 处为顶部扶手，A 处为底部扶手，其中 DC 为平台，由题意可得：BF＝12 米． 将 CA 向左平移使得点 C 与点 D 重合，此时点 A 与点 E 重合，则 AE＝CD＝0.8m，DE＝CA， 所以旋梯底部 A 到顶部 B 的扶手长度 BD+CD+AC＝BD+DE+AE＝BD+DE+0.8． 由两点之间线段最短可知，当 B、D、E 三点共线时，BD+DE 有最小值 BE，即此扶手长度有最小值． ∵油罐底面圆半径约为 米，高为 12 米，∴AF＝π×＝5.8 米． ∴EF＝AF−AE＝5.8−0.8＝5 米． 在 Rt△BFE 中，BE＝＝＝13 米． ∴13+0.8＝13.8（米），所以旋梯的扶手长度 l 的最小值为 13.8 米． 故答案为：13.8． 12．（3分）8−4 或 4 或 4． 【解答】解：连接 CP． ∵点 E 为 BC 的中点，点 F 为 BP 的中点，∴EF∥CP，且 EF＝CP． ∵四边形 ABCD 是矩形，AB＝4，BC＝8，∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，BE＝CE＝BC＝4，∠A＝∠D＝90°． 如图 1，△BEF 为等腰三角形，且 FE＝BE＝4，∴CP＝2EF＝8． ∴PD＝＝＝4，∴AP＝AD−PD＝8−4； 如图 2，△BEF 为等腰三角形，且 EF＝BF，连接 PE． ∵∠FEB＝∠PBC，∠FEB＝∠PCB，∴∠PBC＝∠PCB，∴PB＝PC，∴PE⊥BC． ∴∠PEB＝∠ABE＝∠A＝90°，∴四边形 ABEP 是矩形，∴AP＝BE＝4； 如图 3，△BEF 为等腰三角形，且 BF＝BE． ∵∠BFE＝∠BPC，∠BEF＝∠BCP，且∠BFE＝∠BEF，∴∠BPC＝∠BCP，∴BP＝BC＝8． ∴AP＝＝＝4． 综上所述，AP 的长为 8−4 或 4 或 4．故答案为：8−4 或 4 或 4． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）（1）b＝−1；（2）x＝2． 【解答】解：（1）将 x＝1，y＝3 代入 y＝2x−b，得 3＝2×1−b，解得 b＝−1，∴b＝−1； （2）由（1）得一次函数解析式为 y＝2x+1，将 y＝5 代入 y＝2x+1 中，得 5＝2x+1，解得 x＝2，所以 x 的值为 2． 【评分标准】第（1）问 3 分：正确代入得 3＝2×1−b（1 分），解出 b＝−1（2 分）；第（2）问 3 分：写出解析式 y＝2x+1（1 分），解出 x＝2（2 分）． 14．（6分）（1）AC＝2；（2）四边形 ABCD 的面积为 4+2． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2， 在 Rt△ABC 中，AC＝＝＝2； （2）∵AC²+CD²＝(2)²+2²＝24，AD²＝(2)²＝24，∴AC²+CD²＝AD²，∴△ACD 是直角三角形， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝BC·AB+CD·AC＝×2×4+×2×2＝4+2． 【评分标准】第（1）问 3 分：由勾股定理正确求出 AC＝2；第（2）问 3 分：判定△ACD 是直角三角形（1 分），正确求出面积 4+2（2 分）． 15．（6分）（1）证明见解析；（2）四边形 BECF 的周长为 2+2． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB＝180°． ∵∠ABC 的平分线 BE 和∠BCD 的平分线 CE 交于点 E， ∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD． ∵∠BEC+∠EBC+∠ECB＝180°，∴∠BEC＝180°−(∠EBC+∠ECB)＝90°． ∵四边形 BECF 是平行四边形，∴四边形 BECF 是矩形； （2）解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，AD＝2，∠D＝60°， ∴BC＝AD＝2，∠ABC＝∠D＝60°，∴∠CBE＝30°，∴CE＝BC＝1． 在直角三角形 BCE 中，由勾股定理得：BE＝＝． 由（1）得四边形 BECF 是矩形，∴四边形 BECF 的周长＝2(1+)＝2+2． 【评分标准】第（1）问 3 分：证出∠BEC＝90°（2 分），判定四边形 BECF 是矩形（1 分）；第（2）问 3 分：求出 CE＝1（1 分）、BE＝（1 分），求出周长 2+2（1 分）． 16．（6分）（1）y＝2x−1；（2）a 的值为 或 −． 【解答】解：（1）由题意得，a+b＝1，2a+b＝3，解得 a＝2，b＝−1，∴一次函数的表达式为 y＝2x−1； （2）代入点（1，1），得 a+b＝1，∴b＝1−a，∴一次函数的表达式为 y＝ax+1−a． ∴当 x＝−3 时，y＝−3a+1−a＝−4a+1；当 x＝4 时，y＝4a+1−a＝3a+1． 当 a＜0 时，y 随着 x 的增大而减小，则函数 y 在 x＝−3 取得最大值，在 x＝4 取得最小值， ∴−4a+1−(3a+1)＝6，解得 a＝−； 当 a＞0 时，y 随着 x 的增大而增大，则函数 y 在 x＝4 取得最大值，在 x＝−3 取得最小值， ∴3a+1−(−4a+1)＝6，解得 a＝． ∴综上，a 的值为 或 −． 【评分标准】第（1）问 3 分：列出方程组并求出表达式 y＝2x−1；第（2）问 3 分：分 a＜0 与 a＞0 两种情况讨论，每种情况 1.5 分；只求出一种情况的得 2 分． 17．（6分）（1）直线 AC 即为所求；（2）直线 FG 即为所求． 【解答】解：（1）∵函数 y＝0.25x+0.5， ∴当 x＝2 时，y＝0.25×2+0.5＝1；当 x＝−2 时，y＝0.25×(−2)+0.5＝0， ∴点 A（2，1），点 C（−2，0）在函数 y＝0.25x+0.5 的图象上． ∴如图（1）：直线 AC 即为所求． （2）∵函数 y＝0.25x+0.5，∴E（0，0.5），C（−2，0）， ∴将（1）中所作图象向上平移 0.5 个单位长度后的函数图象过（0，1），（−2，0.5）． ∵如图（2）：B（−2，1），A（2，1），∴G（0，1），即 GE＝OE． 如图（2）：连接 CG、BO，由矩形的性质可得 AB∥CD，BH＝HO． ∵GE＝OE，∴HE∥BG∥CO，即 F（−2，0.5）．∴如图（2）：直线 FG 即为所求． 【点评】本题考查作图—复杂作图，一次函数图象与几何变换，一次函数的图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【评分标准】第（1）问 3 分：正确作出直线 AC 并保留作图痕迹；第（2）问 3 分：正确作出直线 FG 并保留作图痕迹．作图痕迹不完整酌情扣分． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．（8分）（1）y＝−x+8；（2）m＝2． 【解答】解：（1）由条件可知 6k+8＝2，∴k＝−1，∴直线 l 的解析式为 y＝−x+8； （2）如图，过点 B 作 BM⊥OE 于点 M，过点 C 作 CN⊥OF 于点 N，则∠AMB＝90°，∠CND＝90°， ∴∠ABM+∠BAM＝90°．在正方形 ABCD 中，∠BAD＝90°，AB＝DA，∴∠DAO+∠BAM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM． ∴△DAO≌△ABM（AAS），∴OA＝BM，OD＝AM． ∴BM＝2，OM＝6，∴OA＝2，∴AM＝4，∴OD＝4． 同理可得△CDN≌△DAO（AAS），∴DN＝OA＝2，CN＝DO＝4，∴ON＝OD+DN＝6，∴C（4，6）． ∴平移后点 C（4，6−m），∴6−m＝−1×4+8，解得 m＝2． 【评分标准】第（1）问 3 分：求出直线 l 的解析式 y＝−x+8；第（2）问 5 分：求出点 C 的坐标（4，6）（3 分），求出 m＝2（2 分）． 19．（8分）（1）A 配件的进货单价是 250 元，B 配件的进货单价是 60 元；（2）购进 A 配件 100 件，B 配件 200 件时利润最大，最大利润是 11000 元． 【分析】（1）设 A 配件的进货单价是 x 元，B 配件的进货单价是 y 元，根据购进 40 件 A 配件和 100 件 B 配件需支出成本 16000 元；购进 30 件 A 配件和 30 件 B 配件需支出成本 9300 元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进 m 件 A 配件，则购进（300−m）件 B 配件，根据 B 配件进货件数不低于 A 配件件数的 2 倍，列出一元一次不等式，解得 m≤100，再设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为 w 元，由题意列出 w 关于 m 的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）设 A 配件的进货单价是 x 元，B 配件的进货单价是 y 元， 根据题意得：40x+100y＝16000，30x+30y＝9300，解得：x＝250，y＝60． 答：A 配件的进货单价是 250 元，B 配件的进货单价是 60 元； （2）设购进 m 件 A 配件，则购进（300−m）件 B 配件， 根据题意得：300−m≥2m，解得：m≤100． 设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为 w 元， 根据题意得：w＝250×20%m+60×(1.5−1)(300−m)＝20m+9000． ∵20＞0，∴w 随 m 的增大而增大， ∴当 m＝100 时，w 取得最大值，最大值为 20×100+9000＝11000，此时 300−m＝200． 答：购进 A 配件 100 件，B 配件 200 件时，才能让本次销售的利润达到最大，最大利润是 11000 元． 【评分标准】第（1）问 3 分：正确列出方程组（1 分），求出 A、B 两种配件的进货单价分别为 250 元、60 元（2 分）；第（2）问 5 分：由 300−m≥2m 解得 m≤100（2 分），列出 w＝20m+9000（2 分），由一次函数性质求出最大利润 11000 元（1 分）． 20．（8分）（1）证明见解析；（2）AB、DF、AC． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE． ∵E 是线段 AD 的中点，∴AE＝DE． 在△AFE 和△DBE 中，∵∠AFE＝∠DBE，∠FEA＝∠BED，AE＝DE，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF＝DB． ∵AD 是△ABC 的中线，∴DB＝CD，∴AF＝CD，∴四边形 AFCD 是平行四边形； （2）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°． ∵∠ABC＝45°，∴∠DAB＝45°＝∠ABC，∴AD＝BD，∴AB＝＝BD． 又∵AF＝BD，∴AB＝AF． 由（1）可知，四边形 AFCD 是平行四边形，∵∠ADC＝90°，∴平行四边形 AFCD 是矩形， ∴AC＝DF，∠FAD＝90°．又∵AD＝BD，∴AF＝AD，∴DF＝＝AF，∴AC＝AF． 综上所述，图 2 中长度为 AF 的 倍的线段为 AB、DF、AC． 【评分标准】第（1）问 4 分：证出△AFE≌△DBE（2 分），得出 AF＝CD（1 分），判定四边形 AFCD 是平行四边形（1 分）；第（2）问 4 分：写出 AB、DF、AC，每写对一条得 1 分，理由正确得 1 分． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．（9分）（1）4；2；−2；（2）见解析；（3）当 x≥0 时，一次函数 y 随 x 的增大而增大；（4）m≥−2． 【解答】解：（1）当输入 x＝−4，输出 y＝−1 满足反比例函数解析式，∴a＝−4×(−1)＝4． 当输入 x＝，输出 y＝−1；输入 x＝，输出 y＝1 满足一次函数解析式， ∴k+b＝−1，k+b＝1，解得 k＝2，b＝−2．故答案为：4；2；−2． （2）由（1）可知，一次函数解析式为 y＝2x−2，函数图象如下： （3）当 x≥0 时，一次函数 y 随 x 的增大而增大． 故答案为：当 x≥0 时，一次函数 y 随 x 的增大而增大． （4）根据函数图象，关于 x 的方程 kx+b＝−x+m（x≥0）有解，m 的取值范围为 m≥−2． 故答案为：m≥−2． 【评分标准】第（1）问 3 分：a＝4、k＝2、b＝−2，每空 1 分；第（2）问 2 分：正确画出 x≥0 时的函数图象；第（3）问 2 分：写出的性质合理即可；第（4）问 2 分：得出 m≥−2． 22．（9分）（1）3，6；（2）16；（3）56． 【解答】解：（1）由折叠可知：BF＝DF，CG＝DG，AH＝DH＝CH， ∴FG＝DF+DG＝BF+CG＝BC＝3，点 H 是 AC 中点． 过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，AM 交 EH 于点 N，如图①： ∵S△ABC＝BC×AM＝×6×AM＝12，∴AM＝4． ∴由折叠可知：MN＝AN＝2，∴EF＝HG＝MN＝2． ∴完美矩形的面积为：FG×EF＝3×2＝6； （2）由折叠可得：BE＝HE，CF＝HF，S△ABE＝S△AHE，S四边形AHFG＝S四边形DCFG， ∴EF＝BC＝×6＝3． ∴S矩形AEFG＝S平行四边形ABCD＝×30＝15，∴AE＝S矩形AEFG÷EF＝15÷3＝5． ∴矩形的周长＝2×(5+3)＝16； （3）连接 EG，如图③： 由折叠可得：点 E 和 G 分别是 AB 和 CD 的中点，∴AE＝DG，AE∥DG，∴四边形 AEGD 是平行四边形， ∴AD＝EG＝HF． ∵EF：EH＝3：4，∴设 EF＝3x，则 EH＝4x． ∵在 Rt△HEF 中，EF²+EH²＝FH²，∴(3x)²+(4x)²＝20²，解得：x＝4． ∴EF＝12，EH＝16，∴矩形的周长＝2(12+16)＝56． 【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键． 【评分标准】第（1）问 3 分：FG＝3（2 分），面积 6（1 分）；第（2）问 3 分：求出周长 16；第（3）问 3 分：设元并求出 EF＝12、EH＝16（2 分），得出周长 56（1 分）． 六、解答题（本大题12分） 23．（12分）（1）（，2）；（2）证明见解析；（3）t＝2 或 或 ． 【解答】（1）解：∵直线 AB：y＝−x+4 与坐标轴交于 A，B 两点， 当 x＝0 时，y＝4，当 y＝0 时，x＝3，∴点 A 的坐标是（0，4），点 B 的坐标是（3，0）． ∵点 C 为 AB 的中点，∴点 C（，2）．故答案为：（，2）． （2）证明：∵四边形 PCQD 是平行四边形，∴CQ＝PD，PD∥CQ，∴∠QCP+∠DPC＝180°． ∵AO∥CH，∴∠OPC+∠PCH＝180°，∴∠GPD＝∠HCQ． 又∵∠PGD＝∠CHQ＝90°，∴△PDG≌△CQH（AAS）； （3）解：∵△PDG≌△CQH（AAS），∴DG＝HQ，PG＝CH． ∵点 C（，2），点 P（0，4−t），点 Q（2t，0）， ∴CH＝PG＝2，HQ＝DG＝2t−，∴GO＝4−t−2＝2−t，∴点 D（2t−，2−t）． 当点 D 落在直线 OB 上时，则 2−t＝0，即 t＝2； 当点 D 落在直线 OC 上时，∵点 C（，2），∴直线 OC 解析式为：y＝x， ∴2−t＝(2t−)，∴t＝； 当点 D 落在 AB 上时，∵四边形 PCQD 是平行四边形，∴CD 与 PQ 互相平分， ∴线段 PQ 的中点（t，）在 CD 上，∴＝−t+4，∴t＝． 综上所述：t＝2 或 或 ． 【评分标准】第（1）问 2 分：写出点 C 的坐标（，2）；第（2）问 4 分：证出∠GPD＝∠HCQ（2 分），结合∠PGD＝∠CHQ＝90°、PD＝CQ 证得全等（2 分）；第（3）问 6 分：点 D 落在 OB、OC、AB 三种情况各 2 分，只求出部分情况按对应分值给分． 学科网（北京）股份有限公司 $