精品解析：江西吉安县城北第二中学2025-2026学年第二学期八年级数学期中试卷

2025－2026学年度（下） 八年级数学练习卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 2. 在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点的平移规律，平移规则为：向左平移横坐标减小，向上平移纵坐标增加，按照规则计算即可得到点B的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集；根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1求得解集，进而将解集表示在数轴上，即可求解． 【详解】解：， ， ， 则， 在数轴上表示，如图， 故选：B． 4. 某商场推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价为150元，标价为250元．现准备打折销售这种商品，且利润率不得低于，则根据题意可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先明确打折的含义和销售问题中的等量关系以及不等关系列出不等式即可． 【详解】解：∵商品打折销售，标价为元， ∴实际售价为元． ∵利润售价-进价，商品进价为元， ∴利润为元． ∵利润率不得低于，利润率， ∴利润不得低于． ∴可列不等式为 ，即B选项符合题意． 5. 如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到，，结合，证明，得到，结合，可得，即得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 6. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图步骤可知是的角平分线，过点作于，利用角平分线的性质可得，再利用勾股定理求出的长，最后通过面积法建立方程求解的长，进而求出． 【详解】解：由作图步骤可知，平分 ，过点作于  ，平分，    在中，，      ， 即  ∴  ∴  ∴  二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一个等腰三角形，顶角是．它的底角是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理列式计算即可． 【详解】解：由三角形的内角和为以及等腰三角形的两个底角相等，可得该三角形的底角为：． 8. 已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和定理．根据已知，求这个多边形的一个内角的邻补角，即可得这个多边形的一个外角的度数，结合多边形的外角和，即可得这个多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的一个内角为， ∴其一个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴这个多边形的边数为． 故答案为：． 9. 一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象即可确定不等式的解集． 【详解】解：由图可知，一次函数和的图象的交点横坐标为， 关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 10. 如图，在直角坐标系中，点绕着点顺时针旋转得到点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系坐标与图形变化一旋转、全等三角形的判定与性质． 过点作轴的平行线， 过点作直线于点， 过点作直线于点， 由题意可得， 证明， 则， 进而可得答案． 【详解】过点作轴的平行线， 过 点作直线于点，过点作直线于点， ， 由题意得，， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 故答案为： 11. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为______________________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组的解集列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：解不等式 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得； 解不等式得， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 12. 如图，中，，，，平分，动点M从点A出发，以每秒的速度沿边匀速运动，连接，当是以为腰的等腰三角形时，点M的运动时间为_____秒． 【答案】或4或6 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形与等腰三角形，勾股定理的知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．过点D作于点N，根据角平分线的性质得出，通过，，，证明，利用勾股定理求出因为是以为腰的等腰三角形，动点M的速度是每秒，设点M的运动时间为，然后分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：过点D作于点N， 由题意得：中， 根据勾股定理可得： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 设则 ∴， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ∴ ∵是以为腰的等腰三角形，动点M的速度是每秒 设点M的运动时间为， 如图1所示，当时，， 解得：； 当时，分两种情况： 当M在边上运动时，如图2所示： 由题意可知： ∵， ∴ ∵ ∴ 此时； 当M在边上运动时，如图3所示： 此时 ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：， 综上所述：点M的运动时间为或4或6秒． 故答案为：或4或6． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解答下列问题： （1）解不等式：． （2）如图，将沿的方向平移得到，若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤进行即可； （2）利用平移的性质求得，再由三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得； 【小问2详解】 解：由平移得， 在中，． 14. 如图，点在直线上，平分，平分． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：平分，平分， ， （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，进而根据平角的定义，即可得出，即可得证； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 15. 在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）若点在第二象限，求的取值范围． （2）若将点向下平移6个单位得到点，此时两点关于轴对称，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）第二象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列出一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围． （2）根据平移规则写出点坐标，再利用关于轴对称的点的坐标特征列方程求出，回代算出点坐标． 【小问1详解】 解：点在第二象限， ， 解得， 解得， ； 【小问2详解】 解：点向下平移个单位得到点，点的坐标为， ，即， ，关于轴对称，点的坐标为， ， 解得， 把代入得 ，， ∴点的坐标为． 16. 如图，的网格中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在下图中，画出的平分线； （2）在下图中，在线段上取点E，使． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）由图可知，根据三线合一，先找到的中点，连接即可； （2）由（1）知，先在线段上找到距离到点为3的点，过该点做的平行线，交于点，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，和均为等腰直角三角形，，在上． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角的余角相等证明角相等，再结合等腰直角三角形的边相等，根据证明全等； （2）由全等三角形可得，进而证明为直角，再用含角的直角三角形性质求长． 【小问1详解】 解：， ，， ， 和均为等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 四、本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的不等式组 （1）当时，求这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来； （2）如果不等式组只有3个整数解，求的取值范围． 【答案】（1）， 在数轴上表示如下： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，能求出关于a的不等式或不等式组的解集是解题的关键． （1）先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，根据不等式组只有3个整数解得出，求出a的范围即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式①，得， 当时， 解不等式，得， ∴不等式组的解集是； 【小问2详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组只有3个整数解， ∴该不等式组的3个整数解为2,1,0 ∴， 即． 19. 如图，在四边形中，，点、分别是边、上一点，连接、、．过点作于点，已知平分、，． （1）若，求的长度； （2）求证：点在的垂直平分线上． 【答案】（1） （2） 证明：连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【解析】 【分析】（1）证明，可得，即可求解； （2）连接，由（1）知，，易得，根据，求出，再根据，，推出，进而得到，结合，证明，推出，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： （1）的面积为___________； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到，作出，并写出坐标； （3）在轴上求作一点，使值最小（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1） （2） 如图所示： 坐标为 （3） 如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据割补法得出三角形的面积即可； （2）根据旋转方式和旋转角度结合网格的特点找到A、B、C对应点、、的位置，描出，并顺次连接、、即可； （3）作出点C关于x轴对称的点，连接，此时交x轴于点P，连接，此时点P即为所作；根据对称性和两点之间线段最短即可得到的值最小． 【小问1详解】 解：由图可得，的面积． 【小问2详解】 解：由图可得，坐标为； 【小问3详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）求的值； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点在轴上，且满足，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出值即可； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集即可； （3）先求出，继而，设点坐标为，则，建立方程求出值，即可得到点坐标． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式、三角形的面积，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴点的坐标为， 将，，代入得：， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当一次函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围为， ∴等式的解集为； 【小问3详解】 解：由（1）可知，一次函数解析式为， 在中，当时，， ， ∴， ∴， ， 设点坐标为，则， ， ， 解得：或， 或． 22. 某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣．购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元． （1）求每台甲型、乙型机器人各多少万元． （2）甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元 （2）购买甲型机器人3台．乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元 【解析】 【分析】（1）设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元，列方程组求解即可； （2）设购买甲型机器人a台，则设购买乙型机器人台，根据购买甲、乙两种型号的机器人共10台，且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，列不等式组求出a的取值范围，再设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，根据总费用=每台甲型机器人价格乘以购买的甲型机器人数量+乙型机器人价格乘以购买的乙型机器人数量，列出函数关系式，再根据一次函数性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，根据题意得 ， 解得：， 答：每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元． 【小问2详解】 解：设购买甲型机器人a台，则购买乙型机器人台，根据题意得 ， 解得：， 设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，则 ， ∵ ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w最小，最小值 ， ， ∴购买甲型机器人3台．乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元． 【点睛】解答本题的关键是明确题意，列出二元一次方程组，一元一次不等式组与一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 六、（木大题共12分） 23. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，求的长． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，可得 ，推出，三边之间的数量关系是 ，即可求得 ； （2）【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由； （3）如图③，在中，，点为内一点，连接，且，求的值． 【答案】（1） （2）解：理由如下：如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， 则，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理即可完成； （2）由旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理即可完成说理； （3）分别将绕点A逆时针旋转，得到，利用等边三角形的判定与性质、含30度角直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， ∴； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由勾股定理得， 分别将绕点A逆时针旋转，得到，如图， 则，，， ∴均是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点共线， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度（下） 八年级数学练习卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 4. 某商场推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价为150元，标价为250元．现准备打折销售这种商品，且利润率不得低于，则根据题意可列不等式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一个等腰三角形，顶角是．它的底角是________． 8. 已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ___________． 9. 一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是______． 10. 如图，在直角坐标系中，点绕着点顺时针旋转得到点，则点的坐标为________． 11. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为______________________． 12. 如图，中，，，，平分，动点M从点A出发，以每秒的速度沿边匀速运动，连接，当是以为腰的等腰三角形时，点M的运动时间为_____秒． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解答下列问题： （1）解不等式：． （2）如图，将沿的方向平移得到，若，求的度数． 14. 如图，点在直线上，平分，平分． （1）求证：； （2）若，求证：． 15. 在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）若点在第二象限，求的取值范围． （2）若将点向下平移6个单位得到点，此时两点关于轴对称，求点的坐标． 16. 如图，的网格中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在下图中，画出的平分线； （2）在下图中，在线段上取点E，使． 17. 如图，和均为等腰直角三角形，，在上． （1）求证：； （2）若，，求的长． 四、本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的不等式组 （1）当时，求这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来； （2）如果不等式组只有3个整数解，求的取值范围． 19. 如图，在四边形中，，点、分别是边、上一点，连接、、．过点作于点，已知平分、，． （1）若，求的长度； （2）求证：点在的垂直平分线上． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： （1）的面积为___________； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到，作出，并写出坐标； （3）在轴上求作一点，使值最小（保留作图痕迹，不写作法）． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）求的值； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点在轴上，且满足，求点的坐标． 22. 某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣．购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元． （1）求每台甲型、乙型机器人各多少万元． （2）甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 六、（木大题共12分） 23. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，求的长． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，可得 ，推出，三边之间的数量关系是 ，即可求得 ； （2）【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由； （3）如图③，在中，，点为内一点，连接，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $