精品解析：湖南省长沙市第一中学2026-2027学年高二上学期10月校内检测数学试题

2026年下学期高二10月校内检测 数 学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程得出斜率，根据斜率和倾斜角的关系可得答案. 【详解】因为直线的方程为，故直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，又，即. 2. 已知，若，则实数的值为（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】 ，即：， ， ， ∴， 解得. 3. 如图，正方体中，直线和所成角的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连结，，则，是异面直线与所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线与所成角的大小． 【详解】解：连结，， 在正方体中，且，所以四边形为平行四边形， ，是异面直线与所成角（或所成角的补角）， ， ， 异面直线与所成角的大小是． 故选：C． 4. 在四面体中，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 是的中点，故， 故． 5. 已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线之间的距离的定义，结合图形分析可知平行直线，间的距离的最大值为. 【详解】如图，平行直线，间的距离是直线上的点与直线上的点之间的距离的最小值， 所以当直线，与直线垂直时，平行直线，间的距离最大，即， . 所以这两条直线之间的距离的最大值为. 6. 如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，利用向量运算得，利用数量积的运算律，根据即可求得的长. 【详解】因为，所以. 所以， 所以，即的长为． 故选：A 7. 现有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，甲队胜2场且乙队胜2场的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据甲队胜2场分3种情况，甲胜乙丙，甲胜乙丁，甲胜丙丁，讨论求解. 【详解】甲队胜2场且乙队胜2场，分下面3种情况： 若甲胜乙丙，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜乙丁，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜丙丁，乙胜丙丁，甲平乙或甲胜丙丁，乙胜甲丙或甲胜丙丁，乙胜甲丁， 其概率为， 所以甲队胜2场且乙队胜2场的概率为. 故选：C. 8. 设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数；②若、、均是增函数，则、、均是增函数，下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】C 【解析】 【分析】命题①：令可以求解出、、判断；命题②举反例即可. 【详解】对于命题①：令,则， 由于、、均是以为周期的函数， 即，，， 所以， 所以函数是周期为的周期函数，同理可知、均是以为周期的函数，所以命题①为真命题； 对于命题②，设，，， 则，，均为增函数， 而、、不全是增函数，故命题②为假命题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条直线的方程分别为与，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则两条平行直线之间的距离为 C. 直线过定点 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由两直线平行的斜率关系可得A正确；利用平行直线之间的距离公式计算可得B错误，将代入直线方程可求得定点，即可判断C；由垂直关系的斜率表示可得D错误. 【详解】∵，， 选项A：若，则，解得， 此时，，显然平行，故A正确； 选项B：由A知，若，则 ， 此时，即，， ∴两条平行直线之间的距离为，故B错误； 选项C：，令，， 直线恒过定点，故C正确； 选项D：若 ，则，∴，故D错误. 10. 已知是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】AB 【解析】 【分析】A、B选项，通过向量线性运算检验是否存在非零线性组合为零向量进行判断；C、D选项，都满足线性关系式，可得共面. 【详解】由题知不共面. 对于A，假设存在实数，使得，即，则， 即不共面，可以构成空间的一个基底，故A正确； 对于B，假设存在实数，使得，即，则， 即不共面，可以构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，因为，所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，因为，所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 11. 在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为，动点到直线的距离为．若二面角为，则（ ） A. B. C. 当时，平面 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】设分别为在直线上的垂足，设的单位向量为，记，从而得到，且，求出，，，选项A，由的范围得到的范围，从而得到结论；选项B，求出，结合向量的垂直公式得到结论；选项C，由得到，从而求出，计算，得到故，即，结合线面垂直的判定定理得到结论；选项D ，设直线与的夹角为，利用向量的数量积公式求出，求出，结合已知条件得到，从而得到结论. 【详解】设分别为在直线上的垂足，设方向的单位向量为， 并记， 由题意，，且， 则， 因为， 所以， 选项A，因为，所以， 当且仅当时取等号，则选项A正确. 选项B，因为， 所以不一定有，则选项B错误. 选项C，当时，必有，从而， 又，故； 即，直线是平面内两条相交直线， 所以平面，则选项C正确. 选项D ，设直线与的夹角为， 因为， 所以，， 因为，， 所以， 则， 因为，所以，解得，则选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为点和点关于轴对称，所以. 13. 在空间直角坐标系中，已知点，，，点在线段上运动，当取得最小值时，点的坐标为______，此时点到线段的中点的距离为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据点M在线段OA上运动设出点M的坐标，再求出与的坐标，进而求得关于参数的表达式，根据二次函数性质求出最小值时参数的值，得到点M的坐标；最后求出线段BC的中点坐标，利用两点间距离公式求出点M到线段BC的中点的距离. 【详解】设点，因为点M在线段OA上运动，所以， 因为点，，， 设，则点， 所以，， 则， 当时， 取得最小值为，此时点M的坐标为． 因为点，， 所以线段BC的中点的坐标为， 所以点M到线段BC的中点的距离为. 14. 两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【答案】且 【解析】 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解. 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点． （1）若直线不经过原点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若直线与平行，求直线的方程，并求与之间的距离． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题目设的方程为，将点代入求出，即可得到直线方程. （2）根据两直线平行设方程为，将点代入求出，即可得到直线方程， 利用平行线间的距离公式即可求出与之间的距离. 【小问1详解】 由直线不过原点，设直线的方程为， 则有，解得，即直线的方程为. 【小问2详解】 因为直线与平行， 所以设直线方程为， 又直线经过点，所以，所以， 所以直线的方程为 与之间的距离为. 16. 设的内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，，且 ，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形的内角和公式，可求得角； （2）首先明确点的位置，利用向量法表示，结合余弦定理，可求得的值，再利用三角形的面积公式求面积即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 所以且在中， 所以， 且，所以， 从而，且，所以. 【小问2详解】 由（1）知，又， 由余弦定理可得， 因为，所以为中点，所以， 两边平方可得， 结合解得， 从而的面积为. 17. 如图，在四棱锥 中，底面，四边形为平行四边形，E为侧棱上动点(不含点 D，P). . （1）若 E 为 中点，证明平面; （2）若平面与平面夹角的余弦值为 求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）如图，连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，且点F、E分别为和中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）利用空间向量，根据平面与平面夹角的余弦值可确定点的位置，再求直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可得在底面中，， 由余弦定理， 所以， 于是，所以， 以点A为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 取平面的法向量为 设平面的法向量为，则， 因为， 所以 令，得到， 又因为平面与平面夹角的余弦值为 ， 所以， 化简得到， 又因为，所以， 所以， 设与平面所成角为，， 则. 18. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1）如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，依据线面平行判定定理完成证明； （2）利用等体积转化由体积比确定点的位置，通过勾股定理证线线垂直，推证线面垂直，进而证面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，设出动点坐标，求解平面法向量，得到二面角的余弦表达式，结合三角函数有界性求出二面角余弦的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值为． 19. 已知对于定义在集合上的三个函数 设为集合的一个无重复数字的排列即将排成一列，如等，共有6种情况).若对任意，都同时满足 且 ，则称排列是关于这三个函数的一个“排列”.记使得该条件成立的排列的个数为. （1）若，判断与是否为排列，并说明理由； （2）设 其中且. （i）若，讨论的值; （ii）求正实数的取值范围，满足当区间时，存在，使得. 【答案】（1）是排列,不是排列 （2）（i）当时，；当时，； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据“排列”定义逐个分析即可； （2）先在一般区间上分别判断两两之间恒成立的大小关系，再逐个判断个排列成立的条件.（i）取计数；（ii）令，根据反推与的关系. 【小问1详解】 根据定义可知： 若对任意，都同时满足 且 ， 则称排列是关于这三个函数的一个“排列”. 对于，则，，故； ， 故，所以是排列; 对于，则， ， 当时，， 故不是排列. 【小问2详解】 （i）设一般区间为，其中 在上： 不可能对整个恒成立， 因为可取充分小的使，此时； 不可能对整个恒成立，因为当时，； 又因为且，所以 结合排列的等价条件“且”， 六个排列的成立条件分别为： 当时，，因此除外，其余排列均不成立. 若且，则不成立，所以； 若，则成立，所以 （ii）令 若，由上面的条件可知，最多只有排列成立，因此不可能有 若： 当时，成立的排列恰为与，所以； 当时，与一定成立，而成立当且仅当 因此 存在这样的，当且仅当 例如可取此时 所以正实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期高二10月校内检测 数 学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若，则实数的值为（ ） A. -2 B. C. D. 2 3. 如图，正方体中，直线和所成角的大小为（　　） A. B. C. D. 4. 在四面体中，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A. B. 5 C. D. 7. 现有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，甲队胜2场且乙队胜2场的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数；②若、、均是增函数，则、、均是增函数，下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条直线的方程分别为与，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则两条平行直线之间的距离为 C. 直线过定点 D. 若，则 10. 已知是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为，动点到直线的距离为．若二面角为，则（ ） A. B. C. 当时，平面 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标为________． 13. 在空间直角坐标系中，已知点，，，点在线段上运动，当取得最小值时，点的坐标为______，此时点到线段的中点的距离为______． 14. 两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点． （1）若直线不经过原点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若直线与平行，求直线的方程，并求与之间的距离． 16. 设的内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，，且 ，求的面积. 17. 如图，在四棱锥 中，底面，四边形为平行四边形，E为侧棱上动点(不含点 D，P). . （1）若 E 为 中点，证明平面; （2）若平面与平面夹角的余弦值为 求与平面所成角的正弦值. 18. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值． 19. 已知对于定义在集合上的三个函数 设为集合的一个无重复数字的排列即将排成一列，如等，共有6种情况).若对任意，都同时满足 且 ，则称排列是关于这三个函数的一个“排列”.记使得该条件成立的排列的个数为. （1）若，判断与是否为排列，并说明理由； （2）设 其中且. （i）若，讨论的值; （ii）求正实数的取值范围，满足当区间时，存在，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $