湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

湖南师大附中2025—2026学年度高二第一学期第二次大练习 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 函数的极大值点为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 直线：被圆：截得的弦为，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 若为等差数列，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 在中，角，，的对边分别为，，，，则下列选项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知斜率为的直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于点，，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 8. 设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比记为q，是其前n项的积，若则（ ） A. B. C. D. 与均为的最小值 10. 设抛物线：的焦点为，准线为，点是抛物线上的一个点，圆以焦点为圆心，半径，点为抛物线上不与点重合的动点，过点作的垂线，垂足为，则（ ） A. 准线的方程为 B. 抛物线与圆有且仅有两个交点 C. 满足的点有且仅有一个 D. 当时，为等边三角形 11. 如图，在棱长为3的正方体中，点在平面内，且，点满足，则以下结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 动点的轨迹长度为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是第一象限角，，则________． 13. 已知曲线，则曲线过点的切线方程为________． 14. 如果数列对任意的，都有，则称数列为“快速增长数列”．若数列为“快速增长数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，判断函数的单调性； （2）若函数的最小值为0，求实数的值． 16. 如图所示，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）点在棱上，当二面角的余弦值为时，求的长． 17. 已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； （3）记，，证明：． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 19. 已知函数的定义域为，且，的导函数，直线为点处的切线． （1）求证：存在唯一的极小值点； （2）求证：当时，除点外，曲线均在的上方； （3）若，直线过点且与垂直，，分别与轴交于点，，求的值（取整函数表示不超过的最大整数，如）． 湖南师大附中2025—2026学年度高二第一学期第二次大练习 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】和 【14题答案】 【答案】63 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）在上单调递减；在上单调递增． （2） 【16题答案】 【答案】（1）    以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则, , 则 且不在一条直线上，所以，， 所以四边形是平行四边形. （2）或 【17题答案】 【答案】（1） （2）， （3） ，即， 由， 于是 . 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【19题答案】 【答案】（1） 令函数，则， 令，则，则在上单调递增， ∵，， 故函数存在唯一的零点， 即当时，，即，∴函数单调递减， 当时，，即，∴函数单调递增， ∴函数存在唯一的极小值点 （2） 当时，，当时，， 由题意可设切线，即 构造函数，且 则， ∵，∴， ∴当，，即函数在单调递增， 当，，即函数在单调递减， 当时，，∴，即函数在单调递减， ∵导数为连续函数，∴为连续函数，∴为连续函数， ∴函数存在极小值，即， ∴当时，除点外，曲线均在的上方. （3）0 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $