精品解析：河南郑州市枫杨外国语中学等校2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试卷

2026—2027学年上期九年级数学课后练习一 时间：100分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，每题3分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是一元二次方程； B．是一元一次方程； C．含2个未知数，不是一元二次方程； D．是一元一次方程； 故选：A． 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将移项配方即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 3. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程求得的候选值，再结合一元二次方程二次项系数不为的条件排除不符合的解． 【详解】解：∵ 方程是一元二次方程， ∴ ，即， ∵ 是方程的根， ∴ 将代入方程得， 解得或， 又∵ ， ∴ ． 4. 解一元二次方程最适宜的方法是（ ） A. 直接开平方 B. 公式法 C. 因式分解法 D. 配方法 【答案】C 【解析】 【分析】方程两边都有因式（x-1），因此最适宜采用因式分解法解方程. 【详解】在一元二次方程的等号两边都有因式（x-1）， ∴最适宜用因式分解法解此方程，即提取公因式（x-1）. 故选：C. 【点睛】此题考查解一元二次方程的方法选用，在解一元二次方程时，根据方程的特点选择适合的方法来解方程是解题的关键. 5. 如图，矩形∽矩形，已知，，，则FG的长为（ ） A. 8cm B. cm C. cm D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质得，进行计算即可得． 【详解】解：∵矩形∽矩形， ∴， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 6. 如果、满足，那么下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设参数法是解题的关键． 设，，代入各项逐一验证即可． 【详解】解：设，， A、，只有当时，才成立，但可以是任意非零数， ∴A错误，故该选项不符合题意； B、，，， ∴B错误，故该选项不符合题意； C、， ∴C正确，故该选项符合题意； D、当时，， ∴D错误，故该选项不符合题意． 故选：C． 7. 若，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例，解题的关键是掌握比例的性质． 由题设条件可得三个方程，通过联立方程并分情况讨论a + b + c是否为0，得出k的可能值． 【详解】 将三式相加，得： 情况1：若，两边约去，得： 情况2：若，则，代入第一个方程得： 若，则， 同理，代入其他方程可得 此时分母（因），故成立， 综上，的值为或， 故选：D． 8. 如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列添加的条件错误的是（ ） A. ①表示有一个角是直角 B. ②表示有一组邻边相等 C. ③表示一组对边相等 D. ④表示有一个角是直角 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；不符合题意； C、一组邻边相等的矩形是正方形，一组对边相等的矩形不能得到正方形，原说法不正确，符合题意； D、有一个角为直角的菱形是正方形，正确，不符合题意． 9. 将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的，点D是边上一点，沿线段剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质易得∠BAC=45°，然后由正多边形的性质可进行排除选项． 【详解】解：由题意得：∠BAC=45°， ∴沿线段BD剪开，展开图即为八边形， 若使展开后得到的是一个正八边形，则需满足以点A为圆心，AD、AB为半径即可， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查正多边形和圆、正方形的性质及折叠的性质，熟练掌握正多边形和圆、正方形的性质及折叠的性质是解题的关键． 10. 已知：点 E、F、G、H分别为四边形四条边中点，顺次连接得到四边形．有下列说法： ①四边形是平行四边形； ②当四边形为平行四边形时，四边形是菱形； ③当四边形为矩形时，四边形是菱形； ④当时，四边形是矩形； ⑤若四边形是正方形，则四边形一定是正方形．其中正确的是（　　） A. ①③④ B. ①②⑤ C. ①③④⑤ D. ②④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线的性质，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解本题的关键是判断四边形是平行四边形．连接，利用中位线的性质得到，可判断①；再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断②和③；利用中位线的性质得到，，，结合可得，可判断④；根据正方形的性质得到，但不能判定四边形是正方形，可判断⑤． 【详解】解：如图所示，连接， ∵E、H分别为中点， ∴， 同理，， ∴， ∴四边形是平行四边形，故①正确； 当四边形是矩形时，则， ∴， ∴平行四边形是菱形， 而当四边形是平行四边形时，不能得出，故②错误，③正确； 当时， ∵E、F、H分别为中点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形，故④正确； ∵，四边形是正方形， ∴， ∴， 不能说明四边形是正方形，故⑤错误； 故选A． 二．填空题（共5小题，每题3分） 11. 已知三条线段的长分别为、、，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则这条线段的长可以为__________．（填一个即可） 【答案】答案不唯一，或或其中一个即可． 【解析】 【分析】四条线段成比例未确定顺序，需分类讨论，根据比例的基本性质计算未知线段长即可． 【详解】解：设这条线段的长为， 根据成比例线段的定义，分三种情况列等式： 若， 由比例的基本性质得； 若， 由比例的基本性质得，解得； 若， 由比例的基本性质得，解得； 综上所述，这条线段的长可以为或或． 12. 如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，则线段BF长为_________cm 【答案】10 【解析】 【分析】由题意推知四边形是平行四边形，则，再由平行线分线段成比例得即可求出． 【详解】解： ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 又∵，， ， 故（cm）． 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例，关键是根据平行四边形的判定和平行线分线段成比例解答． 13. 如图，四边形，四边形，四边形都是相同的正方形，则的度数为__________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，由勾股定理求出，由相似三角形的判定和性质得出，由三角形外角的定义和性质求出． 【详解】解：设正方形的边长为a， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 14. 已知、是方程的两个实数根，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可得，，再代入计算即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， 整理得， ∴ ． 15. 如图，正方形的边长为5，点，分别是，边上的动点，且． （1）若，则__________； （2）的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，从而得到，由勾股定理计算出的长，即可得到答案； （2）连接，通过证明可得，作点关于的对称点，连接，则，从而得到，当在同一直线时，最小，利用勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是正方形，且边长为5， ， ， ， ，， ； （2）连接，     四边形是正方形，且边长为5， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 作点关于的对称点，连接， 则， ， 当在同一直线时，最小， ， 在中，， 的最小值为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、最短距离问题、勾股定理，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ∴，． 【小问2详解】 解： 或 ，． 17. 关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根均为负数，求的取值范围． 【答案】（1）证明：∵关于的方程根的判别式 ， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可得证； （2）设这个方程的两根分别为，，先得出，，再根据，解答即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：设这个方程的两根分别为，， ∴，， ∵方程的两根均为负数，即，， ∴，，即①，， 解不等式①得：， ∴， ∴要使得成立，则，即， 综上，的取值范围是． 18. 如图，已知线段，且． （1）求作菱形，使得点在线段上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）连接相交于点，连接．若，求四边形的面积． 【答案】（1） 作图如下，四边形ABCD即为所求图形； （2）四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）以为圆心，长为半径画圆，交线段于点，过点作的平行线交过点作的平行线于点，此时四边形即为菱形；（2）根据菱形对角线互相垂直且平分以及菱形各边相等可得到，通过证明后根据勾股定理可得到，此时四边形的面积可用两个三角形的面积之和求出，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作的垂线，交于点， ， ， 四边形是菱形， ， 在与中， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 解得：， 四边形的面积， 即： ． 【点睛】本题考查了尺规画图、菱形的性质、勾股定理以及相似三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握各知识内容，能够将四边形的面积分为两个小三角形的面积进行求解． 19. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，是上两动点，分别从，两点以相同的速度向、运动，其速度为． （1）当与不重合时，四边形是什么图形？并说明理由； （2）若，，当运动时间为何值时，四边形是正方形？ 【答案】（1）四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形 ∴，， 根据题意得， 当点E在上，点F在上时， ∴，即 ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； 当点E在上，点F在上时， ∴，即 ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，然后推出，然后结合即可证明四边形是菱形； （2）首先根据菱形的性质求出，表示出，然后分两种情况讨论，分别列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ 根据题意得， 当点E在上，点F在上时，， ∴ ∵四边形是菱形 ∴当时，四边形是正方形 ∴ ∴； 当点E在上，点F在上时， ∴ ∵四边形是菱形 ∴当时，四边形是正方形 ∴ ∴； 综上所述，当或时，四边形是正方形． 20. 某文具店销售一种玩具，每个进价为40元，售价为60元，平均每天可售出20个．经调查发现，每个玩具每降价1元，文具店平均每天可多售出2个．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，文具店决定采取适当的降价措施．设每个玩具降价元． （1）降价后每个玩具的盈利为_________元，降价后每天可售出玩具__________个；（用含的代数式表示） （2）若文具店每天要盈利450元，请你帮助文具店算一算，每个玩具应降价多少元？ 【答案】（1）； （2）每个玩具应降价5元 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据总盈利等于每个玩具的盈利乘以销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，降价后每个玩具的盈利为元， 降价后每天可售出玩具个； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得， 答：每个玩具应降价5元． 21. 如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 （1）请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：； （3）若，且，求的长． 【答案】（1）对；对；错； （2）选择小星的方法： ，，有两组角对应相等， ； 选择小红的方法： ，，有两组边对应成比例且它们的夹角相等， ； （3）2 【解析】 【分析】（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）同（1）理证明即可； （3）设，则，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【小问1详解】 解：若，且，有两个角对应相等，可判定，小星对； 若，且，有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定，小红对； 若，且，有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明，小亮错； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：设， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， ． 22. 中，点E是线段延长线上的一个动点，连接，过点A作交射线于点F． （1）如图1，若四边形是正方形，写出与之间的数量关系： ；（直接写出结论） （2）如图2，若四边形是矩形，且，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明； （3）如图3，若四边形是菱形，且，过点A作于点E，过点A作，交过D点与垂直的直线于点F，求． 【答案】（1） （2） 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即． （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明，即可得到； （2）证明，即可求出，再利用即可求出； （3）设和交于点H，设，求出，，再求出，，即可求出，再利用勾股定理求出，所以． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设和交于点H， ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形性质，矩形性质，菱形性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用，难度较大． 23. 【教材呈现】北师大版九年级上册数学教材想页《矩形的性质与判定》给出直角三角形的斜边中线定理． 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．上述定理的部分推理过程如下： 已知：如图1，在中，，为斜边上的中线． 求证：． 证明：如图2，延长至点，使，连接，． （1）【定理探索】请结合图2将证明过程补完整； （2）【问题解决】如图3，在中，是高，是中线，点是的中点，，点为垂足，若，求出的度数； （3）【应用探究】如图4，和均为直角三角形，，，连接交于点，已知，，请自接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是矩形，则，进而可得； （2）如图3，连接，则，，，由是高，是中线，可知，则，由，，可得，计算求解即可； （3）如图4，将绕点顺时针旋转到，连接，取的中点，连接，过作于，由旋转的性质可得，，，，，由和均为直角三角形，，，可得，，则，，由勾股定理得，，则，由，可求，由勾股定理得，，由，，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图3，连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是高，是中线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴的度数为； 【小问3详解】 解：如图4，将绕点顺时针旋转到，连接，取的中点，连接，过作于， ∵，， ∴， 由旋转的性质可得，，，，， ∵和均为直角三角形，，， ∴，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，旋转的性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上期九年级数学课后练习一 时间：100分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，每题3分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 4. 解一元二次方程最适宜的方法是（ ） A. 直接开平方 B. 公式法 C. 因式分解法 D. 配方法 5. 如图，矩形∽矩形，已知，，，则FG的长为（ ） A. 8cm B. cm C. cm D. cm 6. 如果、满足，那么下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 或 8. 如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列添加的条件错误的是（ ） A. ①表示有一个角是直角 B. ②表示有一组邻边相等 C. ③表示一组对边相等 D. ④表示有一个角是直角 9. 将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的，点D是边上一点，沿线段剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（ ） A. B. C. D. 10. 已知：点 E、F、G、H分别为四边形四条边中点，顺次连接得到四边形．有下列说法： ①四边形是平行四边形； ②当四边形为平行四边形时，四边形是菱形； ③当四边形为矩形时，四边形是菱形； ④当时，四边形是矩形； ⑤若四边形是正方形，则四边形一定是正方形．其中正确的是（　　） A. ①③④ B. ①②⑤ C. ①③④⑤ D. ②④⑤ 二．填空题（共5小题，每题3分） 11. 已知三条线段的长分别为、、，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则这条线段的长可以为__________．（填一个即可） 12. 如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，则线段BF长为_________cm 13. 如图，四边形，四边形，四边形都是相同的正方形，则的度数为__________． 14. 已知、是方程的两个实数根，则的值是____． 15. 如图，正方形的边长为5，点，分别是，边上的动点，且． （1）若，则__________； （2）的最小值为__________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 17. 关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根均为负数，求的取值范围． 18. 如图，已知线段，且． （1）求作菱形，使得点在线段上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）连接相交于点，连接．若，求四边形的面积． 19. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，是上两动点，分别从，两点以相同的速度向、运动，其速度为． （1）当与不重合时，四边形是什么图形？并说明理由； （2）若，，当运动时间为何值时，四边形是正方形？ 20. 某文具店销售一种玩具，每个进价为40元，售价为60元，平均每天可售出20个．经调查发现，每个玩具每降价1元，文具店平均每天可多售出2个．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，文具店决定采取适当的降价措施．设每个玩具降价元． （1）降价后每个玩具的盈利为_________元，降价后每天可售出玩具__________个；（用含的代数式表示） （2）若文具店每天要盈利450元，请你帮助文具店算一算，每个玩具应降价多少元？ 21. 如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 （1）请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：； （3）若，且，求的长． 22. 中，点E是线段延长线上的一个动点，连接，过点A作交射线于点F． （1）如图1，若四边形是正方形，写出与之间的数量关系： ；（直接写出结论） （2）如图2，若四边形是矩形，且，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明； （3）如图3，若四边形是菱形，且，过点A作于点E，过点A作，交过D点与垂直的直线于点F，求． 23. 【教材呈现】北师大版九年级上册数学教材想页《矩形的性质与判定》给出直角三角形的斜边中线定理． 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．上述定理的部分推理过程如下： 已知：如图1，在中，，为斜边上的中线． 求证：． 证明：如图2，延长至点，使，连接，． （1）【定理探索】请结合图2将证明过程补完整； （2）【问题解决】如图3，在中，是高，是中线，点是的中点，，点为垂足，若，求出的度数； （3）【应用探究】如图4，和均为直角三角形，，，连接交于点，已知，，请自接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $