3.2 确定圆的条件 专项练习 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

3.2 确定圆的条件 专项练习 一、单选题 1、‌B.‌ ①错误，等弧必须是在同圆或等圆中能完全重合的弧，光长度相等不够；②错误，少了“同圆或等圆中”这个前提；③正确，直径确实是圆中最长的弦；④正确，不在同一直线上的三点只能确定一个圆。‌‌所以正确的只有③和④，‌ 2、B 本题考查确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。 点A、B、C均在直线l上，三点共线，因此无法确定一个圆。 点P在直线l外，选取点P和直线上的任意两个点组合，得到的三个点都不共线，均可确定一个圆，符合要求的组合共有3种：P、A、B；P、A、C；P、B、C。 3、A. 碎片①上有完整的圆弧，可以在弧上取三个点，作出两条弦的垂直平分线，交点就是圆心，从而确定半径大小。‌‌ 4、‌B. ‌‌ 因为两条弧的弦长都是 AB，弧 ‌AnB‌ 弯曲程度更大，对应圆的半径更小；弦长固定时，半径越小，圆心到弦的距离也越小，所以 ‌AnB‌ 所在圆的圆心到 AB 的距离更小。‌‌ 5、‌C 点B在⊙A内，说明它到圆心A的距离小于半径3。圆心A在(1,0)，点B在(m,0)，都在x轴上，所以距离就是 ∣m−1∣∣m−1∣。 解不等式 ∣m−1∣<3∣m−1∣<3， 得到 −3<m−1<3−3<m−1<3， 也就是 −2<m<4−2<m<4。‌‌ 6、‌D 方程 x2−7x+12=0，因式分解为 (x−3)(x−4)=0，两根为 3 和 4，即两条直角边长为 3和4。由勾股定理得斜边长为=5，直角三角形外接圆的直径等于斜边，所以半径= 5÷2=2.5‌‌ 7、 ‌B CD 是直径，所以 ∠CBD = 90°；B 是弧 CD 的中点，则 BC = BD，△BCD 是等腰直角三角形。又因为 ∠ABC = ∠ADC = 30°（同弧所对圆周角），在 Rt△ACD 中，AC = 4，所以 CD = 2AC = 8。最后在等腰直角△BCD 中，BC = CD ÷= 8、A 设对称轴为EF，E是矩形上边中点，F是正方形下边中点，圆心O在EF上。令 OE=x，则 OF=1+6−x=7−x。 矩形长8，所以 AE=4 正方形边长6，所以 CF=3 由 OA=OC=r，用勾股定理列方程： x2+42=(7−x)2+32，展开解得x=3，所以半径：r=5 二、填空题 9、2.5 10、 ‌(1, 0)‌ 11、 12、‌16 cm 13、 ‌4个‌ 要解决这个问题，我们可以结合三角形外心的性质逐步分析：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，因此△PAB的外心O一定在AB的垂直平分线上。结合“外心O在□ABCD的边上”的条件，只需先找到AB的垂直平分线与平行四边形各边的交点，再分别以这些交点为圆心、对应外接圆半径为半径作圆，圆与折线段B-C-D-B的交点即为符合条件的点P（P与B重合时△PAB退化，需排除）。 三、解答题 14、解：如图，过点A作AD⊥BC于点D。 ∵AB=AC，∴AD垂直平分BC，且外心O在AD上。 ∴BD=CD=BC=6。 在Rt△BDA中，AD=8。 连接OC，设OA=OC=r，则OD=8−r。 在Rt△COD中OD2+CD2=OC2 即(8−r)2+62=r2,解得r= 15、四边形BDCE是菱形， ∵∠ABC=∠DBE， ∴∠ABD=∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ∴△ABD≌△CBE， ∴AD=CE， ∵点D是△ABC的外心， ∴DA=DB=DC， 又∵BD=BE， ∴DB=BE=EC=CD， ∴四边形BDCE是菱形。 16、解：（1）如图所示： （2）连接BD． ∵AD是直径， ∴∠ABD=90°， ∴∠DBC=∠ABD-∠ABC=90°-70°=20°， 又∵∠D=∠ACB=40°， ∴∠DEC=∠D+∠DBC=40°+20°=60°． 17、(1) 圆心为圆内任意两条弦的垂直平分线的交点：弦AB是水平线段，中点坐标为(2,4)，其垂直平分线为竖直线x=2。弦BC的中点坐标为(5,3)，即y=x−2。联立两条垂直平分线方程x=2和y=x−2，解得交点坐标为(2,0)，即圆心M的坐标为(2,0)。 （2）半径为圆心到圆上点的距离，代入MA计算可得：MA= （3）判断点与圆的位置关系需比较点到圆心的距离与半径：点D(4,-3)到M(2,0)的距离 MD= 18、(1)已知 ∠B=∠D，∠E=∠B ‌利用平行线性质‌：因为CE∥AD，所以同旁内角互补： ∠D+∠ECD=180∘∠D+∠ECD=180∘∠E=∠D 因为∠E+∠ECD=180∘ 所以AE∥CD 因为 CE∥AD（已知）且 AE∥CD（已证） 所以四边形 AECDAECD 是‌平行四边形‌。‌‌ 证明：连接OB、OE． ∵四边形AECD为平行四边形，∴AD=EC． 又∵AD=BC，∴EC=BC． 又∵OE=OB，OC=OC， ∴△OCE≅△OCB（SSS）． ∴∠ECO=∠BCO，即CO平分∠BCE． 19、（1）证明：∵点D、点E分别从点B、点C同时出发，在线段BC上作等速运动，到达C点、B点后运动停止， ∴BD=CE， ∴BC-BD=BC-CE，即BE=CD， ∵∠B=∠C=40°， ∴AB=AC，∴△ABE≌△ACD（SAS）； （2）解：∵∠B=∠C=40°，AB=BE， ∴∠BEA=∠EAB=（180°-40°）=70°， 由（1）得：AB=AC，△ABE≌△ACD， ∴BE=CD， ∴AC=CD， ∴∠ADC=∠DAC=12（180°-40°）=70°， ∴∠DAE=180°-∠ADC-∠BEA=180°-70°-70°=40°； （3）若△ABD的外心在其内部时，则△ABD是锐角三角形． ∴∠BAD=140°-∠BDA＜90°． ∴∠BDA＞50°， 又∵∠BDA＜90°， ∴50°＜∠BDA＜90°． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 确定圆的条件 专项练习 一、单选题 1．下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是( ) A．① B．② C．③ D．均不可能 4.如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段AB的距离更小？( ) A． B． C．距离一样 D．无法判断 5．如图，⊙A的半径为3，圆心A的坐标为（1，0），点B（m，0）在⊙A内，则m的取值范围是( ) A．m＜4 B．m＞﹣2 C．﹣2＜m＜4 D．m＜﹣2或m＞4 6．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个实数根，则该直角三角形外接圆的半径长为( ) A．3 B．4 C．6 D．2.5 7.如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝4，则BC的长为( ) A．5 B． C． D． 8．如图，某零件由1个长为8，宽为1的矩形工件和1个边长为6的正方形工件组成一个轴对称图形，则能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径r为( ) A．5 B． C． D． 二、填空题 9．已知直角的斜边长为5，则这个三角形的外接圆的半径为 . 10．如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为 ． 11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于 ． 12．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 13.如图，在中，，，．点P沿着折线段运动，若点P在运动的过程中，的外心O在的边上，则符合条件的点P有 个． 三、解答题 14．如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径． 15．已知，如图，△ABC和中，，，，点D是△ABC的外心，试判断四边形的形状，并说明理由． 16．已知△ABC，请按以下要求完成本题： （1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）若在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O的直径AD交CB于E，则∠DEC = ．    17．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点A(0,4)、B(4,4)、C(6,2)． (1)写出圆心M的坐标为___________； (2)这个圆的半径为___________； (3)直接判断点与的位置关系．点在______（填内、外、上）． 18．如图，在四边形ABCD中，，，AD不平行于BC，过点C作交△ABC的外接圆O于点E，连接AE． (1)求证：四边形AECD为平行四边形 (2)连接CO，求证：CO平分． 19.如图，在△ABC中，，点D从点B出发沿向点C运动，点E从点C出发沿向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停止．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $