专题3.2 确定圆的条件 重难点题型专训 -2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题3.2 确定圆的条件重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 确定圆心(尺规作图)】 6 【基础题型二 求能确定的圆的个数】 8 【基础题型三 三角形外接圆的概念辨析】 12 【基础题型四 求三角形外心坐标】 16 【基础题型五 求特殊三角形外接圆的半径】 20 【基础题型六 已知外心的位置判断三角形的形状】 25 【基础题型七 判断三角形外接圆的圆心位置】 30 第二部分·练提高题型 【提高题型一 确定圆的条件】 40 第三部分・自我检测 知识点01 确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤： 如图，（1）连接AB，BC； （2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O； （3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段测试）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题考查了尺规确定圆的圆心，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握尺规确定圆的圆心的方法． 首先利用尺规做出和所在圆的圆心，进而求解即可． 【详解】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心， ∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离 ∴所在圆的圆心到线段的距离更小． 故选：B． 2．（23-24九年级上·山西大同·阶段检测）如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），写出圆心M点的坐标 _____． 【答案】（2，0） 【分析】由图像可知B点坐标为（4，4），连接AB、BC，分别做AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心M，M坐标为（2，0）． 【详解】连接AB、BC，分别做AB、BC的中垂线，相交于点M， 由中垂线性质有AM=BM=CM， ∵AM=BM=CM， ∴点M为圆心， 由平面直角坐标系可知， 圆心M的坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． 【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中圆的图象及性质，圆上任意点到圆心的距离相等，再结合中垂线性质，通过尺规作图结合图象即可求得圆心坐标． 知识点02 三角形的外接圆 1. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2. 三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点． 3. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径． 4. 三角形的外心的位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外心在三角形内部 外心是斜边的中点 外心在三角形外部 5、多边形的外接圆定义： 一般的，如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形. 【即时训练】 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为___________．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据勾股定理求出，根据钝角三角形最小覆盖圆是以最长边为直径的圆得到答案． 【详解】解：由勾股定理得：， 则能够完全覆盖这个三角形的最小圆面是以为直径的圆，圆的半径是， 故答案为：． 【基础题型一 确定圆心(尺规作图)】 【例1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图是一个含有个正方形的相框，其中，，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作线段的中垂线和线段的中垂线交于点，连接，则点三点刚好在以点为圆心，为半径的圆上，然后由等腰直角三角形的性质求得的长，再结合勾股定理求得半径的长． 【详解】解：连接，由个正方形的相框的位置关系，可知均在上，作线段的中垂线和线段的中垂线交于点，交于点，交于点，连接，如图所示： 是圆形的金属框的两条弦， 点三点刚好在以点为圆心，为半径的圆上， ， 由勾股定理可得，，， ， 则， ∴点为线段的中点， 即线段的中垂线过点， ， ， 是等腰直角三角形， 则， 是线段的中垂线，，， ，， 则， 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：B． 【点睛】本题考查中垂线性质、圆心的确定、正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用勾股定理求得三个正方形的对角线的长度． 【例2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，经过格点，，． （1）的度数是______； （2）请用无刻度的直尺在图中画出圆心，并简要说明是如何找到的（不要求证明）______ 【答案】 解：如图所示： 为直径，故圆心必在上，再做的中垂线，其与交点便为圆心 【分析】本题考查了作图，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，可求出、、的长度，可得其恰好符合勾股定理，得出的度数； （2）因为点，，是圆上三点，故作的外心（即边长中垂线的交点）即可确定圆心； 【详解】解：（1）连接，如下图： 可得，，， ∵，故为直角三角形， ∴， 故答案为：． （2）略 1．（23-24九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 2．（2023九年级上·河北邯郸·阶段测试）如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故结论Ⅰ正确； 点，的位置不确定， 和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确． 故选：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心，熟练掌握尺规作图和三角形外心的性质是解题的关键． 3．（2024九年级上·吉林长春·阶段测试）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为_________． 【答案】 【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案． 【详解】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 4．（2026九年级上 陕西西安·阶段测试）如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】在弧上任取一点C（不与A，B重合），连接弦、弦；再分别作线段的垂直平分线、线段的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为圆心O． 【详解】略 【基础题型二 求能确定的圆的个数】 【例1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置； 圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数． 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 【例2】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【答案】C 【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可． 【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆． 故选C． 【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键． 2．（23-24九年级上·河北张家口·阶段测试）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段测试）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 4．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 【答案】(1)一个 (2)两个 (3)不能 【分析】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键． （1 ）由圆半径为，，即可判断圆心是中点； （2 ）由圆半径为，，即可判断圆心在线段的垂直平分线上； （3 ）由圆半径为，，即可判断不能画出半径的圆． 【详解】（1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画一个，圆心是的中点； （2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画两个，圆心在线段的垂直平分线上圆心到A点的距离是； （3）由于，故不能画出半径为的圆，使它经过A，B两点． 【基础题型三 三角形外接圆的概念辨析】 【例1】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段测试）如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理， 根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 所以点是△的外心， 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是的直径，是弦，．若点P是上一动点，当是等腰三角形时， ________． 【答案】，或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及性质，勾股定理，三角形的外接圆，解答本题的关键分三种情况讨论：． 当时，线段和差即可求解；当时，利用勾股定理求得，利用等面积法求得，再利用等腰三角形的性质即可求解；，根据外接圆的定义即可得到与重合． 【详解】解：①时， ； ②时，过点作于点，连接 中：， ， ∴， ， ∴； ③时，此时与重合， ∴． 综上为，或． 故答案为：，或． 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了等弧、等圆的定义以及三角形外心的性质，掌握圆的相关性质是解题关键．根据“等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合”；“等圆半径相等”；“三角形外心到顶点距离相等”逐项判断即可． 【详解】解：A、半径相等的两个半圆，所在圆是等圆，半圆弧长相等且能重合，原说法正确，不符合题意； B、圆面积相等则半径相等，故是等圆，原说法正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中能够完全重合，长度相等的两条弧不一定满足此条件，原说法错误，符合题意； D、三角形的外心是垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，若外接圆的圆心坐标为，则和的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，根据三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点，从而得出，，计算即可得解，熟练掌握三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，且外接圆的圆心坐标为， ∴，， ∴，， 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段测试）平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【答案】A、E、C 【分析】本题主要考查了圆的认识、三角形的外接圆等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线，再结合图形即可得解． 【详解】解：要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线； 因为当三个点接近共线时，它们所确定的圆的半径会趋向于无穷大， 由图可知点A、E、C三点接近共线，符合题意， 故答案为：A、E、C． 4．（2023九年级上 广东·阶段测试）如图，在中，，边上的中线． (1)请用尺规作图法，求作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的外接圆的半径． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】（ ）作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可； （）连接，利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程求出即可； 本题考查了作三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的外接圆的半径为． 【基础题型四 求三角形外心坐标】 【例1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 【例2】（25-26九年级上·北京大兴·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键． 分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答． 【详解】解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心． 易得点P的坐标为，即的外心坐标为． 故选D． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）过三点，，的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点的确定方法解答． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴是直角三角形， ∴的中点O的坐标为， ∴过三点，，的圆的圆心坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，垂径定理，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段测试）在中，，，则的重心和外心的距离为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的内心和外心，掌握三角形的内心距离对边的距离为相应中线的三分之一成为解题的关键． 先根据题意画出示意图，再结合直角三角形外心的位置及内心的性质即可解答． 【详解】解：如图：点O是的外心，点是的重心， ∵点O是的外心， ∴是的中线，即， ∵点是的重心， ∴． ∴的重心和外心的距离为． 故答案为：．    4．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出绕原点O顺时针旋转的， (3)直接写出外接圆圆心的坐标________． 【答案】(1) 如下图为所求： (2) 如下图即为所求： (3) 【分析】本题主要考查了画关于原点对称的图形、画旋转图形，外接圆的圆心，画出正确的图是解决本题的关键． （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到、、对应点的位置，再顺次连接即可； （2）先找到、、对应点的位置，再顺次连接即可； （3）先作出边的垂直平分线，两直线的交点即为外接圆圆心，然后写出坐标即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：如下图点即为所求，其坐标为， 故答案为：． 【基础题型五 求特殊三角形外接圆的半径】 【例1】（23-24九年级上·江苏常州·阶段检测）已知中，，则外接圆的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，在中，利用勾股定理求出的长，然后根据直角三角形外接圆的直径等于斜边的长即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， ∴外接圆的半径， 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）中，，，则的外接圆的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长是圆的直径．已知中，，，斜边是外接圆的直径，因而外接圆的半径等于5． 【详解】解：，， 外接圆的半径等于5． 故答案为5. 1．（2023九年级上·辽宁沈阳·阶段测试）在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查求三角形外接圆的半径，先解一元二次方程，根据三角形三边关系确定第三边的长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后利用直角三角形的斜边为其外接圆的直径，进行求解即可． 【详解】解：， 因式分解得 ， 解得 ，． 当第三边为 2 时，，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去； 当第三边为 10 时，满足 ，，，且 ，， 所以三角形为直角三角形，斜边为 10， 因此外接圆半径为斜边的一半，即． 故答案为：5． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)的外接圆的半径为______； (2)将绕着点B顺时针旋转后得到，请在图中画出，并求出线段旋转过程中所扫过的面积______．（结果保留）． 【答案】(1) (2) 所作如图所示： 【分析】本题考查了三角形外接圆性质，勾股定理，旋转作图，扇形面积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据推出为的外接圆的直径，再利用勾股定理求出，即可解题； （2）根据旋转作图步骤作出，再结合扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：， 为的外接圆的直径， ， 的外接圆的半径为； 故答案为：． （2）解：线段旋转过程中所扫过的面积为； 故答案为：． 【基础题型六 已知外心的位置判断三角形的形状】 【例1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置． 【详解】解：∵的外心为O， ∴， ∵， ∴， ∵B、C是方格纸格线的交点， ∴B、C的位置如图所示，    ∴． 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，点是的外心，且，则________． 【答案】 【分析】根据点是的外心，可得，从而，再利用三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵点为的外心， ∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的外心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的外心位置是解题的关键． 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为(   ) A．6 B． C． D．3 【答案】B 【分析】分别作与角平分线，交点为．由三线合一可知与为、垂直平分线；再由垂径定理可知圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点；连，若半径最短，则，由为底边，底角的等腰三角形，可求得． 【详解】如图，分别作与角平分线，交点为， 和都是等边三角形， 与为、垂直平分线，， 又圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点； 连接， 若半径最短，则， 又，， ， ， 在直角中，， 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的“三线合一”的性质、三角形的外接圆圆心、点到直线的距离、垂线段最短以及解直角三角形等知识，注重数形结合思想的应用是解题的关键． 2．（23-24九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，点E是的外心，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点H；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点K．作射线BH，射线，与交于点D．连接，连接，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作角平分线，等腰三角形性质，三角形内角和定理，根据作图得出平分，平分，进而得到平分，根据三角形外心得出，结合等腰三角形性质求出，利用三角形内角和定理即可求出最后结果． 【详解】解：如图，连接，， 根据作图可知，平分，平分， 平分， ， ， 点E是的外心， ， ，，， ， ， ， 故选：B． 3．（2023九年级上 江苏无锡·阶段测试）已知在正方形网格中的位置如图所示，点、、、均在格点上，有下列结论：①点在的角平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③点是的外心；④点是的重心．其中正确的有_________．（直接填写序号） 【答案】①②④ 【分析】①取的中点，连接，根据勾股定理解得的长，再证明，由全等三角形对应角相等解得，据此解题即可；②根据中线的性质，即可解题；③根据题意可得，从而得到点P不在的垂直平分线上，即可；④由三角形的重心定义结合中线的性质解题即可． 【详解】解：①取的中点，连接，则点A，P，E三点共线，点B，P，F三点共线， 由图可知，， ， ∵分别是的中点， 又， ， ， 平分 点在的角平分线上，故①正确； ②∵是的中点，点B，P，F三点共线， ∴是的中线， 即直线把分成面积相等的两个部分，故②正确； ③∵，   ∴， ∴点P不在的垂直平分线上， ∴点P不是三边垂直平分线的交点， ∴点不是的外心，故③错误； ④分别是的中点， 分别是的中线， 点P是的重心，故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查网格与勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形的外心，重心等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．（2023九年级上·河北邯郸·阶段测试）如图，点是的边上一点，，，相交于点． (1)求证：； (2)若． ①当时，求的度数； ②当的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2)① ；② 【分析】（1）先证明∠D=∠B，∠DAE=∠BAC，再结合AD=AB即可得证； （2）①先根据全等三角形性质及等腰三角形性质求出∠EAC、∠B的度数，再等量代换即可； ②根据锐角三角形外心的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②． ∵的外心在其内部， ∴为锐角三角形， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形外心的定义等知识点．灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键． 【基础题型七 判断三角形外接圆的圆心位置】 【例1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段检测）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外心的性质，根据三角形外心的性质即可解答． 【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心， 故选：A． 【例2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角度数是______． 【答案】/90度 【分析】本题考查了圆心角的求解、勾股定理及其逆定理．找到圆心是解题关键． 连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心．分别求出，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，    由图可得：，， ∴， 故， 即所对的圆心角为． 故答案为： 1．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 2．（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）已知锐角中，是的中点，甲、乙二人想在上找一点，使得的外心为点，其做法如图．对于甲、乙二人的做法，正确的是（    ） 甲的作法 过点作与垂直的直线，交于点，则即为所求． 乙的作法 以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求． A．两人都正确 B．只有甲正确 C．只有乙正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形斜边中线的性质，由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断． 【详解】解：甲的作法， ， ， ∵O是中点， ， ， ∴O是的外心， ∴甲的作法正确． 乙的作法， 由作法知：， ∴O是的外心， ∴乙的作法正确． 故选：A． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝8，则S△ABC＝___________． 【答案】32+16或32﹣16 【分析】作AD⊥BC于D，如图，利用等腰三角形的性质得BD＝CD＝4，则AD垂直平分BC，根据外心的定义得点O在AD上，再利用∠BOC＝60°得到△OBC为等边三角形，则OB＝BC＝8，OD＝4，讨论：当等腰△ABC为锐角三角形时，AD＝8＋4，当等腰△A′BC为钝角三角形时，A′D＝8−4，然后根据三角形面积公式分别计算两种情况下的三角形面积． 【详解】解：作AD⊥BC于D，如图， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD＝BC＝4， ∴AD垂直平分BC， ∴点O在AD上， ∵∠BOC＝60°， ∴△OBC为等边三角形， ∴OB＝BC＝8， 在△OBD中，OD＝＝4， 当等腰△ABC为锐角三角形时，AD＝8＋4，此时△ABC的面积＝×8×（8＋4）＝32＋16； 当等腰△A′BC为钝角三角形时，A′D＝8−4，此时△ABC的面积＝×8×（8−4）＝32−16． 综上所述，△ABC的面积为32＋16或32−16． 故答案为32＋16或32−16． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质和勾股定理，分类讨论是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 【答案】(1) 即为所求． (2) 【分析】本题考查作图，复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得的外接圆． （2）连接并延长，交于点D，连接，可得，即可得，，在中，根据勾股定理得，，设的外接圆的半径为x，则，，在中，根据勾股定理得，，代入求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆； （2）解：连接并延长，交于点D，连接， 得， ， 在中，根据勾股定理得，， 设的外接圆的半径为x， 则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得 的外接圆的半径为． 【提高题型一 确定圆的条件】 【例1】（25-26九年级上·江苏·课后作业）在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为(     ) A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】D 【详解】分析：分两种情况讨论：①A、B、C三个点共线，不能做圆；②A、B、C三个点不在同一条直线上，有且只有一个圆． 解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆； 当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆； 故选D． 【例2】（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件中，只能确定一个圆的是（　　） A．过定点A B．过定点A、B，且半径为R C．过不在同一直线上的三点 D．过不在同一直线上的四点 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据过不在同一直线上的三点能确定一个圆进行判断后即可． 【详解】A．过定点A可以画无数个圆，故不符合题意； B．过定点A、B，且半径为R，设A、B两点间的距离为d，当半径时，可以作两个圆；当半径时，可以作一个圆；当半径时，无法作圆．因此该条件不能唯一确定一个圆，不符合题意； C．过不在同一直线上的三点能确定一个圆，故符合题意； D．过不在同一直线上的四点不一定能画出一个圆，故不符合题意． 故选C． 1.（25-26九年级上·北京·课前预习）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 2.（25-26九年级上·江苏）如图，小明为检验 ，，， 四点是否共圆，用尺规分别作了 ， 的垂直平分线，它们交于点 ，则 ，，， 四点中，不一定在以 为圆心， 为半径的圆上的点是（      ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】连接 ，，，，由， 的垂直平分线交于点 ，可得 ，则，， 在以点 为圆心， 为半径的圆上，而 与 的大小关系不能确定，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接 ，，，， ∵ ， 的垂直平分线交于点 ， ∴ ， ∴ ，， 在以点 为圆心， 为半径的圆上， ∴ 与 的大小关系不能确定， ∴点不一定在圆上． 故选C． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，三角形的外接圆的确定，熟练的确定三角形的外心是解本题的关键． 3.（25-26九年级上·江苏）有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________ 【答案】在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 【分析】如图，在圆形纸片的边缘上任取三点 连接 再作的垂直平分线得到两条垂直平分线的交点即可. 【详解】解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点 连接 则的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 【点睛】本题考查的是确定圆的圆心，掌握“作三角形的外接圆的圆心”是解本题的关键. 4.（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）作图题：如图，已知等边和直线．利用尺规在直线上作出点，使得．（保留作图痕迹，不写作法，作出一点即可） 【答案】见解析 【分析】本题考查圆周角定理，作垂直平分线，三角形外心的性质，分别作线段和线段的垂直平分线，交于点，以交点为圆心，为半径画圆，交直线于点，连接，即可． 【详解】解：如图所示为所求： 是等边三角形，， ． 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可． 故选：A． 2．（23-24九年级上·江苏·课后作业）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（     ） 甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】甲的作法：先连接，再利用直角三角形斜边上的中线的性质得出，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断甲的作法正确；乙的作法：先连接，再利用中点的性质和作法得出，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断乙的作法正确． 【详解】解：甲的作法： 如图，连接， ， ． 点O为中点， ， 点O是的外心， 甲的作法正确； 乙的作法： 如图，连接， 点O为中点， ． 由作法可知，， ， 点O是的外心， 乙的作法正确． 3．（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． 4．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 5．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形外心的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半是解题的关键．先运用勾股定理求出的值，再通过外心为斜边的中点，求出外接圆半径，即得外心与顶点的距离． 【详解】解：∵，，，， ∴． ∵ 外心为斜边的中点， ∴ 外接圆半径． ∴ 外心与顶点的距离为． 故选：D． 6．（2026九年级上·全国·专题练习）在中，，为所在平面内一点，且点与的任意两个顶点构成的，，均为等腰三角形．满足上述条件的点有（  ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以的外心满足条件； 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作等腰的底边的垂直平分线，再以点为圆心为半径作圆，这个圆与的垂直平分线的两个交点也满足条件； 分别以点、为圆心，以长为半径画圆，这两个圆相交于两点，其中一点是点，另一点为满足条件的点； 以点为圆心为半径画圆，这个圆和以点为圆心为半径的圆有两个交点，其中一个交点是点，另一个交点为满足条件的点； 同理以点为圆心为半径画圆，这个圆和以点为圆心为半径的圆有两个交点，其中一个交点是点，另一个交点为满足条件的点． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线， 的外心为满足条件的一个点， 以点为圆心，以长为半径画圆，、为满足条件的点， 分别以点、为圆心，以长为半径画圆，为满足条件的点， 分别以点、为圆心，以长为半径画圆，、为满足条件的点， 综上所述，满足条件的所有点的个数为． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质． 7．（2023九年级上·河北石家庄·阶段测试）如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【分析】Ⅰ：连接，，证明，求出，证明，则四边形是平行四边形，即可证明四边形为矩形；Ⅱ：先判断最短时，的位置，过作于H，过作于，利用三角形的中位线的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，则， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形； 故结论Ⅰ正确； 如图，为直角三角形， ∴的外心是的中点， 当P，C重合时，最短， 过作于H，过作于， 垂直平分 四边形为矩形， ． 即的最小值为2． 故Ⅱ正确． 8．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段测试）下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外心，掌握相关知识是解题的关键．根据锐角三角形的外心在三角形内部，如果一个三角形的外心在它的一边的中点上，则该三角形是直角三角形，如果一个三角形的外心在它的外部，则该三角形是钝角三角形，即可判断． 【详解】解：因为钝角三角形的外心在它的外部， 由题意得知，只有D选项为钝角， 故选：D． 9．（24-25九年级上·全国）如图，点是边长为6的等边三角形内部一动点，连接，，，且满足，为的中点，过点作，垂足为，连接，则长的最小值是（　　）    A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据已知得出，则点在的外接圆的上运动，当时，有最小值，延长与交于点，勾股定理求得的长，进而求得的最小值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵三角形是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴点在的外接圆的上运动， 当时，有最小值，延长与交于点， ∴， ∴ ∵，为的中点， ∴，    故选：C． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、解直角三角形、勾股定理等知识；解题的关键是正确作出辅助线灵活运用知识解题． 10．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的外接圆及外心，等腰直角三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键．连接，过点E作于F，过点A作于H，先求出，则，进而再求出，则，进而得，则，进而再求出，则，从而得是等腰直角三角形，则，然后再分别求出，，进而可得的长． 【详解】解：连接，过点E作于F，过点A作于H，如图所示： ∵内接于，为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 故选：C． 11．（25-26九年级上·重庆·阶段测试）已知锐角的外心为O，交于D，E、F分别为、的外心，若，，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的外心性质，矩形的性质及判定、三角形的内角和定理、解直角三角形等相关知识，熟知各知识点，准确添加辅助线是正确解答此题的关键． 连接，作于点M，于点N，于点P，得矩形，由外心性质得M、N分别为BD、CD的中点，进而得，由三角函数可得，根据三角形内角和定理可得结论． 【详解】解：如图，连接，作于点M，于点N，于点P． ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵E、F分别为、的外心， ∴M、N分别为、的中点， ， ， 又， ∴， ， ∴． ∵锐角的外心为O， ， ， ， ， ∵E为的外心， 又，， ， ∴． 又， ∴． 故答案为：． 12．（2024九年级上·浙江嘉兴·阶段测试）如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为__________ 【答案】 【分析】设，得到，，根据三角形的内角和定理得到，根据平角的定义即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形内角和公式，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， 设， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在等腰中，，则此三角形的重心与外心之间的距离为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的重心和外心，能够掌握三角形的外心和重心的性质是解题的关键； 画出图形，找到三角形的重心与外心，利用重心和外心的性质求距离即可． 【详解】解：如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，为所求， ∵等腰中，， ∴ ∵直角三角形的外心是斜边的中点， ∴， ∵I是的重心， ∴是三角形三条中线的交点， ∴， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·山东济南·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键．过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，则，即点的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，则点是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，连接． ∴四边形为正方形， ∴垂直平分， 又∵垂直平分， ∴和的交点即为的外心M， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）在中，的重心与外心的距离是__________． 【答案】/ 【分析】先由勾股定理求出，再确定重心与外心的位置，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及重心的性质求解． 【详解】∵在中，， ∴， 如图，的外心为的中点，记为点D，三角形的重心G在线段上， ∵，， ∴， ∴， 即的重心与外心的距离是． 【点睛】重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 16．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，等腰． (1)尺规作图作出的外接圆；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作直径，证明：平分； (3)的半径=______________． 【答案】(1) 解：如图所示：是所求作的的外接圆， (2) 证明：如图，即为所求作的直径， ∵，， ∴平分； (3) 【分析】本题主要考查的是三角形外接圆的作法、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线找到圆心和利用勾股定理构建方程是解答本题的关键． （1）由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，作和的垂直平分线，相交于点O；以O为圆心、长为半径作圆，即可得出的外接圆； （2）的垂直平分线交于点D，则线段即为直径，然后利用三线合一可证平分； （3）连接，利用垂径定理求得，然后在中求得，最后在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，设与交于点E，的半径为r， ∵是等腰三角形，，，， ∴ ∴在中，． 在中，∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为_______； (2)的半径为_____，的度数为_____． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了三角形的外心，利用网格求线段长度，勾股定理逆定理等，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键． （1）的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点坐标． （2）通过点坐标可求出长度，即为半径，然后再求出长度，进而通过勾股定理逆定理即可求得． 【详解】（1）解：， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得， 故答案为：． （2）解：∵圆心D点坐标为：， ∴半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，， 故答案为：，． 18．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于点N，的外心为点，反比例函数的图象过点A． (1)求反比例函数和直线l的解析式； (2)在函数的图象上取异于点A的一点B，作轴于点C，连接OB交直线l于点P．若的面积是面积的3倍，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，直线l的解析式为 (2) 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，反比例函数k的几何意义，以及坐标与图形性质． （1）将A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式；由A为直角三角形外心，得到A为斜边中点，根据A坐标确定出M与N坐标，设直线l解析式为，将M与N坐标代入求出m与n的值，即可确定出直线l解析式； （2）利用反比例函数k的意义求出的面积，由的面积是面积的3倍求出的面积，确定出P的横坐标，即可得出P坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数解析式为； ∵的外心为点， ∴A为中点，即，， 设直线l解析式为， 将，代入得： ， 解得：，， 则直线l解析式为； （2）解：∵B为反比例函数图象上的点，且轴， ∴， ∵的面积是面积的3倍，， ∴， 设P横坐标为， ∴， ∴， 把代入，得． 则P坐标为． 19．（2026九年级上 甘肃平凉·阶段测试）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 20．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； (2)如图2，请用尺规画出这个圆的圆心． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2) 如图，点即为这个圆的圆心． 【分析】（1）分别取格点，，，使，顺次连接即可； （2）取弦，分别作它们的垂直平分线，交于点，则点为这个圆的圆心． 【详解】（1）略 （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 确定圆的条件重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 确定圆心(尺规作图)】 3 【基础题型二 求能确定的圆的个数】 4 【基础题型三 三角形外接圆的概念辨析】 6 【基础题型四 求三角形外心坐标】 7 【基础题型五 求特殊三角形外接圆的半径】 9 【基础题型六 已知外心的位置判断三角形的形状】 10 【基础题型七 判断三角形外接圆的圆心位置】 12 第二部分·练提高题型 【提高题型一 确定圆的条件】 15 第三部分・自我检测 知识点01 确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤： 如图，（1）连接AB，BC； （2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O； （3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段测试）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 2．（23-24九年级上·山西大同·阶段检测）如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），写出圆心M点的坐标 _____． 知识点02 三角形的外接圆 1. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2. 三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点． 3. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径． 4. 三角形的外心的位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外心在三角形内部 外心是斜边的中点 外心在三角形外部 5、多边形的外接圆定义： 一般的，如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形. 【即时训练】 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为___________．    【基础题型一 确定圆心(尺规作图)】 【例1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图是一个含有个正方形的相框，其中，，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，经过格点，，． （1）的度数是______； （2）请用无刻度的直尺在图中画出圆心，并简要说明是如何找到的（不要求证明）______ 1．（23-24九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2023九年级上·河北邯郸·阶段测试）如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 3．（2024九年级上·吉林长春·阶段测试）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为_________． 4．（2026九年级上 陕西西安·阶段测试）如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【基础题型二 求能确定的圆的个数】 【例1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【例2】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 2．（23-24九年级上·河北张家口·阶段测试）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段测试）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 4．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 【基础题型三 三角形外接圆的概念辨析】 【例1】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段测试）如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【例2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是的直径，是弦，．若点P是上一动点，当是等腰三角形时， ________． 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，若外接圆的圆心坐标为，则和的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段测试）平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 4．（2023九年级上 广东·阶段测试）如图，在中，，边上的中线． (1)请用尺规作图法，求作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的外接圆的半径． 【基础题型四 求三角形外心坐标】 【例1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·北京大兴·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）过三点，，的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段测试）在中，，，则的重心和外心的距离为______． 4．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出绕原点O顺时针旋转的， (3)直接写出外接圆圆心的坐标________． 【基础题型五 求特殊三角形外接圆的半径】 【例1】（23-24九年级上·江苏常州·阶段检测）已知中，，则外接圆的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不确定 【例2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）中，，，则的外接圆的半径为______． 1．（2023九年级上·辽宁沈阳·阶段测试）在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为______． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)的外接圆的半径为______； (2)将绕着点B顺时针旋转后得到，请在图中画出，并求出线段旋转过程中所扫过的面积______．（结果保留）． 【基础题型六 已知外心的位置判断三角形的形状】 【例1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，点是的外心，且，则________． 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为(   ) A．6 B． C． D．3 2．（23-24九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，点E是的外心，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点H；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点K．作射线BH，射线，与交于点D．连接，连接，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 3．（2023九年级上 江苏无锡·阶段测试）已知在正方形网格中的位置如图所示，点、、、均在格点上，有下列结论：①点在的角平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③点是的外心；④点是的重心．其中正确的有_________．（直接填写序号） 4．（2023九年级上·河北邯郸·阶段测试）如图，点是的边上一点，，，相交于点． (1)求证：； (2)若． ①当时，求的度数； ②当的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 【基础题型七 判断三角形外接圆的圆心位置】 【例1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段检测）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【例2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角度数是______． 1．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）已知锐角中，是的中点，甲、乙二人想在上找一点，使得的外心为点，其做法如图．对于甲、乙二人的做法，正确的是（    ） 甲的作法 过点作与垂直的直线，交于点，则即为所求． 乙的作法 以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求． A．两人都正确 B．只有甲正确 C．只有乙正确 D．两人都不正确 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝8，则S△ABC＝___________． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 【提高题型一 确定圆的条件】 【例1】（25-26九年级上·江苏·课后作业）在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为(     ) A．0 B．1 C．2 D．0或1 【例2】（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件中，只能确定一个圆的是（　　） A．过定点A B．过定点A、B，且半径为R C．过不在同一直线上的三点 D．过不在同一直线上的四点 1.（25-26九年级上·北京·课前预习）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 2.（25-26九年级上·江苏）如图，小明为检验 ，，， 四点是否共圆，用尺规分别作了 ， 的垂直平分线，它们交于点 ，则 ，，， 四点中，不一定在以 为圆心， 为半径的圆上的点是（      ） A．点 B．点 C．点 D．点 3.（25-26九年级上·江苏）有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________ 4.（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）作图题：如图，已知等边和直线．利用尺规在直线上作出点，使得．（保留作图痕迹，不写作法，作出一点即可） 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（23-24九年级上·江苏·课后作业）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（     ） 甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 3．（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 4．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 5．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 6．（2026九年级上·全国·专题练习）在中，，为所在平面内一点，且点与的任意两个顶点构成的，，均为等腰三角形．满足上述条件的点有（  ）． A．个 B．个 C．个 D．个 7．（2023九年级上·河北石家庄·阶段测试）如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 8．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段测试）下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·全国）如图，点是边长为6的等边三角形内部一动点，连接，，，且满足，为的中点，过点作，垂足为，连接，则长的最小值是（　　）    A． B．2 C． D．3 10．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·重庆·阶段测试）已知锐角的外心为O，交于D，E、F分别为、的外心，若，，则__________． 12．（2024九年级上·浙江嘉兴·阶段测试）如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为__________ 13．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在等腰中，，则此三角形的重心与外心之间的距离为__________． 14．（25-26九年级上·山东济南·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 15．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）在中，的重心与外心的距离是__________． 16．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，等腰． (1)尺规作图作出的外接圆；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作直径，证明：平分； (3)的半径=______________． 17．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为_______； (2)的半径为_____，的度数为_____． 18．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于点N，的外心为点，反比例函数的图象过点A． (1)求反比例函数和直线l的解析式； (2)在函数的图象上取异于点A的一点B，作轴于点C，连接OB交直线l于点P．若的面积是面积的3倍，求点P的坐标． 19．（2026九年级上 甘肃平凉·阶段测试）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 20．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； (2)如图2，请用尺规画出这个圆的圆心． 1 学科网（北京）股份有限公司 $