2.1认识一元二次方程 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第二章一元二次方程 1.1认识一元二次方程 知识梳理 一、一元二次方程的概念: 1.定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 2.一元一次方程与一元二次方程的区别与联系 方程 一元一次方程 一元二次方程 一般式 ax=b(a≠0) ax²+bx+c=0(a≠0) 相同点 整式方程，只含有一个未知数未知数 不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 例1.下列哪些是一元一次方程? (1)3x+6=12 (2)5x + 3y =18 (3)3x-4≤37 (4) 例2.判断下列方程是否为一元二次方程? (1)x²+x=36 (2)x³+x²=36 (3)x+3y=36 (4)x²=0 (5)4x²=9 (6)(x+2)²=(x-1)² 二、一般形式: 1.我们把 ax²+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式. 二次项:ax²，一次项:bx; 常数项:c 二次项系数:a，一次项系数:b. 2.特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax²+bx=0(a ≠ 0, b ≠ 0) a b 0 ax²+c=0(a ≠ 0，c ≠ 0) a 0 c ax=0(a ≠ 0) a 0 0 例3.将一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数、常数项. 一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x²=5x-1 3x²-5x+1=0 (x+2)(x-1)=6 x²+x-8=0 2y-4y²=0 -4y²+2y=0 4x²-5=2x 4x²-2x-5=0 三、一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 注意：一元二次方程可能不止一个根. 例4.下面哪些数是方程x²-x-6=0的解? -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. 四、一元二次方程解的估算: 用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤: ①在未知数x的取值范围内排除一部分取值; ②根据题意所列的具体情况再次进行排除; ③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选; ④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据. 例5.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米?将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项及x的估值范围. 1.1认识一元二次方程 同步练习 1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. ax²+ bx+c=0 B. x²+1-x²=0 C.x²+=2 D.x²-x-2=0 2.关于x的方程(a-1)x²+3x-2=0是一元二次方程的条件是（ ） A.a≠0 B.a=1 C.a≠1 D.a为任意实数 3.将方程4x²+8x=25化成ax²+bx+c=0的形式，则a，b，c的值分别为（ ） A.4，8，25 B.4，2，-25 C.4，8，-25 D.1，2，25 4.若1是关于x的方程x²+k²x-5=0的一个根，则k的值是（ ） A.-2 B.±2 C.-4 D.±4 5.关于x的方程x²-kx-6=0的一个根为x=3,则实数k的值为（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 6.方程2x²-3m-x+m²+2=0有一根为x=0,则m的值为（ ） A.1 B.2 C.1或2 D.1或-2 7.若关于x的方程(m+1)x²+3mx-8=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. 任意实数 B.m≠-1 C.m>1 D. m>0 8.已知关于x的一元二次方程x²+ax+b=0有一个非零根为-b，则a-b的值为（ ） A.1 B.-1 C.0 D.-2 9.下列方程:①x²+ 6>8②x²+y-6=0;③x²+ = 2;④x²-x-2=0;⑤x²-2+5x³-6x=0;⑥2x²-3x=2(x²-2),其中是一元二次方程的有 （填序号）. 10.若一元二次方程2x²+(2k+1)x-(4k-1)=0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0,则k= ． 11.方程2x²=-8化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 12.关于x的方程(k²-1)x²+2(k-1)x+2k+2=0，当k 时，是一元二次方程;当k 时，是一元一次方程. 13.判断下列方程是否为一元二次方程? (1)x²+x=36 (2)x³+x²=36 (3)x+3y=36 (4) (5)x+1=0 (6)=6 (7)4x²-1=(2x+3)² (8)()²-2-6=0 14.当a为何值时,下列方程为一元二次方程? (1)ax²-x=2x² (2)(a-1)-2x-7=0 15.关于x的方程(2a-4)x²-2x+a=0. (1)在什么条件下此方程为一元二次方程? (2)在什么条件下此方程为一元一次方程? 16.有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm²,那么铁皮各角应切去多大的正方形?根据题意列出方程并整理成一元二次方程的一般式. 17.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程: 18.在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路(两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直)，把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m²，问小路的宽应为多少? 思考: (1)若设小路的宽是xm,则横向小路面积是 m²,纵向小路的面积 是 m²,两者重叠的面积是 m². (2)由于花坛的总面积是570m²，你能根据题意列出方程吗?想一想:还有其它的列法吗?试说明理由. 19.观察下面等式:10²+11²+12²=13²+14².你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? 如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，用含x的代数式表示其余四个数并列出方程? 20.观察下表: 从表中你能得出方程5x²-24x+28=0的根是多少吗?如果能，写出方程的根;如果不能，请写出方程根的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章一元二次方程 1.1认识一元二次方程 知识梳理 一、一元二次方程的概念: 1.定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 2.一元一次方程与一元二次方程的区别与联系 方程 一元一次方程 一元二次方程 一般式 ax=b(a≠0) ax²+bx+c=0(a≠0) 相同点 整式方程，只含有一个未知数未知数 不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 例1.下列哪些是一元一次方程? (1)3x+6=12 (2)5x + 3y =18 (3)3x-4≤37 (4) 例1.答案为：（1） 解：（1）为一元一次方程（2）为二元一次方程（3）为一元一次不等式（4）为分式方程 例2.判断下列方程是否为一元二次方程? (1)x²+x=36 (2)x³+x²=36 (3)x+3y=36 (4)x²=0 (5)4x²=9 (6)(x+2)²=(x-1)² 例2.答案为：（1）、（4）、（5） 二、一般形式: 1.我们把 ax²+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式. 二次项:ax²，一次项:bx; 常数项:c 二次项系数:a，一次项系数:b. 2.特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax²+bx=0(a ≠ 0, b ≠ 0) a b 0 ax²+c=0(a ≠ 0，c ≠ 0) a 0 c ax=0(a ≠ 0) a 0 0 例3.将一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数、常数项. 一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x²=5x-1 3x²-5x+1=0 (x+2)(x-1)=6 x²+x-8=0 2y-4y²=0 -4y²+2y=0 4x²-5=2x 4x²-2x-5=0 例3.答案为： 一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x²=5x-1 3x²-5x+1=0 3 -5 1 (x+2)(x-1)=6 x²+x-8=0 1 1 -8 2y-4y²=0 -4y²+2y=0 -4 2 0 4x²-5=2x 4x²-2x-5=0 4 -2 -5 三、一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 注意：一元二次方程可能不止一个根. 例4.下面哪些数是方程x²-x-6=0的解? -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. 例4.答案为：3和-2. 四、一元二次方程解的估算: 用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤: ①在未知数x的取值范围内排除一部分取值; ②根据题意所列的具体情况再次进行排除; ③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选; ④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据. 例5.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米?将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项及x的估值范围. 例5.由勾股定理得，滑动前梯子底端距墙6m，设底端滑动xm，那么滑动后底端距墙(x+6)m，根据题意，可得方程: (8-1)²+ (x+6)²=10² 整理得：x²+12x-15=0 x的大致范围1<x<2，先保留整数1部分不变，从1.1取到1.9找十分位 x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 ... x²+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 ... 若在x的范围内取值，没有一个数能够使方程的左边为0，则找出值最接近0且小于0的数，这个数就是方程精确到十分位的取值， 则x的大概范围1.1<x<1.2 因此x整数部分是1,十分位部分是1。 ∴二次项系数：1，一次项系数：12，常数项：-15，x的估值：1<x<2,x整数部分是1,十分位部分是1. 1.1认识一元二次方程 同步练习 1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. ax²+ bx+c=0 B. x²+1-x²=0 C.x²+=2 D.x²-x-2=0 1.答案为：D 2.关于x的方程(a-1)x²+3x-2=0是一元二次方程的条件是（ ） A.a≠0 B.a=1 C.a≠1 D.a为任意实数 2.答案为：C 3.将方程4x²+8x=25化成ax²+bx+c=0的形式，则a，b，c的值分别为（ ） A.4，8，25 B.4，2，-25 C.4，8，-25 D.1，2，25 3.答案为：C 4.若1是关于x的方程x²+k²x-5=0的一个根，则k的值是（ ） A.-2 B.±2 C.-4 D.±4 4.答案为：B 5.关于x的方程x²-kx-6=0的一个根为x=3,则实数k的值为（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 5.答案为：A 6.方程2x²-3m-x+m²+2=0有一根为x=0,则m的值为（ ） A.1 B.2 C.1或2 D.1或-2 6.答案为：C 7.若关于x的方程(m+1)x²+3mx-8=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. 任意实数 B.m≠-1 C.m>1 D. m>0 7.答案为：B 8.已知关于x的一元二次方程x²+ax+b=0有一个非零根为-b，则a-b的值为（ ） A.1 B.-1 C.0 D.-2 8.答案为：A 9.下列方程:①x²+ 6>8②x²+y-6=0;③x²+ = 2;④x²-x-2=0;⑤x²-2+5x³-6x=0;⑥2x²-3x=2(x²-2),其中是一元二次方程的有 （填序号）. 9.答案为：④ 10.若一元二次方程2x²+(2k+1)x-(4k-1)=0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0,则k= ． 10.答案为：2 11.方程2x²=-8化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 11.答案为：2，0，8. 12.关于x的方程(k²-1)x²+2(k-1)x+2k+2=0，当k 时，是一元二次方程;当k 时，是一元一次方程. 12.答案为： ≠±1，=-1 . 13.判断下列方程是否为一元二次方程? (1)x²+x=36 (2)x³+x²=36 (3)x+3y=36 (4) (5)x+1=0 (6)=6 (7)4x²-1=(2x+3)² (8)()²-2-6=0 13.答案为：（1），（6） 14.当a为何值时,下列方程为一元二次方程? (1)ax²-x=2x² (2)(a-1)-2x-7=0 14.解:(1)原方程可化为(a-2)x²-x=0 ∴当a-2≠0,即a≠2时,原方程是一元二次方程, (2)∵|a|+1=2,且a-1≠0, ∴当a=-1时,原方程是一元二次方程. 15.关于x的方程(2a-4)x²-2x+a=0. (1)在什么条件下此方程为一元二次方程? (2)在什么条件下此方程为一元一次方程? 15.答案为：a≠2,a=2 16.有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm²,那么铁皮各角应切去多大的正方形?根据题意列出方程并整理成一元二次方程的一般式. 16.解:设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm²,得： (100-2x)(50-2x)=3600 展开并整理得：4x²-300x+1400=0 化简，得： x²-75x+350=0 17.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程: 17.解:设竹竿的长为x尺，则门的宽度为(x-4)尺，长为(x-2)尺，依题意得方程: (x-4)²+(x-2)²=x² 即:x²-12x+20=0 18.在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路(两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直)，把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m²，问小路的宽应为多少? 思考: (1)若设小路的宽是xm,则横向小路面积是 m²,纵向小路的面积 是 m²,两者重叠的面积是 m². (2)由于花坛的总面积是570m²，你能根据题意列出方程吗?想一想:还有其它的列法吗?试说明理由. 18.解:（1）32x，40x，2x² （2）①32×20-(32x+2×20x-2x²)= 570 ②还有其它列法 理由如下:可以将两条纵向小路平移到矩形的最右侧，将一条横向小路平移到矩形的最下侧，这样六块花坛就拼成了一个大的矩形。这个拼成的大矩形的长为(32-2x)m，宽为(20-x)m。根据花坛总面积为 570m²， 可列方程:(32-2x)(20-x)=570. 19.观察下面等式:10²+11²+12²=13²+14².你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? 如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，用含x的代数式表示其余四个数并列出方程? 19.解:如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示 为:x+1，x+2，x+3，x+4； 根据题意，可得方程:x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)² 化简，得x²-8x-20=0. 20.观察下表: 从表中你能得出方程5x²-24x+28=0的根是多少吗?如果能，写出方程的根;如果不能，请写出方程根的取值范围。 20.答案为：方程有一个根是x=2， 另一个根x 的范围是2.5<x<3. 解:根据表格中的数据可知: 当x=2时,5x²-24x+28=0，故方程5x²-24x+28=0有一个根是x=2. 又因为当x=2.5时,5x²-24x+28=-0.75. 当x=3时,5x²-24x+28=1. 故一元二次方程5x²-24x+28=0的另一个根x的取值范围是2.5<x<3. 学科网（北京）股份有限公司 $