2.1 认识一元二次方程 课后巩固卷2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册“2.1认识一元二次方程”同步练，通过基础巩固、能力提升、创新探究三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识进阶，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一元二次方程定义、一般形式及系数|单选1-5直接考查概念，填空8、解答14强化规范表达，夯实基础| |提升层|根的意义、参数问题及解的估算|单选6-7结合根的定义求值与估算，填空11构造方程，培养应用能力| |拓展层|新定义“有爱方程”的推理与证明|解答15通过定义辨析、证明及参数求解，发展逻辑推理与创新意识|

2.1 认识一元二次方程 课后巩固卷2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 3．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 5．若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 6．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 7．根据下面表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（   ） x A． B． C． D． 二、填空题 8．一元二次方程二次项系数是___________；一次项系数是___________；常数项是___________． 9．已知关于的一元二次方程（其中）的一个根是，则________． 10．如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断________________． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 11．已知一个一元二次方程有一个根为，且常数项为0，请写出一个满足要求的方程：___________． 三、解答题 12．先化简，再求值：，其中a是方程的解． 13．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 14．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)关于x的方程． 15．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B A C C A B 1．【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需要同时满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程需同时满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程， 选项A：中未知数最高次数为1，是一元一次方程，故该选项不符合题意； 选项B：中含有两个未知数，是二元二次方程，故该选项不符合题意； 选项C：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意； 选项D：中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意． 2．【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 3．【答案】A 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】根据一元二次方程的一般形式（，，，为常数），先展开多项式乘法，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 整理得， 移项合并同类项得． 4．【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程要求二次项系数不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 5．【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 6．【答案】A 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】根据方程根的定义，方程的根满足原方程，将代入原方程变形即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 移项得， ∴代数式的值为． 7．【答案】B 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据表格可知， 当时，， 当时，， ∴当时，一个解x的取值范围是， 故选：B． 8．【答案】 2 5 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，在一元二次方程中，二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，据此可得答案． 【详解】解：一元二次方程二次项系数是；一次项系数是；常数项是． 故答案为：2；；5． 9．【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】将代入方程，结合可得，化简即可得出答案． 【详解】∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．【答案】 1.3 1.4 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 11．【答案】（答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【详解】解∶∵一元二次方程的常数项为0， ∴设一元二次方程为， ∵一元二次方程有一个根为， ∴， ∴， 故该方程为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12．【答案】， 【知识点】分式化简求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、一元二次方程的解等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简可得，再根据一元二次方程的解可得，即，然后整体代入代数式求值即可． 【详解】解： ； ∵a是方程的解， ∴，即． ∴原式． 13．【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程的定义、判断是否是一元一次方程、由一元二次方程的定义求参数 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 14．【答案】(1)，二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0 (2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键． （1）先去分母，再移项、合并同类项为，从而可得答案； （2）先移项，再合并同类项可得，从而可得答案． 【详解】（1） 解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0； （2） 移项、合并同类项得：， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 15．【答案】(1) 一元二次方程是“有爱方程”，理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． (2) 证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． (3)或 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 学科网（北京）股份有限公司 $