湖南省衡阳市衡钢中学衡阳县一中等多校2026-2027学年高二上学期10月联考数学试题

高二数学(A卷) 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。 时量120分钟。 满分150分。 第I卷 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知直线l的倾斜角为150°,则直线l的斜率为 A. B. C. D. 2.已知命题p:,则命题p的否定为 A. B. C. D. 3.如图所示的几何体是一个平行六面体，则 A. B. C. D. 4.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是A₁D₁的中点，则 A.1 B.2 C. D.4 5.如图，四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，MA=2，MA⊥平面ABCD，N是AB的中点，则异面直线MN与AC所成角的余弦值为 A. B. C. D. 6.在空间四边形ABCD中，若向量，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则 A B. C. D. 7.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E在线段PD上，且DE=2EP.若，则 A. B. C. D. 8.已知，则 A.b>a>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知复数,则 A. B.复数z在复平面对应的点在第二象限 C. D.的虚部为1 10.下列说法正确的有 A.已知一组数据为2,2,4,4,5,6,6,7,8,10,则该组数据的第40百分位数为4.5 B.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，记事件A:“第一次出现正面”,事件B:“两次结果相同”,则事件A与B相互独立 C.从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，则取到的两个数均为偶数的概率为 D.某校高一年级共有学生1000人，其中男生400人、女生600人.为调查该年级的数学成绩，采用分层随机抽样从男、女生中按相同比例共抽取50人，得到男生样本平均分为120分、女生样本平均分为105分，则估计该校高一年级全体学生数学平均分约为111分 11.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,点P满足, A.若y=z=1,则AP⊥CD B.若x+y+z=1,则点P轨迹的面积 C.若x+y+z=2,则AP的最小值为 D若,则点P的轨迹与正方体表面交线的长度为 第Ⅱ卷 （非选择题） 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.在△ABC中，AB=AC=2，cos∠BAC=,则BC=_____. 13.已知正实数a,b满足,则的最小值为_____ 14.已知向量，。定义.长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=3,AA₁=4,以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，点M满足,平面经过点B,且AM⊥平面.若点N是平面上一点，且点N在长方体内或其表面上，则的取值范围为____________. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 已知点A(1,2),B(3,1),C(4,m),D6,2),m∈R. (1)若A,B,C三点在同一直线上，求m的值； (2)若直线AB⊥BC,判断直线AC与BD的位置关系，并说明理由. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA ⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=3,PA=AD=4,点E是PD的中点. (1)求点E到直线PB的距离； (2)求直线AD到平面BCE的距离. 17. (本小题满分15分)如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC,点D,E,F分别是AB,A₁B₁,BC的中点，且AB=3,AC=4,AA₁=2. (1) 证明：平面DEF//平面AA₁C₁C; (2) 求直线AC₁与平面A₁B₁F所成角的正弦值； (3)设直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的内切球球心为O₁,三棱柱ADC-A₁EC₁的外接球球心为O₂,求. 18.(本小题满分17分) 如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°,BC=6,D,E分别是AB,AC上的点，且,将三角形ADE沿DE翻折，点A在翻折过程中记为点P(点P不在平面BCED上). (1) 若二面角P-DE-B等于60°, (i)证明：平面PBC⊥平面BCED; (ii)求四棱锥P-BCED的体积. (2)翻折过程中，是否存在点P使得平面PBD与平面PCE夹角的余弦值为?若存在，求此时二面角P-DE-B的余弦值；若不存在，请说明理由. 19.(本小题满分17分) 对于定义在R上的函数,若存在实数,使得,则称为的一个二阶不动点；若还满足,则称为的一个真二阶不动点. (1)已知函数,求的所有二阶不动点，并指出其中真二阶不动点的个数； (2)已知函数,证明：没有真二阶不动点； (3)设,若存在真二阶不动点，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $