数列 专项训练-2027届高三数学一轮复习

高中数学人教A版选择性必修二数列 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B C B A A ABD BC 题号 11 答案 ABC 1．C 【详解】由题意可得， 又，所以，解得. 2．A 【详解】由题意得， 又由等差数列前项和公式， ，解得． 3．D 【分析】由即可求解. 【详解】. 4．B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断. 【详解】根据题意，已知数列的通项公式为， 若数列为单调递增数列，则有 （）， 所以，因为，所以， 所以当数列为单调递增数列时，无法推出， 当时，则对任意正整数，，所以， 所以数列为单调递增数列， 所以“为单调递增数列”是“”的必要而不充分条件. 5．C 【详解】要使满足的n取得最大值，则首项取得最小值，取得最小值， 因为是各项均为整数的递增数列，且，所以设是以为首项，为公差的递增数列， 则，即，因为，解得，可知， 当数列前项分别为时，满足，所以n的最大值为. 6．B 【分析】根据数列的定义得数列是一个等差数列，应用等差数列前n项和公式及下标和的性质得到，最后应用基本不等式求目标式最大值，注意取值条件. 【详解】根据题意，若数列满足（常数），则称为调和数列， 已知数列为调和数列，令，则， 即数列是一个等差数列，设其通项为，公差为， 已知，即等差数列的前项和为， 根据等差数列求和公式，得，解得， 由等差数列的下标性质，得，即， 由，所以 当且仅当时，等号成立，此时，即， 此时公差，数列为常数列，前项和为，符合题意， 综上，的最大值为. 7．A 【分析】利用韦达定理得到两根的和与积，结合等比数列下标性质求出，再根据条件判断的符号，舍去负解，完成求值. 【详解】是方程的两根， 根据韦达定理，所以 【点睛】本题考查等比数列性质与韦达定理综合应用，重点检验学生对等比数列项的符号辨析能力，提醒学生在利用等比中项公式时，不能直接默认正负双解，需要结合题干条件判断符号取舍。 8．A 【分析】本题主要考查利用与的关系求通项公式以及函数的对称性，由数列的前项和，可计算出，由函数的图象关于点对称，可得，将与，与，，与两两组合求和，每一组的和都为2，有100组，最后不要忘记加上. 【详解】由函数的图象关于点对称，可得； 当时，， 当时，， 当时，，满足上式， 所以，即，，，， = . 9．ABD 【详解】， 所以公差， 所以， 从而，故A和D正确； ，所以，为等差数列，故B正确，C错误. 10．BC 【分析】根据递推公式，由依次求出数列的前几项，观察数列的周期性，进而判断各选项. 【详解】因为，， 所以，，，，故A错误，B正确； 由，依次代入推导： ， ， 所以，对任意，都有，故数列是周期为的周期数列. 于是，故C正确； ，故D错误. 11．ABC 【详解】因为， 所以，即，解得， 因为，所以， 则是首项为，公比为3的等比数列，故A正确； 因为， 所以，即， 所以数列为首项为2，公差为0的等差数列，故B正确； 当时， ， 又符合，所以，故C正确； 已知， 则，故D错误． 12．4107 【分析】先分别求出等差、等比数列的通项公式，再将等比数列的项作为等差数列的下标，得到新数列的通项，最后拆分求和（等比数列求和+常数项求和）得到结果. 【详解】因为是首项，公差的等差数列，所以， 因为是首项，公比的等比数列，所以， 所以， 所以 13．或 【分析】利用等比数列下标和性质得，结合求出，，再由代入计算即可. 【详解】根据等比数列下标和性质，由，可得， 已知，因此，又，解得或， 由，，因此， 当时，，即；当时，，即. 综上，的值为或. 14． 【分析】借助数列与的关系可得，从而可得数列的通项公式，即可得解. 【详解】当时，有， 则， 即，整理得， 故， 又，则， 故，则， 故. 15．（1）370；（2）或 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由， 得，解得， 则. （2）设等比数列的公比为， 由， 得，显然且， 两式相除得，则，解得或， 当时，，则； 当时，，则. 综上所述，或. 16．(1) (2) 【分析】先利用等比数列基本量求出通项公式，再结合对数运算化简数列，采用裂项相消法求前项和. 【详解】（1）由等比数列的公比，且，， 可得，两式相除得，整理得， 解得或（舍）. 代入，得. 因此数列的通项公式为. （2）由（1）得， 裂项相消求和：. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据条件，求出，再利用与间的关系，即可求解； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）因为是首项与公差均为1的等差数列， ， 则，当时，， 两式相减得，当时，，也满足上式， 故数列的通项公式为. （2）由（1）得， 所以数列的前2026项的和为 . 18．(1)或 (2) 【分析】（1）由，且，，成等比数列这两个条件列出和的方程组可求解出，从而可得数列的通项； （2）把（1）解得的代入中，化简得，然后利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵，∴① ∵，，成等比数列，∴， ∴化简得，即. 若，； 若，②，由①②可得，，. 所以数列的通项公式是或. （2）因为，由（1）结论可知不符合题意， 则，， 所以， ∴ . 19．(1)因为点在直线上，所以， 因为点在直线上，所以， 将代入上式得：， 又因为，所以， 又已知，由得，解得， 由得， 因此数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，故. (2) 【分析】（1）由点在直线上得到，由点在直线上得到，将代入结合，通过计算得到数列是等比数列，利用等比数列的通项公式得解； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为，由等差数列通项公式知，将代入解出，求出，利用错位相减法求出数列的前n项和 【详解】（1）略 （2）在与之间插入n个数，使这个数组成等差数列， 则这个等差数列的公差为，由等差数列通项公式知， 将代入得， 解得，从而得到， 则数列的前n项和为：①， 将①两边同乘得②， 用①式减去②式（错位相减法）得③， 将代入③得 ④， ④两边同乘2得， 故数列前n项的和. 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修二数列 一、单选题 1．已知等差数列满足，，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．2 2．已知公差为的等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 3．已知数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2 D．1 4．已知数列的通项公式为，则“为单调递增数列”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则n的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 7．在等比数列中，是方程的两根，则等于（    ） A．6 B．2 C．2或6 D．－2 8．已知函数的图象关于点对称，数列的前项和，则（     ） A．201 B．202 C． D．102 二、多选题 9．已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C．是等比数列 D．是递增数列 10．已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 11．在数列中，，，且，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等差数列 C． D． 三、填空题 12．设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则____. 13．已知数列是等比数列，，，则的值为________. 14．设为数列的前项和，且，，则_________． 四、解答题 15．（1）设等差数列的前项和为，已知，求； （2）在等比数列中，已知，求. 16．已知等比数列的公比，且，． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； 17．记为数列的前项和，是首项与公差均为的等差数列， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项的和 18．已知等差数列，若，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和. 19．已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中. (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前n项的和. 学科网（北京）股份有限公司 $