数列 专项训试卷（提高）-2027届高三数学一轮复习

数列章节测试卷（提高版） （满分 150 分　考试时间 120 分钟） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设等比数列的前项和为，若，，则 A． B． C． D． 1．C 【解析】设等比数列的公比为 （）。 由 得 ，所以 。 又 。故选 C。 2．在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直线上，则为 A． B． C． D． 2．C 【解析】因为对任意大于 的正整数 ，点 都在直线 上， 所以 ，即 （）。 故 是首项为 、公差为 的等差数列，。 所以 。故选 C。 3．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（    ） A．4949 B．4950 C．5049 D．5050 3．D 【解析】设第 层球的个数为 。由题意 ，且 （）。 用累加法： ， 所以 （对 也成立）。 故第 层球的个数为 。故选 D。 4．设是等差数列，其前项和为.则“”是“为递增数列”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．C 【解析】设等差数列 的首项为 、公差为 ，则 ，，。 即 ，也就是 。 而 为递增数列也等价于 ，两者互相推出， 所以""是"为递增数列"的充分必要条件。故选 C。 5．已知等差数列的首项为，公差为．将各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表： 则这个三角形数表第10行所有数的和为 A．729 B．980 C．1000 D．1331 5．C 【解析】。数表前 行共有 个数， 所以第 行的 个数依次为 。 其和为 。故选 C。 6．已知数列满足，则 A．250 B．500 C．550 D．1000 6．B 【解析】当 （）时 ，当 时 ， 所以 。 故 是首项为 、公差为 的等差数列， ， 。故选 B。 7．已知数列满足，，且，，记为的前项和，则 A．41 B．42 C．43 D．44 7．C 【解析】由 ，， 依次得 ，，，，，，，， 可见从 起数列以 为周期循环。 ；从 到 共 项，其中前 项为 个完整周期，和为 ， 余下 项为 ，所以 。故选 C。 8．我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立秋”时日影长度为（    ） 附：二十四节气表 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 小暑 大暑 立秋 处暑 白露 秋分 寒露 霜降 立冬 小雪 大雪 冬至 小寒 大寒 A．分 B．分 C．分 D．分 8．C 【解析】把夏至视作等差数列的首项 （分）， 由「每相邻两个节气之间的日影长度差为 分」得公差 分。 从冬至出发更直观：冬至（影最长）为 ，夏至为 ，其间跨 个节气间隔， ，故相邻节气差为 分。 按夏至起算：，其中 分。 查二十四节气表，夏至为第 11 个节气，「立秋」为第 14 个节气， 故 ， 分。 即 分，故选 C。 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知是定义在上且恒为正的非常数函数，，则 A． B．是偶函数 C． D． 9．ACD 【解析】在 中取 ，得 ， 由 得 ，A 正确； 对任意实数 ，取 ，，则 ，， 代入得 。取 ，得 ， 所以 ，而 ，故 不是偶函数，B 错误； ，，C 正确； ，D 正确。故选 ACD。 10．已知数列的前项和为，若，，则 A． B．数列为递减数列 C．数列的最大项是2，最小项是0 D．对任意， 10．ABD 【解析】由 ，。 A：，，A 正确。 C：，故最大项为 ； 先用归纳法证 ：；若 ，则 ， 故 恒成立，最小项**趋于** 但取不到（不为 ），C 中「最小项是 0」错误。 B：因 ，故 ， 递减，B 正确。 D：由 得 ，故 。 对 两边除以 ：， 即 ，累加得 ， 由每项 得 ，即 ， 取倒数得 ；又 时 也满足， 故对一切 有 ，D 正确。 故选 ABD。 11．在如图的数表中，每行从左到右的四个数成等比数列，每列从上到下的四个数成等比数列，且所有公比均不为1或．若数表中有四个数为1，有四个数为2，则（       ） A．数表中每行恰有一个数为1 B．数表中共有6个不同的数 C．数表中所有数的乘积为256 D．符合条件的数表共有4个 11．ABC 【解析】设第 行第 列的数为 ，共 行 列，每行、每列均为等比数列且公比不为 。 每行每列恰有一个 1 和一个 2 同一行中若有两个数都为 ，设公比为 ，则 （），得 （或 且指数为偶），与公比不为 矛盾； 对 同理（）。故每行至多一个 、至多一个 。 数表共 个 、 个 ， 行中每行至多一个，故每行恰有一个 和一个 ；对列同理。 取对数化等差 由上述讨论每行每列的数均为正（若出现负数则相距奇数项异号，与 均为正冲突）， 取 ，则每行每列成等差数列，公差不为 ，且每行每列恰有一个 、一个 。 记第 行公差为 。相邻两行对应项之差也成等比（比例关系），取对数后成等差，推得 的取值只能是若干情形。 定出数表结构 由「每列恰一个 、一个 」的约束，枚举可行公差组合，得到两种互为上下翻转的数表（各行公差分别为 型）。 逐项检验：每行恰有一个 （A 正确）；不同数值恰为 相关 个数（B 正确）； 每行四个数之积为定值，整个数表所有数乘积为 （C 正确）；符合条件的数表为 个而非 个，D 错误。 故选 ABC。 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知数列，的通项公式分别为，，数列满足，，，记为数列前n项和，则使得成立的最小正整数为________． 12．24 【解析】由 ，（）知， 奇数项是 ，偶数项是 。 等价于 ， 即 ，。 ① 当 （）时，，，， 条件化为 。因为 ， 且 的增长远慢于 ， 时左边最大为 ， 时 ，故无解； ② 当 （）时，，，， 条件化为 ，即 。 时左边 ； 时左边 ， 且 时 递增，故 的最小值为 。 综上，所求最小正整数 。 13．数列共2026项，现剔除前两项，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然数列共2025项.循环此操作剔除前两项，，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然共2024项.依此操作共重复2025次，则最后还剩下一项，此项为___________． 13． 【解析】记原数列第 项为 ，令 。 每次操作去掉前两项 并添入 ，而 ， 所以操作前后所有 值的乘积不变。 经过 次操作后只剩一项，设它为 ，则 ， 所以最后剩下的一项为 。 14．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 14． 【解析】（正奇数），（，）。 观察 中元素稀疏： 落在 的两个相邻项之间，即 时只能 （因为区间长恰为 2）。 记 为「把 的前 项全部并入后的 」， 则有 ，且 （奇数和 、偶数和 ）。 逐次比较定位区间 ； ； （此处 为奇数项）； ； ？ 注意 不是 ：前 项含 的 项，，故 ； ，而 之前的奇数项…逐项核算得 。 故不等号在 与 之间发生翻转，只需在此区间找。 区间内解不等式 当 时，（第 至 项之和），而这些项均为奇数 的连续段， 算得 ，且 为奇数，。 令 ，即 ， ，即 或 ；因 ，故 时成立。 再验 时 也成立，而 时 。 所以最小正整数 。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，是边长为5的菱形且，取四边形各边中点，，，作第2个四边形，然后再取四边形各边中点，，，作第3个四边形，依此方法一直继续下去.（13分） (1)设从菱形开始的前个四边形面积之和为，求和； (2)这个作图过程一直继续下去，所有这些四边形的面积之和将趋于一个常数，求满足的的最小正整数值. 15．（1），；（2） 【解析】（1）由菱形 的边长为 ，且 ∠ABC，得第一个四边形的面积 。 取四边形各边中点所得的中点四边形，其面积等于原四边形面积的一半， 故各四边形面积组成首项为 、公比为 的等比数列 。 所以 ， 。 （2）当 无限增大时， 趋于 ，所以 趋于常数 。 由 得 ，即 ， 所以满足条件的最小正整数为 。 16．已知满足.（15分） (1)证明：数列为等比数列； (2)已知数列的前项和为，证明：. 16．（1）， 是首项为 、公比为 的等比数列；（2）证明见解析 【解析】（1）由 得 。 下面用数学归纳法证明 ： 当 时 成立； 假设 ，则 ，也成立。 所以 ，， 即 是首项为 、公比为 的等比数列。 （2）由（1）得 。记 ，则 。 因为 ， 两式相减得 ， 所以 ，从而 。 17．已知数列的前n项和为，且，且.（15分） (1)证明数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若，求正整数k的所有取值. 17．（1） 是首项为 、公差为 的等差数列；（2）；（3） 【解析】（1）在 两边同除以 ，得 （）。 又 ，所以 是首项为 、公差为 的等差数列。 （2）由（1）得 ，所以 。 于是 ，， 两式相减得 ， 所以 。 （3），。 不等式 即 ，两边同除以 得 ，即 ，解得 。 又 为正整数，故只可能取 ；代入原不等式检验均成立。所以 。 18．已知整数数列满足，且对于任意的，均有，其中为的平均数．（17分） (1)求的所有可能取值； (2)若正整数满足，证明：； (3)在所有满足要求的数列中，求的最大值． 18．（1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】（1）当 时 ，由 得 。 又 为整数，所以 。 （2）由 得 ，又 为整数，所以 。 因为 ，且 为整数，所以 。 若 ，则 ，即 ， 于是 ，与 矛盾。 所以 。 （3）设 为 的最大值，则 。 对 ，令 为满足 且 的最小正整数 （由 知这样的 存在）。因为 ，所以 ，且 。 由 的最小性得 ，再由（2）得 ；又 ，故 。 当 时，由 的最小性得 ，所以 ，结合 为整数得 。 于是 ， 化简得 ，所以 。 又 ，故 ，所以 ，。 另一方面，取 ，且当 （）时令 。 用数学归纳法可验证该数列满足题设：此时 ； 当 时 ，故 ， 于是 ，由 得 （ 时取到 ），满足 。 因为 ，所以 。 综上， 的最大值为 。 19．定义：已知函数，若数列满足：对任意的，均有，则为函数的一个“起源数列”．（17分） (1)若已知，求的一个“起源数列”的通项公式． (2)若已知，数列为的“起源数列”，证明：对任意的，均为数列中的一项． (3)若已知，数列，分别为的两个“起源数列”()，且对任意的，，． （i）证明：； （ii）当时，比较与的大小，并证明你的结论． 19．(1) ；(2) 证明见解析；(3)(i) 证明见解析；(ii) 【解析】先明确定义：若数列 满足 对一切 成立，则称 是 的一个“起源数列”， 即 是方程 的一个解；同一 有多个解时会产生不同的起源数列。 (1) 由定义 ，两边取自然对数得 ， 由于 严格单调，此解唯一，故 即为一个起源数列。 (2) 因 与 都是 上的增函数，故 在 上严格单调递增， 所以方程 的解唯一，且 对一切 成立。 任取 ，记 。因 则 （正整数加正整数仍为正整数）， 故 ，且 。 由 严格单调，函数值相等必有自变量相等，故 ， 即存在正整数 使 ，所以 是数列 中的一项。 (3)(i) 证明 由起源数列定义得 ，且已知 。 ① 证左边：由 ，两边取对数得 。 ② 证右边：令 （），则 的导数 ， 故 在 上单调递增。 当 时 （因为 ， 时成立）， 由单调性得 ，于是 ，两边取对数得 。 综上 。 (3)(ii) 比较 与 由题意 且 。令 ，则 ， 代入得 ，与 联立得 。 构造函数 （）， 则 的导数为 （基本不等式）， 故 在 上单调递增，又 ， 所以 时 ，即 （）。 假设 。令 （）， 的导数为 ， 故 在 上单调递增；由 得 ， 即 。 结合 得 ，即 ； 但当 时由 (i) 知 ，此时 ，矛盾。 故假设不成立，，即 （）。 $数列章节测试卷（提高版） （满分 150 分　考试时间 120 分钟） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设等比数列的前项和为，若，，则（　　） A． B． C． D． 2．在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直线上，则为（　　） A． B． C． D． 3．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（    ） （　　） A．4949 B．4950 C．5049 D．5050 4．设是等差数列，其前项和为.则“”是“为递增数列”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知等差数列的首项为，公差为．将各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表： 则这个三角形数表第10行所有数的和为（　　） A．729 B．980 C．1000 D．1331 6．已知数列满足，则（　　） A．250 B．500 C．550 D．1000 7．已知数列满足，，且，，记为的前项和，则（　　） A．41 B．42 C．43 D．44 8．我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立秋”时日影长度为（    ） 附：二十四节气表 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 小暑 大暑 立秋 处暑 白露 秋分 寒露 霜降 立冬 小雪 大雪 冬至 小寒 大寒（　　） A．分 B．分 C．分 D．分 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知是定义在上且恒为正的非常数函数，，则（　　） A． B．是偶函数 C． D． 10．已知数列的前项和为，若，，则（　　） A． B．数列为递减数列 C．数列的最大项是2，最小项是0 D．对任意， 11．在如图的数表中，每行从左到右的四个数成等比数列，每列从上到下的四个数成等比数列，且所有公比均不为1或．若数表中有四个数为1，有四个数为2，则（       ） （　　） A．数表中每行恰有一个数为1 B．数表中共有6个不同的数 C．数表中所有数的乘积为256 D．符合条件的数表共有4个 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知数列，的通项公式分别为，，数列满足，，，记为数列前n项和，则使得成立的最小正整数为________． 13．数列共2026项，现剔除前两项，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然数列共2025项.循环此操作剔除前两项，，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然共2024项.依此操作共重复2025次，则最后还剩下一项，此项为___________． 14．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，是边长为5的菱形且，取四边形各边中点，，，作第2个四边形，然后再取四边形各边中点，，，作第3个四边形，依此方法一直继续下去.（13分） (1)设从菱形开始的前个四边形面积之和为，求和； (2)这个作图过程一直继续下去，所有这些四边形的面积之和将趋于一个常数，求满足的的最小正整数值. 16．已知满足.（15分） (1)证明：数列为等比数列； (2)已知数列的前项和为，证明：. 17．已知数列的前n项和为，且，且.（15分） (1)证明数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若，求正整数k的所有取值. 18．已知整数数列满足，且对于任意的，均有，其中为的平均数．（17分） (1)求的所有可能取值； (2)若正整数满足，证明：； (3)在所有满足要求的数列中，求的最大值． 19．定义：已知函数，若数列满足：对任意的，均有，则为函数的一个“起源数列”．（17分） (1)若已知，求的一个“起源数列”的通项公式． (2)若已知，数列为的“起源数列”，证明：对任意的，均为数列中的一项． (3)若已知，数列，分别为的两个“起源数列”()，且对任意的，，． （i）证明：； （ii）当时，比较与的大小，并证明你的结论． $