精品解析：山东东营市利津县2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年10月全县综合素养考试九年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 在中，，若将三边长度都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（ ） A. 不变 B. 扩大5倍 C. 扩大25倍 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．根据三角函数的定义进行判断即可得． 【详解】解：如图，在中，， 将三边长度都扩大5倍后，，即锐角的正弦值不变， 同理可得：锐角的余弦值和正切值也都不变， 故选：A． ． 2. 在中，若，则的形状是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．先由非负数的性质得出，，根据三角函数求得，，然后根据三角形内角和定理，求得的度数，从而确定三角形的形状． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 则是直角三角形． 故选：D． 3. 如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角函数的定义．利用三角函数定义逐项判断即可． 【详解】解：A、在中，，故此选项不符合题意． B、在中，，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为，缆车速度为每分钟米，从山脚下到达山顶缆车需要分钟，则山的高度为（ ）米. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，利用∠BAC的正弦解答即可． 【详解】解：在中，，，(米)， ∵，(米)． 故选． 【点睛】本题考查了三角函数的应用，属于基础题型，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 5. 如图，一长度不变的梯子与地面的夹角为，关于，的值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ） A. 的值越小，梯子越陡 B. 的值越小，梯子越陡 C. 梯子的倾斜程度与的值无关 D. 梯子的倾斜程度与的值无关 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦和余弦的定义逐一判断即可． 【详解】解：如图所示， 根据题意可得，长度不变， ∴， ∴的值越小，则的值越小，此时梯子越平缓，故A、C错误； 的值越小，则的值越小，此时梯子越陡，故B说法正确，D说法错误． 6. 已知平面直角坐标系中，第一象限内射线与x轴正半轴的夹角为，点P在射线上，如果且，那么点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数；过点P作轴于点H，根据“锐角的邻边与斜边的比叫做该锐角的余弦”可得，再由勾股定理求出，即可． 【详解】解：如图，过点P作轴于点H， ∵且， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标是． 故选：B 7. 如图是一张直角三角形纸片，其中，，．现将该直角三角形纸片沿折叠，使点与点重合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，折叠的性质．求出，再由折叠的性质得：，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故选∶A 8. 如图，将放在正方形网格纸上，点，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正弦的定义，勾股定理及其逆定理，熟练掌握锐角三角函数的定义及构造直角三角形求锐角三角函数是解题的关键．连接，设每个小正方形网格的边长为，分别利用网格求出，，，利用勾股定理逆定理判定，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接，设每个小正方形网格的边长为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质得出，，，证出，，由证明，得出，，证是等腰直角三角形，得出，即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 是的中点， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为，则为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解． 【详解】∵P点坐标为（1，1）， 则OP与x轴正方向的夹角为45°， 又∵， 则∠BAO=45°，为等腰直角形， ∴OA=OB， 设OC=x，则OB=3OC=3x， 则OB=OA=3x， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键． 二、填空题：（本题共8小题，11-14每小题3分，15-18每小题4分，共28分．） 11. 已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为________. 【答案】30° 【解析】 【详解】试题分析： 先由α为锐角，tan（90°﹣α）=，可得90°﹣α=60°，解得α=30°． 考点：特殊角的三角函数值 12. 计算：_______________． 【答案】1 【解析】 【详解】解： ． 13. 在中，，则的值为____________． 【答案】0.618## 【解析】 【分析】本题考查互余两角的三角函数的关系，掌握任意锐角的正弦值等于余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于余角的正弦值是解题关键．由题意可得出，从而根据互余两角的三角函数的关系即可得出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故答案为：0.618． 14. 如图，在中，，，垂足为点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角形函数的定义，勾股定理，同角的余角相等． 由可设，，根据勾股定理得到，因此有，由与得到，即可解答． 【详解】解：∵在，， ∴设，， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 15. 如图为一节楼梯的示意图，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 理解题意，得到地毯的长度为的长，利用正切定义求得即可求解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 在中，米． ∴（米）， ∴地毯的长度为米． 故答案为：． 16. 如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解，过点，作，交于点，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点， ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 故答案为：10． 17. 在中，，为边上的高线，且，则_____． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识．分两种情况画出图形进行解答即可． 【详解】解：设， ∵ ∴， 当在的内部时，如图1，作于H， 在中，， ∴， ∴； 当在的外部时，如图2， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：3或． 18. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4， ∴∠A=∠B， 由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF， ∴∠EDF=∠A， ∴∠EDF=∠B， ∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°， ∴∠CDE=∠BFD． 又∵AE=DE=3， ∴CE=4-3=1， ∴在直角△ECD中，sin∠CDE= ； 故答案是：． 三、计算题：本大题共2小题，每小题4分，共8分． 19. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1）0 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据含有特殊角的三角函数的混合运算法则解答即可． （2）根据负整数指数幂公式，立方根，绝对值，特殊角的三角函数，解答即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 四、解答题：本题共6小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，在中，，D为边上的一点，，． （1）求的长． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理．掌握解直角三角形和勾股定理是解本题的关键． （1）根据，，即可求出的长； （2）由解得，再利用勾股定理求出，即可求出的值． 【小问1详解】 解：在中， ，， ． 【小问2详解】 解：， ， ． ． 21. 如图，在中，，，，点在边上，且． （1）求的长； （2）求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先解直角三角形求出的长，再求出，解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）利用勾股定理求出的长，再根据余弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点． ∴， ∵， ， ， ， ． ． ． 【小问2详解】 解：，， ． ． 22. 如图，楼房后有一假山，的坡度为，测得与的距离为米，山坡坡面上点处有一休息亭，与山脚的距离米，小丽从楼房房顶处测得的俯角为. （1）求点到水平地面的距离； （2）求楼房的高. 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，（1）过点作的延长线于，根据的坡度为得，再由勾股定理可得米，米； （2）过作于点，根据等腰直角三角形的性质求出的长，进而可得的长． 【小问1详解】 解：过点作的延长线于， 在中， ∵的坡度为，米， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴（米），（米）， 答：点到水平地面的距离为米； 【小问2详解】 过作于点， 则米， 由题意得：（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）． 答：楼房的高为米． 23. 如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： （1）_______________；_______________； （2）观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． （3）如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． （4）若，且，求的值． 【答案】（1）1；1 （2）1 （3）证明：如图④， 根据正弦、余弦的定义得： 根据勾股定理得：， ∴， ∴． （4） 【解析】 【分析】（1）根据正弦、余弦的定义求出、、、 的值，代入、计算即可得答案． （2）根据正弦、余弦的定义求出，，，观察即可可猜想． （3）根据正弦、余弦的定义求出，再根据勾股定理得，代入计算即可得． （4）根据完全平方公式计算得，把，代入计算即可． 【小问1详解】 解：如图①、图②， 根据正弦、余弦的定义得： ，，， ， ∴，． 【小问2详解】 解：如图③， 根据正弦、余弦的定义得： ， 根据（1）得： ，， 根据上述计算，可猜想：． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的值为． 24. 如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知． （1）求的度数； （2）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）； （3）若计划在景点之间栈道上设置一个观景台，使到的距离最短，请求出该最短距离（结果保留根号）． 【答案】（1） （2）景点与景点之间的距离为 （3）到最短距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）由题意可得，，，，，从而得出，，根据即可求解． （2）根据，得出，由（1）得，则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出，再根据，，求出即可求解． （3）根据垂线段最短可得时，到的距离最短，利用等面积法即可求解． 【小问1详解】 解：如图，设，， 由题意得，，，，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）得，∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，，∴， ∴， ∴景点与景点之间的距离为． 【小问3详解】 解：根据垂线段最短，当时，到的距离最短， ∵， ∴， ∴． 答：到最短距离为． 25. 综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示 请根据以上测量数据，回答问题： （1）根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） （2）该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）99米 【解析】 【分析】（1）根据正切的定义计算即可得出结果； （2）设米，则米，解直角三角形得出米，米，求出的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意得， 在中，，米， ∴（米）； 【小问2详解】 解：设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴， 解得， ∴（米）， 故塔高约为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月全县综合素养考试九年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 在中，，若将三边长度都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（ ） A. 不变 B. 扩大5倍 C. 扩大25倍 D. 缩小为原来的 2. 在中，若，则的形状是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 3. 如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为，缆车速度为每分钟米，从山脚下到达山顶缆车需要分钟，则山的高度为（ ）米. A. B. C. D. 5. 如图，一长度不变的梯子与地面的夹角为，关于，的值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ） A. 的值越小，梯子越陡 B. 的值越小，梯子越陡 C. 梯子的倾斜程度与的值无关 D. 梯子的倾斜程度与的值无关 6. 已知平面直角坐标系中，第一象限内射线与x轴正半轴的夹角为，点P在射线上，如果且，那么点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一张直角三角形纸片，其中，，．现将该直角三角形纸片沿折叠，使点与点重合，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将放在正方形网格纸上，点，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是( ) A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题：（本题共8小题，11-14每小题3分，15-18每小题4分，共28分．） 11. 已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为________. 12. 计算：_______________． 13. 在中，，则的值为____________． 14. 如图，在中，，，垂足为点，，则______． 15. 如图为一节楼梯的示意图，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要________米． 16. 如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为__________． 17. 在中，，为边上的高线，且，则_____． 18. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为_______． 三、计算题：本大题共2小题，每小题4分，共8分． 19. 计算： （1）． （2）． 四、解答题：本题共6小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，在中，，D为边上的一点，，． （1）求的长． （2）若，求的值． 21. 如图，在中，，，，点在边上，且． （1）求的长； （2）求的余弦值． 22. 如图，楼房后有一假山，的坡度为，测得与的距离为米，山坡坡面上点处有一休息亭，与山脚的距离米，小丽从楼房房顶处测得的俯角为. （1）求点到水平地面的距离； （2）求楼房的高. 23. 如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： （1）_______________；_______________； （2）观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． （3）如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． （4）若，且，求的值． 24. 如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知． （1）求的度数； （2）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）； （3）若计划在景点之间栈道上设置一个观景台，使到的距离最短，请求出该最短距离（结果保留根号）． 25. 综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示 请根据以上测量数据，回答问题： （1）根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） （2）该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $