精品解析：黑龙江佳木斯市富锦市五中四中联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年度九年级（上）第一次阶段测试 数学试卷 一、选择题（共30分，每题3分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. 2x+1=0 B. y2+x=1 C. x2+1=0 D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为（ ） A. 2或-2 B. 2 C. -2 D. 4. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（　　） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 12 5. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线上的两点，如果，那么下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线经过点和两点，则b的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点(2，0)．下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(-2，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是( ) A. ①②④ B. ③④ C. ①③④ D. ①② 二、填空题（共30分，每空3分） 11. 已知二次函数经过和，则这个二次函数的解析式为___． 12. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 13. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排21场比赛，则共有___个参赛球队． 14. 抛物线y＝关于x轴对称的抛物线的解析式是_____． 15. 在平面直角坐标系中，把抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得抛物线的解析式是_________． 16. 已知m是方程的一个根，则的值为___． 17. 函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴只有一个交点，则a的值为___________． 18. 已知二次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是___． 19. 抛物线，当时，y的取值范围是_________． 20. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的取值范围是_______． 三、解答题 21. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 22. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两根，满足．求的值． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求抛物线的解析式． （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标． 24. 如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长为x米． （1）要使鸡场面积200平方米，且长和宽都为整数，鸡场的长应为多少米？ （2）鸡场的面积能否达到210平方米，如果能直接写出此时x的值，如果不能请说明理由． 25. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价/元 … 40 60 80 … 每天销售数量/件 … 80 60 40 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式________． （2）设该公司销售这种商品每天获利元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ （3）公司想要每天获利2000元，销售单价应定为多少元？ 26. 如图，顶点为的抛物线交轴于点，交轴于、两点，直线过、两点，是位于直线下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）是抛物线对称轴上一点，则的最小值为______； （3）连接，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度九年级（上）第一次阶段测试 数学试卷 一、选择题（共30分，每题3分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. 2x+1=0 B. y2+x=1 C. x2+1=0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程判断即可． 【详解】解：A. 2x+1=0，是一元一次方程，不符合题意； B. y2+x=1，含两个未知数，不符合题意； C. x2+1=0，是一元二次方程，符合题意； D. ，不是整式方程，不符合题意； 故选C 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标是解答即可． 【详解】解：∵是抛物线的顶点式， ∴顶点坐标为． 3. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为（ ） A. 2或-2 B. 2 C. -2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，将代入方程，求解即可． 【详解】解：由题意可知：，即 将代入方程得，解得 ∴ 故选C 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与概念，解题的关键是理解一元二次方程根的意义，易错点是容易忽略二次项系数不能为0． 4. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（　　） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】解：解方程x2﹣6x+8=0得：x=2和x=4， ∵2+2=4， ∴2、2、4不能构成三角形， ∴三角形的三边长为2、4、4， 则周长为：2+4+4=10. 故选：B． 5. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除； 故选． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系． 6. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题思路为先将常数项移到等式右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，整理即可得到结果． 【详解】解： 移项得 ∵ 一次项系数为，一半的平方为 ∴ 等式两边同时加配方，得 整理得 ． 7. 已知抛物线上的两点，如果，那么下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性； 先求出二次函数的增减性，再根据增减性即可得解． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，， ， ， 故选：． 8. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得： ， 即． 9. 已知抛物线经过点和两点，则b的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线经过点和两点，点和关于对称轴对称即可求解. 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x = 抛物线过和两点,且这两点的纵坐标相同 ∴点和关于直线x =对称， ， 解得：b=2， 故答案选：D 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数的对称轴可表示为直线x=. 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点(2，0)．下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(-2，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是( ) A. ①②④ B. ③④ C. ①③④ D. ①② 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据二次函数的图象开口向下，可得a＜0，由二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，可知c＞0，由对称轴是直线x=，可得，因此可知b=﹣a＞0，即abc＜0．故①正确； 由①中知b=﹣a，可得a+b=0，故②正确； 把（2，0）代入解析式，即4a+2b+c=0．故③错误； 由（-2，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（3，y1），可得y1<y2．故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选A． 二、填空题（共30分，每空3分） 11. 已知二次函数经过和，则这个二次函数的解析式为___． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵二次函数经过和， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为. 12. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 13. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排21场比赛，则共有___个参赛球队． 【答案】7 【解析】 【分析】设邀请个球队参加比赛，由于赛制为单循环形式，即参赛的每两队之间都要比赛一场，因而每个队都比赛了场，所有队共比赛场，由于每两个队的比赛都被重复计算了一次，因而总比赛场数是场，据此列方程求解即可． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， 根据题意，得， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 即：共邀请个球队参加比赛. 14. 抛物线y＝关于x轴对称的抛物线的解析式是_____． 【答案】y＝ 【解析】 【分析】利用配方法可得抛物线的顶点坐标为（1，），先确定点（1，）关于x轴对称的对应点的坐标，由于关于x轴对称的两抛物线开口方向相反，则可根据顶点式写出对称后的抛物线解析式． 【详解】解：y＝＝， 抛物线的顶点坐标为（1，）， 点（1，）关于x轴对称的对应点的坐标为（1，4）， 所以原抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为y＝+4，即y＝． 故答案是：y＝． 【点睛】此题考查了抛物线由一般式化为顶点式，轴对称的性质，正确理解抛物线关于x轴对称的点坐标的特点是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，把抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得抛物线的解析式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，最后根据顶点坐标写出抛物线的解析式即可． 【详解】解：∵抛物的顶点坐标为， ∴向上平移2个单位，再向左平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为， ∴所得抛物线的解析式为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查的了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图像的平移以及平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键． 16. 已知m是方程的一个根，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程中得：， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴只有一个交点，则a的值为___________． 【答案】0或1或9 【解析】 【分析】分和两种情况讨论：时，函数为一次函数，与x轴只有一个交点；时，令y=0，得到一个关于x的一元二次方程，且方程的判别式，进而求出a的值． 【详解】当时， 函数解析式为：，此时为一次函数且与x轴只有一个交点； 当时，令y=0，得到，即：， 方程的判别式， ∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴有两个相同的根， ∴， 解得：，， 综上所述，a的值为0，1或者9， 故答案为：0或1或9． 【点睛】本题综合考查了一次函数、二次函数的图象与x轴交点的问题，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 18. 已知二次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，直接根据二次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴与x轴的另一个交点为， 由函数图象可知，当或时，函数图象在x轴的下方， ∴当时，自变量x的取值范围是或． 故答案为：或． 19. 抛物线，当时，y的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为3， 将代入得， 将代入得， ∴当时，， 故答案为：． 20. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】不等式可以理解为二次函数图像比一次函数图像高的部分，通过观察图像可知所求的是两个交点中间的部分，由此可以得到答案． 【详解】∵的图像为抛物线，的图像为直线， ∴不等式可以理解为二次函数函数值大于一次函数函数值的部分， 通过图像可知该部分为A，B两个交点之间，即不等式的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数图像与不等式，利用图像数形结合快速求出不等式的解集，理解不等式并能够通过观察图像得到答案是解题关键． 三、解答题 21. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可； （3）利用直接开平方法即可求得方程的解； （4）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ， ， ，； 【小问2详解】 原方程移项得：， ， 或， ； 【小问3详解】 原方程化为：， ， ； 【小问4详解】 因式分解得，， 或， ． 22. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两根，满足．求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式解答即可求解； （）利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求抛物线的解析式． （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点坐标为、 【解析】 【分析】（1）利用交点坐标求出抛物线解析式即可； （2）三角形底边在轴上，长度固定，由面积求出点纵坐标的绝对值，再代入函数解析式求横坐标． 【小问1详解】 解：二次函数的图象过，， 抛物线交点式：， 展开得：． 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：， ， 设， 的面积 ， 解得， 即或． 当时，， 即，，方程无实数解，舍去； 当时，， 即， 解得． 点坐标为、． 24. 如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长为x米． （1）要使鸡场面积200平方米，且长和宽都为整数，鸡场的长应为多少米？ （2）鸡场的面积能否达到210平方米，如果能直接写出此时x的值，如果不能请说明理由． 【答案】（1）鸡场的长应为20米； （2） 鸡场的面积不能达到210平方米，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴鸡场的面积不能达到210平方米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设鸡场的长为x米，则宽为米，根据鸡场面积200平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据鸡场面积210平方米，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设鸡场的长为x米，则宽为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：鸡场的长应为20米； 【小问2详解】 略 25. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价/元 … 40 60 80 … 每天销售数量/件 … 80 60 40 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式________． （2）设该公司销售这种商品每天获利元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ （3）公司想要每天获利2000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为75元时，每天获利最大，最大利润是2025元 （3）70元或80元 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数的应用，关键是根据利润等于单件利润乘以销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式，即可解答； （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量列出函数解析式，然后由二次函数的性质求出函数最大值； （3）把代入（2）中所求的W关于x的函数解析式，解方程即可解答． 【小问1详解】 解：∵商品的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系， ∴设， 由表可得当时，；当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，W有最大值，为2025元， ∴当销售单价为75元时，每天获利最大，最大利润是2025元． 【小问3详解】 解：当时，， 解得，， ∴公司想要每天获利2000元，销售单价应定为70元或80元． 26. 如图，顶点为的抛物线交轴于点，交轴于、两点，直线过、两点，是位于直线下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）是抛物线对称轴上一点，则的最小值为______； （3）连接，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3），面积最大值 【解析】 【分析】（1）已知抛物线顶点，设顶点式，代入点坐标求出，展开得到解析式； （2）利用抛物线对称性，、关于对称轴直线对称，则，，两点之间线段最短，最小值就是线段长度； （3）作轴交直线于，面积可以拆分为，底为，高之和等于、的水平距离，面积，先求表达式，再求面积最大值． 【小问1详解】 解：∵抛物线顶点为， ∴设抛物线顶点式：． 抛物线过，代入：， 解得， ∴， ∴抛物线解析式：． 【小问2详解】 解：令，， 解得，， ∴，． 抛物线对称轴为直线，是抛物线对称轴上一点，关于对称轴直线对称， ． ， 当三点共线时，最小，最小值为长． 已知， ∴， 最小值为． 【小问3详解】 解：设直线解析式，代入， ， ， ∴直线． 过点作轴交直线于， 设，则， ， ， 这是开口向下的二次函数，当时，面积最大． 把代入抛物线： ， ， 最大面积：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $