精品解析：黑龙江哈尔滨市第三十九中学校2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

哈39中学2026—2027学年度上学期九学年综合素养提升训练 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5，保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂玫液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的指数最高是2的整式方程是一元二次方程”进行逐一判断即可． 【详解】解：A. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B. 是一元二次方程，故符合题意； C. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D. 不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 2. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， 10 C. 8， D. 8，10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次项系数、常数项分别是，， 故选：A． 3. 对于二次函数，其图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式，直接可得顶点坐标． 【详解】解：二次函数， 其图象的顶点坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了通过二次函数顶点式写出顶点坐标，熟练掌握二次函数顶点式是解题的关键． 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用根的判别式△判断即可． 【详解】∵= ∴一元二次方程没有实数根. 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是：注意在求解根的判别式△时，正负号不要弄错了． 5. 淄博烧烤火爆出圈，各地游客纷纷“进淄赶烤”．某烧烤店5月1日收入约为5万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，5月3日收入约为9.8万元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用增长率问题列一元二次方程解题即可． 【详解】根据题意列方程为：， 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程解增长率问题，正确读懂题意列方程是解题的关键． 6. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．小球运动到最高点所需的时间是（　　） A. 2s B. 3s C. 4s D. 5s 【答案】B 【解析】 【分析】先将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数性质即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为45． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，将实际问题化为数学问题，并熟知二次函数的性质是解题关键． 7. 函数与(是常数，且)在同一坐标系中的图像可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数图像得到字母系数的正负，再与二次函数的图像相比较看是否一致． 【详解】解：A．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向下，，但是一次函数与轴的交点和二次函数与轴的交点，不是同一点，故A选项错误； B．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向下，，两者相矛盾，故B选项不正确，不符合题意； C．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向上，，且两函数相交轴于同一点，故C选项正确，符合题意； D．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向上，两者相矛盾，故D选项不正确，不符合题意 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数综合，掌握一次函数与二次函数图像的性质是解题的关键． 8. 如图是抛物线y＝a(x＋1)2＋2的一部分，该抛物线在y轴右侧部分与x轴的交点坐标是( ) A. (，0) B. (1，0) C. (2，0) D. (3，0) 【答案】B 【解析】 【详解】根据图表，可得抛物线y=a(x+1)2+2与x轴的交点坐标为(−3，0)；将(−3，0)代入y=a(x+1)2+2，可得a(−3+1)2+2=0，解得a=−；所以抛物线的表达式为y=−(x+1)2+2；当y=0时，可得−(x+1)2+2=0，解得x1=1，x2=−3，所以该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是(1，0)． 故选 B. 9. 二次函数的图象如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次函数是顶点式，开口向上，可求出二次函数的最小值，然后结合函数图像求出最大值即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为，1＞0， ∴当时，二次函数有最小值， ∵由函数图像可知，二次函数的最大值为3， ∴当时，， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解． 10. 如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，当时，两种情形，确定解析式，然后判断即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点以的速度从点出发沿运动， ∴， 当时，如图， ∴； 当时，如图， ∵点以的速度从点出发沿运动， ∴， ∴， ∴； 选项符合题意． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 11. 已知是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入得： ， 解得． 故答案为：． 12. 若，是一元二次方程的两个根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得，，代入数值计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根，方程中二次项系数，一次项系数，常数项， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握，是一元二次方程的两个根时，，是解题关键． 13. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到抛物线的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式是：． 14. 已知等腰三角形的底边长为7，腰长是的一个根，则这个三角形周长为_______． 【答案】17 【解析】 【分析】求出方程的解，得出两组情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可． 【详解】解：， ， ，， ，， 即①等腰三角形的三边为7，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是； ②等腰三角形的三边为3，3，7，此时不符合三角形三边关系定理， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系定理，等腰三角形性质的应用，关键是确定三角形的三边长． 15. 已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的顶点坐标，一元二次方程的判别式等， 熟练掌握相关知识点，从图象中获取信息是解题的关键； 根据函数图象可得，，进一步可得，再由方程有两个不相等的实数根， 转化为，解不等式可得的取值范围． 【详解】解：由图知，抛物线开口向下，顶点坐标为， ，，， 方程可化为， 由题知，， ， ， 又， 解得． 的取值范围是． 故答案为：． 16. 定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．若（k为实数）是关于x的方程，且是这个方程的一个根，则k的值是________． 【答案】1或4 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键． 根据新定义得到，再由一元二次方程的解得到，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∵是这个方程的一个根， ∴， 整理得， 解得， 答案：1或4． 17. 如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 18. 某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为，）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用待定系数法求出的解析式，再根据形状相同， 得出抛物线的二次项系数为，进一步即可求解． 【详解】解：∵， ∴设的解析式为：， 且当时，， 则， 解得：， 故的解析式为：， ∵形状相同， ∴抛物线的二次项系数为：， ∵， ∴，， 则的解析式为：， 故当时，，即的最大高度为． 19. 抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为_____________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据形状相同，可得值，根据顶点坐标，可得值，可得函数解析式． 【详解】解：线与的形状相同， ． 其顶点坐标是， 其表达式为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是利用了值相同函数的形状相同，待定系数法求函数的解析式． 20. 如图，正方形的边长为6，点E、F分别在边、上，且，连接，平分，连接，分别交、于点，点P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，下列结论：①垂直平分；②；③点M到的距离为；④的最小值为．其中一定正确的结论的序号为__________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据正方形的性质，三角形的全等，垂直平分线的定义，可得①正确；根据正方形的性质，三角形的全等，平行线分线段成比例，可得②正确；过点M作，根据相似三角形的性质，可得③正确；根据垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，可得④错误． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 垂直平分，①正确； 垂直平分，点P在上， ， ， 要使最小，即求的最小值， 当D，P，N三点共线且时，取得最小值，最小值为点D到的距离， 如下图，作，交于点， ， ， ， ，即， 解得， 的最小值为，④错误； 四边形是正方形， ，， ， 由上可知： ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，②正确； 如下图，过点M作， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ，即， 解得，③正确， 综上所述：①②③正确． 三、解答题（共计60分，其中21题6分；22-24题8分；25-27题10分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，先根据二次根式的性质进行化简，再结合二次根式的减法法则计算得出的值，最后代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当时， 原式． 22. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．（不写作法，保留痕迹） （1）图1中，在上画一点，使； （2）图2中，点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离________． 【答案】（1）如图所示， （2）如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，线段垂直平分线的判定与性质， 熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点E，连接并延长交于D，则点D即为所求； （2）取格点F，连接交于E，则点E即为所求． 【小问1详解】 解：取格点E，连接并延长交于D，则点D即为所求； 利用勾股定理可证明，利用勾股定理的逆定理可证明，则是等腰直角三角形，即； 【小问2详解】 解：取格点F，连接交于E，则点E即为所求； 可证明，则垂直平分， 则， 故， 则三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，即． 23. 为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗 文化知识竞赛 ”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20 名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用 x 表示，共分为四组：A.，B.，C.，D．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86.6 m 86 九年级 86.6 88.5 n 八年级抽取的竞赛成绩在 B 组中的数据为：89 ，88 ，86 ，86 ，86 ，86． 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99 ，98 ，96 ，96 ，94 ，92 ，92 ，90 ，90 ，89 ，88 ，88 ，88 ，82， 81 ，77 ，77 ，76 ，73 ，66． 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空： ， ，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）规定在 90分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有 1600名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 【答案】（1）87，88； 补全八年级的成绩条形统计图如图： （2）八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有 680 人 【解析】 【分析】此题考查条形统计图，求中位数，众数， （1）根据中位数和众数定义解答，求出D组人数并补充条形统计图； （2）用优秀人数除以样本数据，再乘以总人数即可 【小问1详解】 解：根据条形统计图和 B 组数据可知，第 10 个数为 88 ，第 11 个数为 86， ∴八年级的中位数为 ∴； 由九年级取的所有学生竞赛成绩数据可知，出现最多的数据为88， ∴九年级的众数为 88， ∴． 故答案为：87 ，88； ∵八年级抽查的学生人数为 20 人， ∴（人）， ∴D 组人数为 2 人， 略； 【小问2详解】 解： （人） 答：八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有 680 人． 24. 如图，是矩形的边上一点，连接，，于点． （1）求证：； （2）若，，在线段上有一点（不与和重合），连接，当的长度为正整数时，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）或或或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，，再证明得出，即可得证； （2）由（1）可得，，求出，，，连接，由勾股定理可得，由题意可得，结合的长度为正整数，得出的长度为、、、，分情况分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得：，， ∴，，， 如图，连接， ∴， ∵在线段上有一点（不与和重合）， ∴， ∵的长度为正整数， ∴的长度为、、、， 当时，此时点与点重合，， 当时， 此时， ∴； 当时， 此时， ∴； 当时， 此时， ∴； 综上所述，的长为或或或． 25. 某商品的进价为每件40元，售价每件不低于50元且不高于80元．售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．如果每件商品的售价每降价1元，则每个月多卖1件，设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣x2+200x﹣6400（50≤x≤60且x为整数），y＝﹣2x2+300x﹣8800（60＜x≤80且x为整数）；（2）每件商品的售价定为75元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元. 【解析】 【分析】（1）由于售价为60时，每个月卖100件，售价上涨或下调影响销量，因此分为50≤x≤60和60＜x≤80两部分求解； （2）由（1）中求得的函数解析式来根据自变量x的范围求利润的最大值． 【详解】解：（1）当50≤x≤60时，y＝（x﹣40）（100+60﹣x）＝﹣x2+200x﹣6400； 当60＜x≤80时，y＝（x﹣40）（100﹣2x+120）＝﹣2x2+300x﹣8800； ∴y＝﹣x2+200x﹣6400（50≤x≤60且x为整数） y＝﹣2x2+300x﹣8800（60＜x≤80且x为整数）； （2）当50≤x≤60时，y＝﹣（x﹣100）2+3600； ∵a＝﹣1＜0，且x的取值在对称轴的左侧， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝60时，y有最大值2000； 当60＜x≤80时，y＝﹣2（x﹣75）2+2450； ∵a＝﹣2＜0， ∴当x＝75时，y有最大值2450． 综上所述，每件商品的售价定为75元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元． 【点睛】本题考查的是函数方程和实际结合的问题，同学们需掌握最值的求法． 26. 【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． （1）操作观察： 如图1所示，小华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则___________， （填“”，“”或“”）； （2）判断与证明： 如图2所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，请判断四边形的形状并证明： （3）迁移应用： 如图3所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长． 【答案】（1）， （2） 解：四边形是菱形，证明如下： 四边形是矩形， ， 又， 四边形是平行四边形；  ， ， 由折叠得， ， ， 四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠得，由得，结合即可求解； （2）由，，证明四边形是平行四边形，同①证明，推出，即可证明四边形是菱形； （3）由折叠得，，，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解和，最后用勾股定理解即可． 【小问1详解】 解：由折叠得， ， ， 矩形中， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形是矩形， ，，， 中，，， ， ， 由折叠得，，， ， 又，， ， 如图，过点E作于点G， ， ， ， ． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，点在抛物线上，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，M为线段上一点（点M不与A、C重合），N为x轴上点B右侧一点，连接、，若，点的横坐标为t，的长为d，求d关于t的函数解析式（不需要写出自变量取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，F为线段上一点，连接，，交于点，连接，交于点D，连接，点R在的延长线上，连接、、，若，，，求点N的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出点坐标为，点坐标为，点坐标为．从而可得为等腰直角三角形，直线的解析式为．设点的坐标为，点为线段的中点，从、两点分别作轴的平行线与轴相交于、两点，根据三角形中位线定理可得，即．结合、两点都在第二象限，得出，，证明为等腰直角三角形，求出，即可得解； （3）延长交轴于点，再延长与的延长线交于点，证明，得出，求出直线的解析式为，设点坐标为，点坐标为，求出点坐标为，点坐标为，直线的解析式为：．从而可得点坐标为，再结合两点间的距离公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：把点坐标代入抛物线解析式得， 解得． 故抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， 则点坐标为，点坐标为． 令，，则点坐标为． ，为等腰直角三角形． 故直线可以看作直线向上平移了6个单位长度，则直线的解析式为． 设点的坐标为，点为线段的中点，从、两点分别作轴的平行线与轴相交于、两点，如图所示： 根据三角形中位线定理可得，即． ∵、两点都在第二象限， ，， 由等腰三角形的性质可得，， ∴为等腰直角三角形． ． ， ． ． 【小问3详解】 解：如图，延长交轴于点，再延长与的延长线交于点． ∵，，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， 由于，，，根据平行线间距离相等可得． ， ． 在和中 ， ∴． ． 设直线的解析式为． 把、两点坐标代入得， 解得． 则直线的解析式为． 由于、两点均在直线上， 设点坐标为，点坐标为， ，， ∴点坐标为． 而，， ∴点坐标为． 由、两点坐标同理求得直线的解析式为：． 点在直线上，则， 解得， ∴点坐标为． ∵，，， ， 解得； ，，， ， 解得． ， 由（2）可得，． ， 故点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈39中学2026—2027学年度上学期九学年综合素养提升训练 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5，保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂玫液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， 10 C. 8， D. 8，10 3. 对于二次函数，其图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 5. 淄博烧烤火爆出圈，各地游客纷纷“进淄赶烤”．某烧烤店5月1日收入约为5万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，5月3日收入约为9.8万元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．小球运动到最高点所需的时间是（　　） A. 2s B. 3s C. 4s D. 5s 7. 函数与(是常数，且)在同一坐标系中的图像可能是( ) A. B. C. D. 8. 如图是抛物线y＝a(x＋1)2＋2的一部分，该抛物线在y轴右侧部分与x轴的交点坐标是( ) A. (，0) B. (1，0) C. (2，0) D. (3，0) 9. 二次函数的图象如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 11. 已知是方程的一个根，则的值为______． 12. 若，是一元二次方程的两个根，则___________． 13. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到抛物线的解析式为__________． 14. 已知等腰三角形的底边长为7，腰长是的一个根，则这个三角形周长为_______． 15. 已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 16. 定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．若（k为实数）是关于x的方程，且是这个方程的一个根，则k的值是________． 17. 如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 18. 某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为，）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为________米． 19. 抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为_____________． 20. 如图，正方形的边长为6，点E、F分别在边、上，且，连接，平分，连接，分别交、于点，点P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，下列结论：①垂直平分；②；③点M到的距离为；④的最小值为．其中一定正确的结论的序号为__________. 三、解答题（共计60分，其中21题6分；22-24题8分；25-27题10分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．（不写作法，保留痕迹） （1）图1中，在上画一点，使； （2）图2中，点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离________． 23. 为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗 文化知识竞赛 ”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20 名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用 x 表示，共分为四组：A.，B.，C.，D．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86.6 m 86 九年级 86.6 88.5 n 八年级抽取的竞赛成绩在 B 组中的数据为：89 ，88 ，86 ，86 ，86 ，86． 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99 ，98 ，96 ，96 ，94 ，92 ，92 ，90 ，90 ，89 ，88 ，88 ，88 ，82， 81 ，77 ，77 ，76 ，73 ，66． 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空： ， ，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）规定在 90分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有 1600名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 24. 如图，是矩形的边上一点，连接，，于点． （1）求证：； （2）若，，在线段上有一点（不与和重合），连接，当的长度为正整数时，直接写出的长． 25. 某商品的进价为每件40元，售价每件不低于50元且不高于80元．售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．如果每件商品的售价每降价1元，则每个月多卖1件，设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 26. 【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． （1）操作观察： 如图1所示，小华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则___________， （填“”，“”或“”）； （2）判断与证明： 如图2所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，请判断四边形的形状并证明： （3）迁移应用： 如图3所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，点在抛物线上，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，M为线段上一点（点M不与A、C重合），N为x轴上点B右侧一点，连接、，若，点的横坐标为t，的长为d，求d关于t的函数解析式（不需要写出自变量取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，F为线段上一点，连接，，交于点，连接，交于点D，连接，点R在的延长线上，连接、、，若，，，求点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $