精品解析：黑龙江省佳木斯市富锦市两校联考2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试题

2025-2026学年度（上）九年级第二次月考数学试题 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算中，计算正确的（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象与y轴交点坐标是 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象与x轴交于点， D. 顶点坐标为 4. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5. 如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数是（　　） A. 65° B. 60° C. 55° D. 50° 6. 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为 A. 6， B. ，3 C. 6，3 D. ， 7. 如图，在的图象上，有三点A，B，C，过这三点分别向y轴引垂线，垂足分别为，连接，的面积分别为，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A. B. C. D. 9. 某人打算用40元购买单价分别为3元、4元的两种物品（两种物品都买），在钱恰好用尽的情况下，购买方案有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 10. 下列说法中正确的序号是（ ） ①过平面上三点可以作一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③三角形的外心是角平分线的交点：④三角形的内心到各边的距离相等；⑤平面上一点到圆心的距离大于半径时，这点在圆内；⑥圆内接正多边形中心角等于正多边形的外角． A. ②④⑥ B. ④⑥ C. ④⑤⑥ D. ①② 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 12. 如图，在平行四边形中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件____，使平行四边形是矩形． 13. 若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 14. 如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点在圆上，且，则的半径为_____． 15. 已知，的半径为，弦，，，则与之间的距离为________． 16. 若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的母线长为____ cm． 17. 一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是______． 18. 双曲线在每个象限内，函数值y随x值的增大而增大，则k的取值范围是___． 19. 如图，等腰直角中，，，为线段上一动点，连接，过点作于，连接，则的最小值为_______． 20. 如图，的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，若由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，点A所经过的路线的长为________________（结果用含的式子表示）． 二、解答题 21. 一辆车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，端点为和． （1）求k和m的值； （2）若行驶速度为，则汽车通过该路段需多少时间？ 22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点分别为． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 23. 如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，且与x轴交于A（﹣2，0）． （1）求此二次函数解析式及顶点B的坐标； （2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，直接写出点P的坐标． 24. 如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C．∠DAB=∠B=30°． （1）直线BD是否与⊙O相切？为什么？ （2）连接CD，若CD=5，求AB的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=（x＜0）的图象交于点P、点Q． （1）求点P的坐标； （2）若△POQ的面积为8，求k的值． 26. 如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一点，连接AD，并将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE （1）求证：∠ADB＝∠AEC； （2）如图2，当点D为BC中点时，连接DE交AC于点F，直接写出长度等于CF的所有线段． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）P是第一象限内反比例函数图像上一点，过点P作y轴的平行线，交直线于点，连接，若的面积为3，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）九年级第二次月考数学试题 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算中，计算正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算和根式的运算，正确运用整式和根式的运算法则是解题关键．需根据运算法则逐一判断各选项是否正确． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意； D中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 3. 已知二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象与y轴交点坐标是 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象与x轴交于点， D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质（与坐标轴交点、单调性、顶点坐标），解题关键是通过配方或公式分析二次函数的开口方向、对称轴等核心特征． 通过计算二次函数的性质，包括与坐标轴的交点、增减性和顶点坐标，判断各选项的正误． 【详解】∵ 二次函数 ， 对于A：当 时，，∴ 图象与轴交点为 ，正确； 对于B：对称轴 ，∵ ，∴ 当 时，随增大而减小，时，y随x的增大而减小，正确； 对于C：解方程 ，得 或 ，∴ 图象与轴交点为 和 ，正确； 对于D：顶点横坐标 ，，∴ 顶点坐标为 ，不是 ，错误． 故选D． 4. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数是 人，则第一轮传染中有 人被传染新冠肺炎，第二轮传染中有 人被传染新冠肺炎， 根据“有一个人患了新冠肺炎， 经过两轮传染后共有 169 人患了新冠肺炎”， 即可得出关于 的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论． 【详解】设每轮传染中平均一个人传染的人数是 人， 则第一轮传染中有 人被传染新冠肺炎，第二轮传染中有 人被传染新冠肺炎， 依题意得： ， 解得： ( 不合题意，舍去) ∴每轮传染中平均一个人传染的人数是 12 人， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数是（　　） A. 65° B. 60° C. 55° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】先由切线的性质得到，再由三角形内角和定理和对顶角相等得到，再根据等边对等角结合三角形内角和定理求出即可得到答案． 【详解】解：∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 故选A． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，灵活运用所学知识是解题的关键． 6. 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为 A. 6， B. ，3 C. 6，3 D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度： 如图， ∵正方形的边长为6，∴AB=3． 又∵∠AOB=45°，∴OB=3． ∴AO=． 故选B． 7. 如图，在的图象上，有三点A，B，C，过这三点分别向y轴引垂线，垂足分别为，连接，的面积分别为，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数 k 的几何意义，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．过图象上任意一点向 轴作垂线，该点、垂足及原点 O 构成的直角三角形面积恒为，与点的具体位置无关． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴设， 同理可得 ∴． 故选：D． 8. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析．根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可． 【详解】解：根据题意可得，一次函数表达式为， A、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则， ∴一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象不符，故A不符合题意； B、反比例函数的图象在二、四象限可知当，则， ∴一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，故B不符合题意； C、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则， ∴一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象相符，故C符合题意； D、由反比例函数的图象在二、四象限可知当，则， ∴一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，故D不符合题意； 故选：C． 9. 某人打算用40元购买单价分别为3元、4元的两种物品（两种物品都买），在钱恰好用尽的情况下，购买方案有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，一元一次不等式的应用，正确理解题意建立方程是解题的关键． 设购买3元物品x件，4元物品y件，根据题意列出方程，且为正整数，通过求解方程的正整数解，得到购买方案． 【详解】解：设购买3元物品x件，4元物品y件， ∴由题意得，且为正整数， ∴ 解得，， ∴ ∵y为正整数， ∴为的倍数 ∴ x可取4，8， 12， 当时，， 当时，， 当时，， 故购买方案有3种， 故选：A． 10. 下列说法中正确的序号是（ ） ①过平面上三点可以作一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③三角形的外心是角平分线的交点：④三角形的内心到各边的距离相等；⑤平面上一点到圆心的距离大于半径时，这点在圆内；⑥圆内接正多边形中心角等于正多边形的外角． A. ②④⑥ B. ④⑥ C. ④⑤⑥ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关知识，正多边形与圆的知识，根据确定圆的条件可判断①；根据垂径定理可判断②；根据外心和内心的定义可判断③和④；根据点与圆的位置关系可判断⑤；根据中心角的定义和正多边形外角和定理可判断⑥． 【详解】解：①平面内，过不在同一直线上的三点可以作一个圆，原说法错误． ② 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误． ③ 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，不是角平分线的交点，原说法错误． ④ 三角形的内心是角平分线的交点，到三边的距离相等，原说法正确． ⑤ 平面上一点到圆心的距离大于半径时，点在圆外，而不是圆内，原说法错误． ⑥ 圆内接正多边形的中心角（中心角的度数为）等于正多边形的外角（一个外角的度数为）原说法正确． 综上，正确的序号是④和⑥， 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】. 【解析】 【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须. 12. 如图，在平行四边形中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件____，使平行四边形是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键．根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”填空． 【详解】解：添加条件： 理由：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形（矩形的定义）． 故答案是：（答案不唯一）． 13. 若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值进而得出答案． 【详解】∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称， ∴a＝2，b＝﹣1， 则a+b＝2﹣1＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 14. 如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点在圆上，且，则的半径为_____． 【答案】5cm 【解析】 【分析】连接BC，由题意易得，进而问题可求解． 【详解】解：连接BC，如图所示： ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴的半径为5cm； 故答案为5cm． 【点睛】本题主要考查圆周角定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键． 15. 已知，的半径为，弦，，，则与之间的距离为________． 【答案】2或14 【解析】 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，利用分类讨论的思想和垂径定理是解本题的关键．当两条弦位于圆心O一侧时，如图所示，过圆心O作，交于点F，交于点E，连接，，由，得到，利用垂径定理得到E与F分别为与的中点，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，即可求出的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图所示，同理即可求出的长． 【详解】解：当两条弦位于圆心O一侧时，如图所示，过圆心O作，交于点F，交于点E，连接，， ∵， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴，， 在中，，，根据勾股定理得：， 在中，，，根据勾股定理得：， 则与之间的距离； 当两条弦位于圆心O两侧时，如图所示，同理可得， 综上所述，弦与的距离为或． 故答案为：2或14． 16. 若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的母线长为____ cm． 【答案】4 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图可知圆锥底面圆的周长即为侧面展开图的弧长，然后由题意可进行求解． 【详解】解：设母线长为R，由题意得： ， ∴， 解得：， ∴这个圆锥的母线长为4cm， 故答案为4． 【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长计算，熟练掌握圆锥侧面展开图及弧长计算是解题的关键． 17. 一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出树状图，然后求解概率即可得出答案． 【详解】解：由题意得： ∴两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是； 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键． 18. 双曲线在每个象限内，函数值y随x值的增大而增大，则k的取值范围是___． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，可得反比例函数比例系数小于0，解不等式即可求解． 【详解】解：∵双曲线在每个象限内，函数值y随x值的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 19. 如图，等腰直角中，，，为线段上一动点，连接，过点作于，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，是定值，可知点是在以为直径的半圆上运动，当、、三点共线时，最短，借助勾股定理求解． 【详解】解：，是定值， 点是在以为直径的半圆上运动（不包括点和点）， 连接，则． ， 当、、三点共线时，最短，此时． 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是找准点运动的轨迹． 20. 如图，的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，若由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，点A所经过的路线的长为________________（结果用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1，AB=2BC=2，；点A先是以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到，再以点为旋转中心，顺时针旋转90°到，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长； 【详解】 解：∵中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°． ∵在直线l上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个的长，2个的长， ∴点A经过的路线长= 故答案为： 【点睛】本题考查了弧长公式（其中n为圆心角度数，r为班级），旋转的性质，以及含30度的直角三角形三边关系，熟练运用相关知识点是解题关键 二、解答题 21. 一辆车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，端点为和． （1）求k和m的值； （2）若行驶速度为，则汽车通过该路段需多少时间？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）将点代入，求得k，再把点B代入求出的解析式中，求得m的值； （2）求出时的t值即可． 【小问1详解】 解：由题意得，函数经过点， ，得， ∴函数关系式为： 把代入，得； 【小问2详解】 解：当时，． 答：汽车通过该路段需． 22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点分别为． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）图见详解，；（2）图见详解，；（3）所经过的路径长为． 【解析】 【分析】（1）分别作出点A、B关于x轴的对称点，然后依次连接即可，最后通过图象可得点的坐标； （2）根据旋转的性质分别作出点A、B绕点O旋转90°的点，然后依次连接，最后根据图象可得点的坐标； （3）由（2）可先根据勾股定理求出OB的长，然后根据弧长计算公式进行求解． 【详解】解：（1）如图所示： ∴由图象可得； （2）如图所示： ∴由图象可得； （3）由（2）的图象可得：点B旋转到点所经过的路径为圆弧， ∵， ∴点B旋转到点所经过的路径长为． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式，熟练掌握旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式是解题的关键． 23. 如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，且与x轴交于A（﹣2，0）． （1）求此二次函数解析式及顶点B的坐标； （2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x，B（﹣1，1）；（2）P1（﹣3，﹣3），P2（1，﹣3）． 【解析】 【分析】（1）把A（-2，0）、O（0，0）代入解析式y=-x2+bx+c，可得出二次函数解析式，即可得出B的坐标； （2）利用三角形的面积可得出P点的纵坐标，可求出点P的横坐标，即可得出点P的坐标． 【详解】解：（1）将A（-2，0）、O（0，0）代入解析式y=x2+bx+c，得c=0，-4-2b+c=0， 解得c=0，b=-2， 所以二次函数解析式：y=-x2-2x， 顶点B坐标 （-1，1）； （2）∵AO=2，S△AOP=3， ∴P点的纵坐标为：±3， ∴-x2-2x=±3， 当-x2-2x=3是此方程无实数根， ∴当-x2-2x=-3时， 解得：x1=1，x2=-3， ∴P1 （-3，-3），P2（1，-3）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式与图象上点的坐标特征，解题的关键是正确求出二次函数的表达式． 24. 如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C．∠DAB=∠B=30°． （1）直线BD是否与⊙O相切？为什么？ （2）连接CD，若CD=5，求AB的长． 【答案】 （1）直线BD与⊙O相切． 理由：如图 连接OD，CD， ∵∠DAB=∠B=30°， ∴∠ADB=120°， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD=30°， ∴∠ODB=∠ADB﹣∠ODA=120°﹣30°=90°． 所以直线BD与⊙O相切； （2）AB=15． 【解析】 【分析】（1）连接OD，通过计算得到∠ODB=90°，证明BD与⊙O相切． （2）△OCD是边长为5的等边三角形，得到圆的半径的长，然后求出AB的长 【详解】解：（1）略 （2）连接CD， ∠COD=∠OAD+∠ODA=30°+30°=60°， 又OC=OD ∴△OCD是等边三角形， 即：OC=OD=CD=5=OA， ∵∠ODB=90°，∠B=30°， ∴OB=10， ∴AB=AO+OB=5+10=15． 25. 如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=（x＜0）的图象交于点P、点Q． （1）求点P的坐标； （2）若△POQ的面积为8，求k的值． 【答案】（1）点坐标为；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出P点的纵坐标，再代入函数解析式，即可求出答案； （2）根据三角形的面积公式求出PQ，求出MQ，求出点Q的坐标，即可求出答案． 【详解】解：∵轴， ∴点的纵坐标为， 把代入得， ∴点坐标为； ∵， ∴， ∴， 而， ∴． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． 26. 如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一点，连接AD，并将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE （1）求证：∠ADB＝∠AEC； （2）如图2，当点D为BC中点时，连接DE交AC于点F，直接写出长度等于CF的所有线段． 【答案】（1）见解析；（2）AD、AE、DE 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质可知AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，再结合旋转的性质利用SAS证明△BAD≌△CAE，最后即可证明结论； （2）先证明△ADE是等边三角形，据此得出AD＝AE＝DE，然后利用等边三角形性质与直角三角形性质进一步得出答案即可. 【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°， ∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC； （2）∵△ABC为等边三角形，点D为BC中点， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°，AD⊥BC， ∵AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE＝DE， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠BAD＝∠CAE＝30°，CD＝CE，∠ACD＝∠ABC＝∠ACE＝60°， ∵CD＝CE，AD＝AE， ∴AC⊥DE，且∠ACD＝60°， ∴DF＝CF，且AC⊥DE，∠DAC＝30° ∴AD＝2CF＝AE＝DE． 【点睛】本题主要考查了等边三角形性质及判定与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）P是第一象限内反比例函数图像上一点，过点P作y轴的平行线，交直线于点，连接，若的面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1），； （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合， （1）把A点的坐标代入已知的函数解析式，求得a的值，然后利用待定系数法求出函数的解析式，联立方程组求出交点B； （2）如图，过点作轴，根据解析式设出P点的坐标，再由的面积求解即可得到P点的坐标． 【详解】解：（1）把代入，可得， ∴， 把代入，可得， ∴反比例函数的表达式为， ∵根据函数的对称性，点B与点A关于原点对称， ∴． （2）如图：过点作轴，连接， 设，则， 则， 解得或，（由于，负值已舍去）． 经检验，和，都是所列方程的解， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $