2.4 用因式分解法求解一元二次方程 课后练习题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 · 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 课后练习题（2025—2026学年 北师大版 九年级数学上册） 考试时间：45分钟 满分：100分 命题范围：2.4 因式分解法解一元二次方程 注意事项：本卷共三大题，20小题。解方程请优先考虑因式分解法，写出必要的分解过程；解答题需写出完整步骤。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．用因式分解法解一元二次方程的核心数学思想是（ ） A．分类讨论思想 B．转化与降次思想 C．数形结合思想 D．函数与方程思想 2．方程 x(x-3)=0 的解是（ ） A．x=0 B．x=3 C．x₁=0，x₂=3 D．x₁=0，x₂=-3 3．方程 (x+2)(x-5)=0 的两根分别为（ ） A．x₁=2，x₂=5 B．x₁=-2，x₂=5 C．x₁=2，x₂=-5 D．x₁=-2，x₂=-5 4．用因式分解法解方程 x²-6x+8=0，下列分解正确的是（ ） A．(x+2)(x+4)=0 B．(x-2)(x-4)=0 C．(x-2)(x+4)=0 D．(x+2)(x-4)=0 5．方程 2x²-8=0 的解是（ ） A．x=2 B．x=2，x=-2 C．x=4 D．x₁=2，x₂=-2 6．若一元二次方程 x²+bx+c=0 的两根为 x₁=1，x₂=-3，则这个方程可以是（ ） A．x²-2x+3=0 B．x²+2x-3=0 C．x²-3x+2=0 D．x²+3x-2=0 7．一个等腰三角形的两边长分别是方程 x²-9x+18=0 的两个根，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．12 B．15 C．12或15 D．18 8．对于方程 (x-3)²=2(x-3)，最简便的解法是（ ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 9．方程 3x²-5x=0 的根是________。 10．方程 x²=7x 的根是________。 11．方程 (2x-1)²=9 的根是________。 12．请写一个以 x₁=2，x₂=-5 为根的一元二次方程（二次项系数为1）：________。 13．已知 x=2 是方程 x²+ax-6=0 的一个根，则 a=________。 14．现定义一种新运算“★”：对于任意两个实数 a、b，有 a★b=a²-b²。根据规则，方程 (x+2)★5=0 的解为________。 三、解答题（本大题共6小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分8分）用因式分解法解下列方程： （1）x²-7x=0；（2分） （2）x²-9=0；（2分） （3）x²-6x+9=0；（2分） （4）x²-5x+6=0。（2分） 16．（本题满分8分）选择适当的方法解下列方程： （1）3x(x-2)=2(x-2)；（4分） （2）(x+1)(x-1)=2x。（4分） 17．（本题满分8分） 某社区有一块长方形健身广场，长比宽多5米，面积为150平方米。 （1）求这块健身广场的长和宽；（5分） （2）物业计划在广场中间修一个正方形健身器材区，器材区面积是原广场面积的1/6，求正方形器材区的边长。（3分） 18．（本题满分8分） 某手机店9月份销售某型号手机100台，10月、11月销售量持续增长，11月份达到144台。设10月、11月的平均月增长率相同。 （1）求平均月增长率；（5分） （2）由于市场竞争加剧，预计12月份销售量的增长率将比前两个月的平均月增长率减少10个百分点，求12月份预计销售多少台。（3分） 19．（本题满分10分） 阅读下面的例题： 解方程：x²-|x|-2=0。 解：原方程可化为 |x|²-|x|-2=0。 令 y=|x|，原方程化为 y²-y-2=0。 因式分解得 (y-2)(y+1)=0，解得 y₁=2，y₂=-1。 当 y=2 时，|x|=2，∴x=±2；当 y=-1 时，|x|=-1，不合题意，舍去。 ∴原方程的解为 x₁=2，x₂=-2。 请参照例题的方法，解方程：(x-1)²-2|x-1|-3=0。 20．（本题满分10分） 已知关于 x 的一元二次方程 x²-(k+2)x+2k=0。 （1）求证：无论 k 取何值，方程总有实数根；（4分） （2）若等腰三角形 ABC 的一边长 a=1，另两边长 b、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长。（6分） 参考答案与解析 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．B 【解析】因式分解法通过将二次方程分解为两个一次因式的乘积，把二次方程转化为两个一元一次方程来求解，体现了转化与降次的数学思想。故选B。 2．C 【解析】由x(x-3)=0，得x=0或x-3=0，解得x₁=0，x₂=3。注意不要漏解。故选C。 3．B 【解析】由(x+2)(x-5)=0，得x+2=0或x-5=0，解得x₁=-2，x₂=5。故选B。 4．B 【解析】用十字相乘法：x²-6x+8=(x-2)(x-4)，因为(-2)×(-4)=8，(-2)+(-4)=-6。故选B。 5．D 【解析】先化简：2x²=8，x²=4。用平方差公式：x²-4=0，(x+2)(x-2)=0，解得x₁=2，x₂=-2。注意B选项写法不规范，应为x₁=2，x₂=-2。故选D。 6．B 【解析】以1和-3为根的方程为(x-1)(x+3)=0，展开得x²+2x-3=0。故选B。 7．B 【解析】解方程x²-9x+18=0，因式分解得(x-3)(x-6)=0，两根为3和6。等腰三角形三边可能为(3,3,6)或(6,6,3)。但(3,3,6)不满足三角形三边关系（3+3=6，不能构成三角形），所以三边为6,6,3，周长=6+6+3=15。故选B。 8．D 【解析】方程两边都有(x-3)，若直接移项得(x-3)²-2(x-3)=0，提公因式(x-3)得(x-3)(x-3-2)=0，即(x-3)(x-5)=0，非常简便。注意不要直接两边除以(x-3)，会丢根。故选D。 二、填空题（每小题4分，共24分） 9．x₁=0，x₂=5/3 【解析】提公因式x：x(3x-5)=0，得x=0或3x-5=0，解得x₁=0，x₂=5/3。 10．x₁=0，x₂=7 【解析】移项得x²-7x=0，提公因式x：x(x-7)=0，解得x₁=0，x₂=7。注意不要直接两边除以x，会丢根x=0。 11．x₁=2，x₂=-1 【解析】用平方差公式：(2x-1)²-9=0，即(2x-1+3)(2x-1-3)=0，(2x+2)(2x-4)=0，解得x₁=-1，x₂=2。 12．x²+3x-10=0 【解析】以2和-5为根的方程为(x-2)(x+5)=0，展开得x²+3x-10=0。答案不唯一，二次项系数为1即可。 13．a=1 【解析】将x=2代入方程：2²+2a-6=0，即4+2a-6=0，解得a=1。 14．x₁=3，x₂=-7 【解析】根据新运算规则：(x+2)★5=(x+2)²-5²=0，即(x+2)²-25=0。用平方差公式分解：(x+2+5)(x+2-5)=0，即(x+7)(x-3)=0，解得x₁=3，x₂=-7。 三、解答题（共52分） 15．（本题满分8分） 解：（1）提公因式x，得 x(x-7)=0， ……1分 ∴x=0 或 x-7=0， ……1分 解得 x₁=0，x₂=7。 （2）用平方差公式：x²-9=(x+3)(x-3)=0， ……1分 ∴x+3=0 或 x-3=0， ……1分 解得 x₁=-3，x₂=3。 （3）用完全平方公式：x²-6x+9=(x-3)²=0， ……1分 ∴x-3=0（重根）， ……1分 解得 x₁=x₂=3。 （4）十字相乘法：x²-5x+6=(x-2)(x-3)=0， ……1分 ∴x-2=0 或 x-3=0， ……1分 解得 x₁=2，x₂=3。 16．（本题满分8分） 解：（1）移项得 3x(x-2)-2(x-2)=0， ……1分 提公因式(x-2)，得 (x-2)(3x-2)=0， ……2分 ∴x-2=0 或 3x-2=0， ……1分 解得 x₁=2，x₂=2/3。 （2）展开得 x²-1=2x，移项得 x²-2x-1=0。 ……1分 此方程不易因式分解，用公式法： ……1分 a=1，b=-2，c=-1，Δ=b²-4ac=4+4=8， ……1分 x=(2±√8)/2=(2±2√2)/2=1±√2， ……1分 解得 x₁=1+√2，x₂=1-√2。 17．（本题满分8分） 解：（1）设宽为x米，则长为(x+5)米。 ……1分 根据题意，得 x(x+5)=150。 ……1分 整理得 x²+5x-150=0。 ……1分 因式分解：(x+15)(x-10)=0， ……1分 解得 x₁=10，x₂=-15（不合题意，舍去）。 ……1分 ∴宽=10米，长=10+5=15米。 ……1分 （2）正方形器材区面积=150×1/6=25（平方米）。 ……1分 ∴边长=√25=5（米）。 ……1分 18．（本题满分8分） 解：（1）设平均月增长率为x。 ……1分 根据题意，得 100(1+x)²=144。 ……1分 整理得 (1+x)²=1.44。 ……1分 直接开方得 1+x=±1.2， ……1分 解得 x₁=0.2=20%，x₂=-2.2（不合题意，舍去）。 ……1分 答：平均月增长率为20%。 （2）12月份增长率=20%-10%=10%。 ……1分 12月份预计销量=144×(1+10%)=144×1.1=158.4≈158（台）。 ……2分 19．（本题满分10分） 解：令 y=|x-1|，则原方程化为 y²-2y-3=0。 ……2分 因式分解得 (y-3)(y+1)=0， ……2分 解得 y₁=3，y₂=-1。 ……1分 当 y=3 时，|x-1|=3，∴x-1=±3，解得 x₁=4，x₂=-2； ……2分 当 y=-1 时，|x-1|=-1，不合题意，舍去。 ……1分 ∴原方程的解为 x₁=4，x₂=-2。 ……1分 20．（本题满分10分） （1）证明：将方程因式分解： ……1分 x²-(k+2)x+2k=(x-2)(x-k)=0， ……2分 ∴x₁=2，x₂=k。 ……1分 ∴无论k取何值，方程总有实数根2和k。 （2）解：①若a=1为腰长，则b=1或c=1。 将x=1代入方程：1-(k+2)+2k=0，解得k=1。 ……1分 此时方程两根为x₁=2，x₂=1，即b、c为1和2。 三边为1,1,2，不满足三角形三边关系（1+1=2），舍去。 ……1分 ②若a=1为底边长，则b=c，即方程有两个相等的根。 ……1分 由（1）知方程两根为2和k，∴k=2，即b=c=2。 ……1分 三边为1,2,2，满足三角形三边关系。 ……1分 ∴周长=1+2+2=5。 ……1分 学科网（北京）股份有限公司 $