2.2 第1课时配方法(二次项系数为1)&第2课时配方法(二次项系数不为1)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第二章一元二次方程 2一元二次方程的角解法 第1课时配方法（二次项系数为1） 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025上海闵行期中]用配方法解一元二次方程x2-2.x-2025=0,将它转化为(.x+a)2=b的 形式，则a的值为 () A.1 B.-1 C.2026 D.-2026 2.用配方法解一元二次方程x2一2x=35时，步骤如下：①x2一2x+1=36;②(x一1)2=36； ③x一1=士6；④x=士7，即x1=7,x2=一7.其中，开始出现错误的步骤是 () A.① B.② C.③ D.④ 3.将一元二次方程x2-2x十p2一2p十5=0经过配方化成(x一m)2=n的形式，则当p 时方程有两个不相等的实数根 4.将一元二次方程x(x+8)+13=0通过配方转化成(x+n)2=p的形式(n,p为常数)，则n= ,此方程的根为 5.用配方法解下列方程： (1)x2-4x=2. (2)x2-5x+4=0. 2 (3)x2 3 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.已知方程x2一5.x十q=0可以配方成(x一)2=9的形式，则x2+5.x十g=一1可以配方成() A.(x+p+1)2=10B.(x+p)2=8 C.(x+p-1)2=8 D.(x+p)2=10 7.★已知M=a一1，N=a2-a(a为任意实数)，则M,N的大小关系为 () A.M≤N B.M=N C.M>N D.M<N 8.整体思想若(2x+3y)2十2(2x十3y)一4=0，则2x+3y的值为 9.如图所示为一块矩形土地，其长为xm,宽为120m,开发商将它分成甲、乙、丙三个区域，其中甲 和乙为正方形.现计划在甲区域建设住宅区，在乙区域建设商场，在丙区域建设公园.已知丙区域 的面积为3200m,求x的值. 丙 (第9题) “答案与解析”见P17 25 拔尖特训· 数学（北师版）九年级上 第2课时配方法（二次项系数不为1） 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.用配方法解方程3x2一4x一3=0，应把它先变形为 ( A)-号 &--0 c(-)-8 n-3-9 2.解方程2x2+4x十1=0时，对方程进行配方，如图所示为小思和小博的做法.对于两人的做法， 下列说法中正确的是 小思：2x2+4x=-1 小博：2x2+4x=-1 A.两人都正确 +2x-司 4x2+8x=-2 B.小思正确，小博不正确 x2+2x+1=-7+1 4x2+8x+4=-2+4 C.小思不正确，小博正确 (+1)产号 (2x+2)2=2 D.两人都不正确 (第2题)》 3.小明同学用配方法解方程6.x2一x一1=0的简要步骤如下，发生第一次错误是在第 步， 原因是 解：6x2-x-1=0 两边同除以6x2-上x-人=( 移项 第一步 6x-6= 第二步→x”人x=1配方 6x= 步 上十上西边开彩方> 5移项，1+√10 110 6下9第四步 士√18第五步>x1=3十6x2=3-6 4.用配方法解方程： 0①8x2-8x+}0 (2)5.x2-√2x-12=0. (3)(x+1)(2x-3)=1. (4)(2x+1)2+(x+1)2=13. 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能山 5.用配方法解一元二次方程2x2一2x一1=0，估计较大实数根在两个相邻的整数之间，这两个整 数是 () A.3,4 B.2,3 C.1,2 D.0,1 6.小明用配方法解关于x的方程2x-ax十6=0.得x-名士则a+6的值为 A.9 B.-9 C.13 D.-13 7.转化与化归思想已知点(5一32,6k十3)在第二、四象限的角平分线上，则k的值为 26 第二章一元二次方程 8.当x= 时，代数式5.x2+7x+1和代数式x2-9x+15的值相等， 9.把关于x的方程2x2-6x十力=0配方得到(x十m)2-号求： (1)常数p与m的值 (2)此方程的根， 10.大家知道用配方法解一般形式的一元二次方程时，要先把二次项系数化为1，再进行配方.现请 阅读下面方程2x2一2√2x一3=0的解法： 解：2x)-22x+1=3+1.(2x-1)=4w2x-1=士2，x1=号 _32 2x2 21 请根据上面的方法解方程3x2一2√6x=2. 微专题·配方法的应用 解读：把代数式通过凑配，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性达到增加题目的已知条 件的目的，这种解题方法叫作配方法. 1.将x2一10x+2变形为(x+m)2+n的形式为 ,则x2一10x+2的最小值为 2.已知x,y都为实数，则代数式x2+2x+y2-一4y+9的最小值为 3.已知x+y=3,则代数式一x2+y十9x一2的最大值为 4.若M=6a2+19a+10,N=5a2+25a,其中a为任意实数，则M与N的大小关系是 5.当a,b,c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2一6a一10b一6c+43=0时，判断 △ABC的形状并说明理由. ●“答案与解析”见P18 27为一4，常数项为9. 易错警示 忽视系数应包括前面的符号而致错 判断一个方程是否为一元二次方程，首先看方程是 否为整式方程，若不是整式方程，则直接排除；若是，则 进行化简，看方程是否同时满足“一元”“二次”“二次项 的系数非零”，这几个条件缺一不可，若忽视各项系数应 包括前面的号，则会把一次项系数和常数项的符号 弄错 6.D(m一3)x2十m2x=9x十5变成一般形式为(m 3)x2+(m2-9)x-5=0.由题意得m-3≠0，m2-9=0, 解得m=一3. 7.A根据平移法，核心游泳区可看成长为(40一x)m、宽 为(22一x)m的矩形，由面积得(40一x)(22一x)=600. 8.6(m-3)2+(m+1)(m-1)=m2-6m+9+m2- 1=2m2-6m十8，：m是方程x2-3.x十1=0的一个根， .m2-3m+1=0,即m2-3m=-1..原式=2(m2 3m)+8=-2+8=6. 9.x=22.5<x<3根据表格中的数据，可以发现，当 x=2时，5.x2-24x+28=0,∴.方程5x2-24x+28=0的 个根是x=2.又：当x=2.5时，5x2-24x+28=-0.75, 当x=3时，5x2-24x十28=1，.一元二次方程5.x2- 24x十28=0的另一个根的取值范围是2.5<x<3. 10.(1)由一元一次方程定义，得当m-1=0且m-3≠0 或m一1≠0且m2+1=1,m-1十m一3≠0时，(m 1)xm2+1+(m-3)x十1=0是一元一次方程，即当m=1 或m=0时，(m-1)·xm2+1+(m-3).x十1=0是一元一 次方程.(2)当m一1≠0且m2+1=2,即m=一1时，此 方程是一元二次方程，这个方程为一2x2一4x+1=0,它的 二次项系数为一2，一次项系数为一4，常数项为1. 1 11.由题意，得20=251-2 ×10t2,即-5t2+25t-20= 0,化简，得2-51十4=0(1>0). 列表如下： 1 2 t2-51+4 0 -2 -2 0 由表，可知1s或4s后它在离抛出点20m高的地方. 12.(1)y2-y一2=0.设所求方程的根为y,则y=-x, .x=一y.把x=一y代入已知方程，得（一y)2十 (-y)-2=0.化简得y2-y-2=0,故所求方程为y2- y-2=0. (2)设所求方程的根为y,则y= y 代人已知方程，得2（号）°-7·号+3=0.化简得3y2 7y+2=0,即所求方程为3y2-7y+2=0. 2一元二次方程的解法 第1课时配方法（二次项系数为1） 1.Ax2-2x-2025=0,移项得x2一2x=2025.配方得 x2-2x+1=2026,即(x-1)2=2026,.a=-1,b= 2026.∴.a=(-1)2026=1. 2.Dx2一2x=35,配方得x2-2x十1=36，即(.x-1)2= 36,开方得x一1=士6，解得x=土6+1，故x1=7,x2= -5. 3.>2 5 移项得x2-2π+p2=2p-5,配方得(x一p)2= 2p-5.当2p-5>0,即p>号时，方程有两个不相等的实 数根。 4.43x1=-4+3,x2=-4-3x(x十8)+13=0， 化简得x2+8x十13=0，移项得x2+8x=-13,配方得 x2+8x+16=一13+16，即(x+4)2=3,开方得x+4 士3，解得x1=一4十√3，x2=-4-√3， 5.(1)x1=2+√6，x2=2-6.(2)x1=4,x2=1. (3)原方程没有实数根 6B通过配方得p=多9=只把g=-代人2+ 4 5x+9=-1得x2+5x-号-1.配方得(c+2)广=8 4 即(x十p)2=8. 7.AN-M=a2-a-a+1=a2-2a+1=(a-1)2≥0， ∴.N≥M. 方法归纳 巧用配方法比较两个整式的大小 先将两个整式作差化简得一个多项式，再利用配方 法将这个多项式中的二次项和一次项进行配方变形后， 可将多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的形 式，再根据完全平方式的非负性可得出该多项式的正负 性，进而比较大小 8.一1士√5设t=2x+3y,则原方程可化为t2十2t一4= 0,配方，得2+21+1=5，即(t+1)2=5,开方，得t+1= 士5，即t=-1士5.∴.2x十3y的值为-1士5. 9.由题意，得(x-120)[120一(x一120)]=3200，即x2 360.x十32000=0..(x-180)2=202,解得x1=200,x2= 160.∴.x的值为200或160. 第2课时配方法（二次项系数不为1） 1.A3x2-4r一3=0，方程两边同时除以3，得x2- 3- 1=0,移项得r-专=1，配方得r2-专x+(-号)- 1+()(-)=8 2.A小思的解法是方程两边先同时除以2，再配方，变形正 确.小博的解法是方程两边先同时乘2，再配方，变形正确。 3.三等式的两边应该加上“一次项系数一半的平方” =。·（一立）=+4故第三步错误，等 x2、1 式的两边应该加上“一次项系数一半的平方”， 6x236 41)x,=3+ 6· (2)01-62 5·x2 -2.81=1+3,,=13 4 4 (4)x1=1, 51 6C解方程22x10得工三13，设。是方程 2-2r1=0较大的根a=1去5.：1<g<2, 21+5<3.1<a<.“较大实数根在1和2 之间. 6c:x子=±…(-)=6即r-名计 3=0..2x2-7x+6=0..∴.a=7,b=6..a十b=13. 7.3+3或3一33由点在第二，四象限的角平分线 上，得5-3k2+6k+3=0,化简得3k2-6k=8,配方得 -1)-号开方得-1=士解得：-3+园 3 6,-3-33 3 8.-4+30或-4√30 由题意，得5x2+7x十1= 2 2 x2-9x十15.整理，得4r2+16x-14=0,即x2+4-2 7 0x+2=51=-4t0,=-40 2 2 9①：+m)=号+2w+m2=22+ 2mr十m2-号-0.2z2+mr+2m2-1=0,根据题意. 得m=-6,2m-1=am=-号p=子.(2)由 ①得原方程配方后为（一》广-上一-士号 2 2 解得=3+2 2 2 10.(W3x)2-2×3×√2x+(W2)2=2+(W2)2,(3x- 2)y=4w3x-2=士2.，=6+25x,-6-25 3 3 微专题·配方法的应用 1.(x-5)2-23-23x2-10x+2=x2-10x+25 23=(x-5)2-23,(x-5)2≥0，.(x-5)2-23≥ -23..x2-10x+2的最小值是-23. 2.4原式=(x+1)2+(y-2)2+4.(x+1)2≥0， (y-2)2≥0，∴.当(x+1)2=0,(y-2)2=0,即当x 一1y=2时，(x+1)2+(y-2)2+4的值最小，为4，即 多项式x2+2x+y2一4y+9的最小值为4. 3.17x十y=3,.y=3-x..-x2+y+9.x-2= -x2+3-x+9x-2=-x2+8x+1=-(x2-8.x十 16)+1+16=-(x-4)2+17.:(x-4)2≥0， ∴.一(x一4)2十17≤17..当x=4时，有最大值17. 4.M>NM-N=(6a2+19a+10)-(5a2+25a)= 6a2+19a+10-5a2-25a=a2-6a+10=a2-6a+ 9+1=(a-3)2+1>0,∴.MN. 5.△ABC的形状是等腰三角形.理由：：a2+b2十c2 6a-10b-6c+43=0,∴.(a2-6a+9)+(b2-10b+ 25)+(c2-6c+9)=0.∴.(a-3)2+(b-5)2+(c 3)2=0.(a-3)2≥0，(b-5)2≥0，(c-3)2≥0， ∴.a-3=0,b-5=0,c-3=0.∴.a=3,b=5,c=3. ∴.△ABC的形状是等腰三角形.