2.4 用因式分解法求解一元二次方程 课后作业2025-2026学年 北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.4用因式分解法求解一元二次方程 课后练习题 考试时间:40分钟 满分100分 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．一元二次方程x2﹣5x＝0的解是（　　） A．x＝5 B．x1，x2 C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝x2 2．已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程x2﹣12x+32＝0的根，则该三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 3．某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以（x﹣1），得x＝3． 移项，得x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0． ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0． ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝3，x2＝1． 其中完全正确的是（　　） A．甲 B．甲和乙 C．乙 D．都不正确 4．等腰△ABC的两边长分别是一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．9 B．12 C．15 D．12或15 5．若a+b＝﹣2，则下列x的值一定是关于x的方程ax2+2bx+8＝0的根的是（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x＝0 6．已知三角形的两边长分别是3和5，第三边的长是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．6或10 B．10 C．6 D．12或10 7．若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣9x+20＝0的根，则△ABC的周长是（　　） A．9 B．10 C．9或10 D．7或10 8．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣12x+32＝0的两根，则该菱形的边长为（　　） A． B．8 C．50 D．10 9．解下列方程：①3x2﹣27＝0；②x2﹣3x﹣1＝0；③（x+2）（x+4）＝x+2；④2（3x﹣1）2＝3x﹣1．较简便的方法是（　　） A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法 C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法 D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法 10．已知方程（x+a）（x+b）＝0有M个解，方程（ax+1）（bx+1）＝0有N个解，其中a≠b，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．已知一元二次方程（2﹣x）（5+x）＝0，则方程的根为　 　 ． 12．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是 　 　 ． 13．对于实数a，b定义一种新运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如4☆3＝4×32﹣4×3＝24，则关于x的方程1☆x＝2的根为 　 　 ． 14．用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，将左边分解因式后有一个因式是x﹣3，则p的值是 　 　 ． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣9x+20＝0的两个根恰好分别是直角三角形ABC的两边长，则△ABC的面积为 　 　 ． 三、解答题（本大题共5小题，总分50分） 16．用适当方法解下列方程： （1）（x﹣2）2＝2x﹣4； （2）（x+1）（x+3）＝6x+4． 17．计算 习题课上老师给了一道方程：x2+2x＝3x+6． 嘉嘉的解法 原方程可化为：x2﹣x﹣6＝0……第一步 ∴（x﹣2）（x+3）＝0………………第二步 ∴x1＝2，x2＝﹣3………………第三步 琪琪的解法 原方程可化为：x（x+2）＝3（x+2）……第一步 两边都除以（x+2）………………第二步 ∴x＝3………………………………第三步 （1）她们的解法都是错误的，嘉嘉从第 　 　 步开始错误，琪琪从第 　 　 步开始错误； （2）写出方程正确的解答过程． 18．材料阅读：材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为a1b2﹣a2b1，5×（﹣4）﹣2×（﹣3）＝﹣14．如材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：x2+3x+2＝0．∵x2+3x+2＝（x+1）（x+2），∴（x+1）（x+2）＝0．故x+1＝0或x+2＝0．因此原方程的解是x1＝﹣1，x2＝﹣2． 根据材料回答以下问题． （1）二阶行列式 　 　 ； （2）求解12中x的值． 19．三角形两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，求此三角形的面积． 20．阅读与思考 下面是小亮同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务 平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 例解方程x（x+4）＝6． 解：原方程变形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6． 由平方差公式，得（x+2）2﹣22＝6． 移项，得（x+2）2＝6+22，即（x+2）2＝10． 直接开平方并整理，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． 下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5的过程． 解：原方程变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5． 由平方差公式，得（x+a）2﹣b2＝5． 移项，得（x+a）2＝5+b2． 直接开平方并整理，得x1＝c，x2＝d（c＞d）． 任务： （1）上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为　 　 ，　 　 ，　 　 ，　 　 ； （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝5． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C B C A A D C 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．x1＝2，x2＝﹣5． 12．10． 13．x1＝2，x2＝﹣1． 14．﹣1． 15．6或10． 三、解答题（本大题共5小题，总分50分） 16．解：（1）（x﹣2）2＝2x﹣4， 原式变形为（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0， ∴（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0， 解得：x1＝2，x2＝4． （2）（x+1）（x+3）＝6x+4， 原方程变形为：x2+4x+3＝6x+4， 变为一般形式为：x2﹣2x﹣1＝0， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8， ∴， ∴． 17．解：（1）她们的解法都是错误的，嘉嘉从第二步开始错误，琪琪从第二步开始错误； 故答案为：二，二； （2）原方程可化为：x2﹣x﹣6＝0， ∴（x+2）（x﹣3）＝0， ∴x1＝﹣2，x2＝3． 18．解：（1）由题知， 5×7﹣6×4＝11． 故答案为：11． （2）由12得， x（x+4）﹣（2x﹣4）＝12， 整理得，x2+2x﹣8＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣4． 19．解：∵x2﹣16x+60＝0， ∴（x﹣6）（x﹣10）＝0， 解得：x1＝6，x2＝10， 当x＝6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB＝AC＝6，BC＝8，AD是高， ∴BD＝4，AD2， ∴S△ABCBC•AD8×28； 当x＝10时，如图②，AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°， S△ABCBC•AC8×6＝24． ∴该三角形的面积是：24或8． 故答案为：24或8． 20．解：（1）由题知， 方程（x+3）（x+7）＝5可变形为： [（x+5）﹣2][（x+5）+2]＝5， 由平方差公式，得（x+5）2﹣22＝5， 移项，得（x+5）2＝5+22，即（x+5）2＝9， 直接开平方并整理，得x1＝﹣2，x2＝﹣8， 所以a＝5，b＝2，c＝﹣2，d＝﹣8． 故答案为：5，2，﹣2，﹣8． （2）由题知， 方程（x﹣5）（x+3）＝5可变形为： [（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝5， 由平方差公式，得（x﹣1）2﹣42＝5， 移项，得（x﹣1）2＝5+42，即（x﹣1）2＝21， 直接开平方并整理，得． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $