山东青岛市崂山育才中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026—2027学年度第一学期阶段性质量监测 九年级数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，计30分，请把正确答案的序号填在相应方框内） 1．下列哪个方程是一元二次方程（ ） A． B． C． D．（为常数） 2．用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ） A． B． C． D． 3．由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形外侧，作等边三角形，，相交于点，则为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在一个长为，宽为的矩形停车场中有四块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，如果设行车通道的宽度为，那么列出的方程为（ ） A． B． C． D． 6．要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（ ） A．度量四个内角是否相等 B．测量两条对角线是否相等 C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D．将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合 7．如图，点是菱形对角线上一点，于点，且．连接，若菱形的周长为．则的面积为（ ） A． B． C． D． 8．为加快业务增长，某递公司推出个性化配送服务，第周接到万件订单，第周到第周订单量增长率是第周到第周订单量增长率的倍，若第周接到订单为万件，设第周到第周的订单增长率为，可列得方程为（ ） A． B． C． D． 9．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数解为 A． B． C． D． 10．如图所示，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题共6个空，每空3分，计18分，请把正确答案的序号填在相应方框上） 11．如图，已知菱形的面积为，对角线，相交于点，且，则菱形的边长为________． 12．如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是________． 13．已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为________． 14．已知是方程的一个根，则代数式的值是________． 15．矩形纸片的边长，，将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在某一面着色（如图），则着色部分的面积为________． 16．如图，正方形和正方形中，在上，，，是的中点，则长为________． 三．作图题（本小题4分） 17．已知：和线段． 求作：菱形，使顶点，分别在射线，上，且对角线． 四．解答题 18．计算题（6分） （1） （2） 19．（6分）已知代数式，． （1）当为何值时，代数式比的值大； （2）求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数． 20．（8分）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出台，每台可盈利元，经调查发现，如果每降价元，商场平均每天可多售出台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 21．（8分）如图，在四边形中，对角线与相交于点，，于点，于点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，添加条件，当________度时，四边形是矩形？请说明理由 22．（10）如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于的方程（是常数）是“伴根方程”， ①求的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 23．（10分）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接，． （1）用含的代数式表示__________，__________． （2）是否存在某一时刻，使点在线段的中垂线上．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． （3）当为__________时，为直角三角形．（直接写答案） （4）是否存在某一时刻，使的面积是面积的，若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $