精品解析：山东济宁市实验初中2026-2027学年度第一学期核心素养学情达标测评（九年级数学）试题

2026—2027学年度第一学期核心素养学情达标测评（初四数学）试题 一．选择题（共10小题，每题3分共30分） 1. 函数y=中，自变量x的取值范围是（ ） A. x＞7 B. x≤7 C. x≥7 D. x<7 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　） A. B. C. D. 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数的最大值为3 B. 该函数图象的对称轴为直线 C. 该函数图象开口向上 D. 当时，函数值随的增大而减小 4. 如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 7. 已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（ ） A. 19 B. 16 C. 15 D. 12 10. 如图所示，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（共5小题，每题3分共15分） 11. 抛物线的顶点坐标为_____． 12. 在中，若，则_________度； 13. 已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为________． 14. 如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且，斜坡的坡度，则坝底的长度为__________． 15. 我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝_____． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1） （2）． 17. 如图，一小球（看成一个点）从斜坡上的点处抛出，球的运动路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题： （1）求此抛物线的解析式；（无需写自变量的取值范围） （2）小球的落点为A，求A点的坐标． 18. “滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为．（图中所有点均在同一平面内，点，，在同一直线上，点，，，在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长，结果保留位小数） （参考数据：，，，，，） 19. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用周长为米的篱笆围成．已知墙长米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． （1）若苗圃园的面积为平方米，求的值； （2）若平行于墙的一边长不小于米，这个苗圃园的面积有最大值吗？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 20. 如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东方向航行至D处， 在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD (参考数据：，，，，，） 21. 如图，已知抛物线经过两点 （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当3时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上的一点，若，求出此时点P的坐标． 22. 已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； （3）在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期核心素养学情达标测评（初四数学）试题 一．选择题（共10小题，每题3分共30分） 1. 函数y=中，自变量x的取值范围是（ ） A. x＞7 B. x≤7 C. x≥7 D. x<7 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数，据此即可求解． 【详解】根据题意得：x−7≥0， 解得：x≥7. 故选C. 【点睛】考查二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0. 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义． 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数的最大值为3 B. 该函数图象的对称轴为直线 C. 该函数图象开口向上 D. 当时，函数值随的增大而减小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为直线． 根据二次函数顶点式 的性质逐项分析即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，故C错误； 对称轴为直线，故B错误； 函数有最大值，最大值为 ，故A正确； 当时，随增大而增大，故D错误． 故选A． 4. 如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可； 【详解】如图，取格点E，连接BE， 由题意得：，，， ∴． 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的关键． 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意； C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意； 故选：B． 6. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，当时，函数的最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，函数的最大值为2， 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7. 已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作辅助线如图，根据相似三角形的判定与性质得到，设，利用正切的定义得到，即可解答． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，设， ∴，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 9. 如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（ ） A. 19 B. 16 C. 15 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故选：C． 10. 如图所示，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】结合抛物线的开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、c的符号，根据对称轴即可判断a、b的关系，此时即可判断①；②先说明当时，函数值小于0，即，再结合①的相关结论即可判断②；根据当时，二次函数值取最大值，即可判断③；联立一次函数和二次函数，即可求出交点D的横坐标，根据该横坐标小于3即可判断④． 【详解】解： ∵抛物线开口向下，与y轴正半轴交于点， ∴，， ∵对称轴直线， ∴，即， ∴，即①错误； 由函数图像可知：对称轴直线，当时，函数值小于0， ∵与关于对称轴直线对称， ∴当时，函数值小于0，即， ∵， ∴， ∴，即②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴直线， ∴当时，二次函数值取最大值， ∴，即， ∴，即③正确； 对于直线，当时，，即直线与x轴交于点， 联立：，即， 解得：，即， ∵点在轴下方且横坐标小于， ∴，解得： ，④正确. 综上，正确的有③④，共2个． 二．填空题（共5小题，每题3分共15分） 11. 抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线已给出顶点式形式，对照顶点式的结构即可直接得到顶点坐标． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为． 12. 在中，若，则_________度； 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、绝对值的非负性及特殊角度的三角函数值，熟练掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0和特殊角度的三角函数值是解题的关键． 根据算术平方根，绝对值的非负性求出、的值，进而求得，的度数，根据三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：75． 13. 已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的定义，指数部分必须为2，求出a的值，再根据函数的增减性条件确定a的取值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ 解得， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 14. 如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且，斜坡的坡度，则坝底的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，准确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作交于点，结合坡度以及特殊角度，分别计算出、、的长度，最终得出的长度． 【详解】过点作交于点，如下图： ∵，，， 得四边形为矩形， ∴， ∵，∴， 解得， ∵的坡度为，即， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，则△BCD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出CD、BD的长，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：作BD⊥AC，交AC的延长线于点D， ∵∠A，∠B互为半余角， ∴∠BCD=∠A+∠B=45°， ∴∠CBD=45°， ∴∠BCD=∠CBD， ∴BD=CD， ∵， ∴可设BC=，AC=， ∵BD2+CD2=BC2， ∴BD=CD=， ∴AD=3x+2x=5x， ∴tanA＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，以及正切的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，一小球（看成一个点）从斜坡上的点处抛出，球的运动路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题： （1）求此抛物线的解析式；（无需写自变量的取值范围） （2）小球的落点为A，求A点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，掌握数形结合与方程思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）联立两解析式，可求出交点A的坐标． 【小问1详解】 解：∵小球到达的最高的点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入得，，解得：， ∴抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 解：联立，解得：或（舍弃）， ∴． 18. “滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为．（图中所有点均在同一平面内，点，，在同一直线上，点，，，在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长，结果保留位小数） （参考数据：，，，，，） 【答案】调整后的滑梯会多占约的一段地面 【解析】 【分析】过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：调整后的滑梯会多占约的一段地面． 19. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用周长为米的篱笆围成．已知墙长米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． （1）若苗圃园的面积为平方米，求的值； （2）若平行于墙的一边长不小于米，这个苗圃园的面积有最大值吗？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）有，的最大值为平方米． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到关于x的一元二次方程，从而可以解答本题，注意平行于墙的一般长不能超过14米； （2）根据题意可以得到S关于x的二次函数，然后利用配方法及函数性质求得其最值，从而可以解答本题． 【详解】解：（1）由题意得：， 整理得：， 解得，． 当时，，不符合题意，故舍去， 当时，， 则当苗圃园的面积为平方米时，． （2）∵平行于墙的一边长不小于米 ∴， 即． ， 该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，取得最大值，的最大值为平方米． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 20. 如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东方向航行至D处， 在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD (参考数据：，，，，，） 【答案】20km 【解析】 【分析】过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得DH，再解求得AD即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为 在中， 在中， 在中， （km） 因此，轮船航行的距离约为 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 21. 如图，已知抛物线经过两点 （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当3时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上的一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）将点A和点B的坐标带入，求出b和c的值即可得出解析式，再将其化为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）根据图象即可进行解答； （3）先根据三角形的面积求出三角形的高，即点P的纵坐标，即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：把代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 ∵，函数顶点坐标为， ∴当3时， y的取值范围为当． 【小问3详解】 设点P的坐标为 ∵， ∴， ， ， 解得：， 当时，，此方程无实数根； 当时，，解得， 故点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 22. 已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； （3）在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据直线的解析式，可求得点B的坐标，再结合顶点坐标利用待定系数法求解即可． （2）求出点C的坐标，作点B关于x轴的对称点R，连接，则，可证明当C、P、R三点共线时，有最小值，据此求解即可； （3）分三种情况：当点P为直角顶点时，则，当点B为直角顶点时，则，当点C为直角顶点时，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， ∵顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：联立，解得或， ∴； 如图所示，作点B关于x轴的对称点R，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当C、P、R三点共线时，有最小值； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：设： ∵， ∴，， ； 当点P为直角顶点时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $