精品解析：陕西省宝鸡市高新中学2026-2027学年度上学期八年级数学第一次学情自测试题

陕西省宝鸡市高新中学2026-2027学年度上学期八年级数学第一次学情自测试题 （满分：120分，时间：100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 无限小数都是无理数 B. 带根号的数都是无理数 C. 无理数的平方一定是有理数 D. 无理数一定是无限不循环小数 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义逐项进行判断． 【详解】解：A. 无限小数不一定是无理数，例如，该选项说法错误； B. 带根号的数不一定是无理数，例如，该选项说法错误； C. 无理数的平方不一定是有理数，例如，该选项说法错误； D. 无理数一定是无限不循环小数，该选项说法正确． 2. 下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. B. 5，6，7 C. D. 6，8，10 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，，满足，可以作为直角三角形三边长． 选项B：，，，不满足勾股定理逆定理，不能作为直角三角形三边长． 选项C：，，满足，可以作为直角三角形三边长． 选项D：，，满足，可以作为直角三角形三边长． 3. 估算的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据“夹逼法”估计出的取值范围，即可求解. 【详解】解：∵， ∴， ∴，即. 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的化简以及最简二次根式的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ∵，被开方数可以化简， ∴该选项二次根式不是最简二次根式； B. ∵，被开方数是分数， ∴该选项二次根式不是最简二次根式； C. ∵，被开方数是小数， ∴该选项二次根式不是最简二次根式； D.该选项二次根式是最简二次根式． 5. 直角三角形两边长分别为为3和5，则另一边长为（　　） A. 4 B. C. 或4 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】先将长度为5的边分为斜边或直角边两种情况，再根据勾股定理求解即得． 【详解】解：当长度为5的边为直角边时，则第三边； 当长度为5的边为斜边时，则第三边． 故第三边长为：或4． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理求直角三角形边长，分情况讨论确定直角边与斜边是解题关键． 6. 若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 7. 如图，实数在数轴上的位置满足：，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 8. 如图，圆柱形水杯高，底面周长为，一只蚂蚁在杯底外壁A点，在水杯内壁离杯顶的B处有一滴蜂蜜，蚂蚁从水杯外壁A处爬行至杯内壁B处．爬行最短路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过水杯侧面展开图得出矩形，利用轴对称的性质得出最短路径，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：水杯侧面展开图，如图所示，点与点关于直线对称，连接交于点，连接， 此时路径最短，路径为线段的长度， 根据题意得，，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴爬行最短路径长为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 的算术平方根是____________，64的平方根是____________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【详解】解：∵，且， ∴的算术平方根是3， 64的平方根是． 10. 在中是无理数的是________________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：，为分数，不是无理数； ，开方不尽，无限不循环，是无理数； ，无限不循环，是无理数； ，为整数，不是无理数； ，为分数，不是无理数； ，为循环小数，不是无理数． 11. 已知____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，， 解得：，，， ∴． 12. 比较大小：____________0.6 【答案】 【解析】 【详解】解： ∵，， ∴， ∴， 即． 13. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出，证明，可得，结合勾股定理求出，根据，，，可得，同理可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据题意可得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， ∴． 14. 如图，在中，，，，垂足为，点，分别是线段，上的动点，且，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证△AGF≌△CBE，得到GF＝BE，再证BE+CF的最小值就是线段BG的长，然后由勾股定理求得BG的长，即可解决问题． 【详解】解：过A作AG⊥AB且使得AG＝BC＝6，连接CF、FG、BG， ∵AB＝AC，, ∴点D为BC的中点，∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∵BA⊥AG， ∴∠BAG＝90°， ∴∠BAD+∠GAF＝90°， ∴∠GAF＝∠ABD， 又∵AF＝BE，AG＝CB， ∴△AGF≌△CBE（SAS）， ∴GF＝CE， ∵FB＝FC， ∴BF+CE＝BF+GF， ∵当点B、F、G三点共线时，GF+BF最小， ∴GF+BF的最小值时线段BG的长， ∵∠BAG＝90°，AB＝5，AG＝BC=6， ∴BG＝ 即BF+CE的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是构造全等三角形将线段和转化为折线段长，利用数形结合的思想解答． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）移项变形后，利用平方根的性质求解； （2）移项变形后，利用立方根的性质求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 已知，．求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的加减法法则，直接把的值代入求解即可； （2）根据二次根式的乘除法法则求出的值，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ， ， ， ， ， ． 18. 党的二十大以来，各地更加积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山，某小区物业在小区拐角清理出一块空地进行绿化改造，如图，，，，，． （1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点直通点的小路，求小路的长度； （2）若该空地的改造费用为每平方米100元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 【答案】（1）小路的长度为 （2）改造这片空地共需花费11400元 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的实际应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据勾股定理逆定理，判断出为直角三角形，分割法求出四边形的面积，再乘以每平方米的改造费用即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 答：小路的长度为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ∴（元）. 答：改造这片空地共需花费11400元． 19. 已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方根、立方根以及无理数的取值，求出各个字母的值，然后利用算术平方根的定义求解． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是2， ∴， ∴； ∵c是的整数部分， ∴； ∴， ∴的算术平方根为． 20. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25． 21. 已知实数m满足．求的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可知， 解得：， ∵ ∴， 即， ∴， ∴． 22. 如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的点处，点A的对应点为点，且，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质以及勾股定理等知识，设，连接，，求出，然后在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：设， 连接，，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠的性质得：， ∴， 即， 解得：， 即． 23. 在中，为边上的高，且，求的周长． 【答案】的周长为或 【解析】 【分析】根据题意画出图形，在，中，勾股定理分别求得，分类讨论（当在线段上时，在的延长线上时），即可求解． 【详解】解：如图所示，当在线段上时， ∵为边上的高， ∴ 在中，, ∴， 在中，， ∴ ∴的周长为 当在的延长线上时，如图， 则的周长为 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 24. 如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10． （1）CP与BQ的大小关系，并说明理由； （2）连接PQ，判断△BPQ的形状； （3）求四边形APBQ的面积． 【答案】（1） 结论：CP=BQ． 理由：如图1中， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB，∠CAB=60°， ∵AP=AQ，∠PAQ=60°， ∴∠CAB=∠PAQ， ∴∠CAP=∠BAQ， 在△CAP和△BAQ中， ， ∴△CAP≌△BAQ（SAS）， ∴CP=BQ； （2）直角三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）结论：CP=BQ．证明△CAP≌△BAQ（SAS），可得结论； （2）结论：△PBQ是直角三角形．利用勾股定理的逆定理证明即可； （3）根据，求解即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：结论：△PBQ是直角三角形． 理由：如图2中， ∴AP=AQ，∠PAQ=60°， ∴△APQ是等边三角形， ∴PQ=AP=6， ∵BQ=PC=10，PB=8， ∴， ∴∠BPQ=90°， ∴△PBQ是直角三角形； 【小问3详解】 解：过点A作AG⊥PQ于点G， ∵△APQ是等边三角形，且PQ=AP=6， ∴PG=QG=3， ∴AG==3， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省宝鸡市高新中学2026-2027学年度上学期八年级数学第一次学情自测试题 （满分：120分，时间：100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 无限小数都是无理数 B. 带根号的数都是无理数 C. 无理数的平方一定是有理数 D. 无理数一定是无限不循环小数 2. 下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. B. 5，6，7 C. D. 6，8，10 3. 估算的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 直角三角形两边长分别为为3和5，则另一边长为（　　） A. 4 B. C. 或4 D. 不确定 6. 若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，实数在数轴上的位置满足：，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆柱形水杯高，底面周长为，一只蚂蚁在杯底外壁A点，在水杯内壁离杯顶的B处有一滴蜂蜜，蚂蚁从水杯外壁A处爬行至杯内壁B处．爬行最短路径长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 的算术平方根是____________，64的平方根是____________． 10. 在中是无理数的是________________________． 11. 已知____________． 12. 比较大小：____________0.6 13. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则_________． 14. 如图，在中，，，，垂足为，点，分别是线段，上的动点，且，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算 （1） （2） 16. 解方程 （1） （2） 17. 已知，．求： （1）的值； （2）的值． 18. 党的二十大以来，各地更加积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山，某小区物业在小区拐角清理出一块空地进行绿化改造，如图，，，，，． （1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点直通点的小路，求小路的长度； （2）若该空地的改造费用为每平方米100元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 19. 已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 20. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 21. 已知实数m满足．求的值． 22. 如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的点处，点A的对应点为点，且，求的长． 23. 在中，为边上的高，且，求的周长． 24. 如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10． （1）CP与BQ的大小关系，并说明理由； （2）连接PQ，判断△BPQ的形状； （3）求四边形APBQ的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $