精品解析：北京市第九中学2026-2027学年第一学期十月质量检测高一数学试题

北京九中2026-2027学年第一学期十月质量检测 高一数学 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 设集合，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（　　） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式不能成立的是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（ ） A. 3或－1 B. 3 C. －1 D. －3或1 7. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题正确的是（ ） A. “或”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充要条件 C. ，则“，且”是“”的充分不必要条件 D. “”是“”的充要条件 9. 已知命题：“，”，命题：“，”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 对含有至少两个元素的有限实数集A，定义它的“距离集合”为.下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若A含5个元素，则最多含8个元素 C. 若A含5个元素，则最少含4个元素 D. 存在含4个元素的A，使 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 12. 若命题“，使得”为真命题时，实数的取值集合为，则__________. 13. 设全集且，则 _____. 14. 设，，，则，，的大小关系__________． 15. 若，则关于x的不等式的解集为_____. 三、解答题（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 设集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 解下列不等式： （1）； （2）； 18. 已知一元二次方程的两根为，，求下列各式的值. （1）； （2）； （3）. 19. 已知集合. （1）若中至少有一个元素，求实数的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 20. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，对任意恒成立，求的范围； （3）当时，求解关于的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京九中2026-2027学年第一学期十月质量检测 高一数学 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 设集合，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，利用元素与集合间的关系以及集合之间的基本关系即可判断出选项是否正确. 【详解】根据可得； 所以可得，所以AB错误； 显然，，所以C正确，D错误； 故选：C 2. 已知命题，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行解答即可. 【详解】因为特称命题的否定是将变为，然后对结论进行否定， 即为. 故选：C. 3. 若，则下列不等式不能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，结合结合作差法比较大小得到答案. 【详解】因为，所以，，，， 对于A，，所以，故A成立； 对于B，，所以成立，故B成立； 对于C，，所以，故C成立； 对于D，，结合B选项，，又因为， 所以，所以，故D不成立， 故选：D. 4. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先解出前者范围为或，根据集合间的包含关系即可得到答案. 【详解】由可得或, 因为或, 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】阴影部分表示的集合为，也就是. 6. 已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（ ） A. 3或－1 B. 3 C. －1 D. －3或1 【答案】B 【解析】 【详解】由题设分式有意义，得. 将题设等式两边同乘，得. 由韦达定理得，，所以 ， 即，解得或. 又因为方程有两个不相等的实数根，所以 . 当时条件成立；当时，不符合题意，因此. 7. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式， 解得，即。 绝对值不等式， 化简得或， 即或， 又因为，因此 所以. 8. 下列命题正确的是（ ） A. “或”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充要条件 C. ，则“，且”是“”的充分不必要条件 D. “”是“”的充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过取特例进行充分性和必要性的验证，同时结合集合包含关系的条件即可求解. 【详解】对于A，由必然有，从而满足“或”， 但满足或的，例如取则推不出， 故“或”是“”的必要不充分条件，故A错误， 对于B，若，则推不出， 反之，若，即且，则一定有， 故“”是“”的必要不充分条件，故B错误， 对于C，若，且，必有，但无法确定的正负， 例如取，此时， 此时，故充分性不成立， 反之，若，不妨取，此时， 但不满足，且， 所以“，且”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误， 对于D，由可得，且， 同时可得，且， 所以“”是“”的充要条件，故D正确. 9. 已知命题：“，”，命题：“，”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以； 因为，，所以，得或， 若为真命题，为假命题，则，得； 所以实数的取值范围是 10. 对含有至少两个元素的有限实数集A，定义它的“距离集合”为.下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若A含5个元素，则最多含8个元素 C. 若A含5个元素，则最少含4个元素 D. 存在含4个元素的A，使 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定距离集合的定义，结合各项描述中的前提，确定不同集合对应的判断正误. 【详解】A：若，根据定义集合中任意两个不同元素的差的绝对值，，， 所以，并非，错误； B：若集合有5个元素，那么这5个元素两两组合共有对，因此最多产生10个不同的差值， 实际上，可以构造一个有5个元素的集合，使其距离集合含有10个元素，例如， 任意两数的距离：1, 4, 9, 15, 3, 8, 14, 5, 11, 6，刚好是10个不同的值， 因此最多含10个元素，错误； C：若集合有5个元素，将它们从小到大排列， 考虑最大元素与其他元素的差， 由于这4个差都是正数且互不相等，因此它们都属于， 所以中至少有4个元素，如集合的距离集合为，刚好只有4个元素，正确； D：假设存在含有4个元素的集合（从小到大排列），且， 因为集合有4个元素，最多只有个距离值，这里刚好有6个， 设相邻元素之间的差分别为，，（均为正数）， 那么这6个距离分别是， 已知（最大距离），需要， 这五个数的和为， 同时， 因此，解得，这与矛盾，因此不存在满足条件的集合，错误. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合，如果， 所以或，解得或， 当时，； 当时，； 当时，，不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合. 12. 若命题“，使得”为真命题时，实数的取值集合为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意在时有解，故，，进一步即可求解. 【详解】因为命题“，使得”为真命题， 所以在时有解，所以，， 因为，所以，所以，所以， 所以， 故答案为：. 13. 设全集且，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出韦恩图，结合韦恩图，即可求解. 【详解】由全集且， 如图所示，可得. 故答案为：. 14. 设，，，则，，的大小关系__________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，，即可得到，再由，，即可得到，从而得解； 【详解】解：因为，， 因为，所以，所以， 而，而，所以，所以． 故答案为： 15. 若，则关于x的不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先对原不等式两边除以负数并变号，接着结合判定两根的大小关系，最后利用“大于取两边”的原则即可求解. 【详解】不等式两边同时除以得， 令，解得， 故的解集为或， 即原不等式的解集为. 三、解答题（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 设集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）代入条件后用补集与并集的运算即可求解； （2）根据条件得，进而可求的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 或 或 所以或 【小问2详解】 因为，所以. ①当时，有， ②当时，有，即 综上可得， 故实数的取值范围 17. 解下列不等式： （1）； （2）； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【小问1详解】 由得，所以， 所以的解集为. 【小问2详解】 由得，即 ，所以的解集为. 18. 已知一元二次方程的两根为，，求下列各式的值. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系化简求值即可. 【小问1详解】 因为一元二次方程的两根为，， 所以，. 所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 因为， 所以. 19. 已知集合. （1）若中至少有一个元素，求实数的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 当时，方程为，解得，集合有 1 个元素，满足条件. 当时，方程是一元二次方程，，解得且. 综上，. 【小问2详解】 当时，方程，有 1 个根，满足至多 1 个元素. 当时，一元二次方程要求，解得. 综上，或. 20. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，对任意恒成立，求的范围； （3）当时，求解关于的不等式． 【答案】（1），； （2）； （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）由题意，一元二次不等式的解集即为一元二次方程的根，所以根据根与系数的关系即可求解； （2）由，得，因为对任意恒成立， 所以对的取值情况进行分类讨论，结合一元二次函数的特征即可求解； （3）当时，可得；当时，， 结合根的情况，对的取值情况进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可求解. 【小问1详解】 由题意，不等式的解集为，即方程的两根为和， 则由一元二次方程根与系数的关系，得，解得，； 【小问2详解】 当时，函数， 因为对任意恒成立，即对任意恒成立， 当时，则，解不等式得，不成立； 当时，函数，为开口向上的二次函数，不成立； 当时，函数，为开口向下的二次函数， 则恒成立，即，解不等式得； 综上所述，若，对任意恒成立，则的范围为. 【小问3详解】 当时，则，，则，即，解不等式得； 当时，，则， 令，解得或， 当时，则，解得或； 当时不等式化为. 当，即时，解得， 当，即时，解得， 当，即时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $