精品解析：北京市首都师范大学附属回龙观育新学校2026-2027学年高一第一学期10月月考数学试卷

首都师范大学附属回龙观育新学校 2026-2027学年度第一学期月考试卷 高一数学 考生注意：本试卷共三页，共三道大题，23道小题，卷面满分150分，答题时间120分钟. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则 A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 4. 设为全集，非空集合、满足，则下列集合为空集的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，那么下列不等式中一定成立的是　　 A. B. C. D. 6. 设集合，为全集的子集，则如图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 7. 若方程组的解也是方程的解，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 是的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知关于的一元二次方程的解集含有两个元素，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共40分.把答案填在题中横线上. 11. 集合的真子集有_______个. 12. 已知，，若集合，则的值为__________ ． 13. 已知关于的不等式的解集为{或}，则的解集为____________. 14. 若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是________． 15. 下列不等式： ①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1. 其中可以作为“x2<1”的一个充分条件的所有序号为________． 16. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________． 17. 已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________. 18. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种； ②这三天售出的商品最少有_______种. 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 求下列方程或不等式或不等式组的解集： （1）； （2）； （3）； （4）. 20. 设，是方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 21. 已知集合，. （1）已知，求； （2）若，求实数的取值范围. 22. 已知集合，. （1）求； （2）记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 23. 已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. （1）写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； （2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首都师范大学附属回龙观育新学校 2026-2027学年度第一学期月考试卷 高一数学 考生注意：本试卷共三页，共三道大题，23道小题，卷面满分150分，答题时间120分钟. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵∴ 又∵∴故选B； 【考点】：此题重点考察集合的交集，补集的运算； 【突破】：画韦恩氏图，数形结合； 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“，”. 3. 已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设是一元二次方程的两根， 则，令，则， 所以该方程为. 4. 设为全集，非空集合、满足，则下列集合为空集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解法1：结合韦恩图， 由，得， 由，得中的元素都在中，没有元素同时属于，故， 比多出一部分元素，这部分元素属于且不属于，因此， ，得； 解法2：举实例验证，设， 则， ， ， ， 所以. 5. 已知，那么下列不等式中一定成立的是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a，b的符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可． 【详解】若，，则， 则，故A不成立； 不一定成立，如a=-5,b=6,故B不成立； ∵，，∴,故C不成立， ，，则，成立，故D正确， 故选D． 【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键比较基础． 6. 设集合，为全集的子集，则如图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得：阴影部分表示的集合在中，不在中， 故阴影部分表示的集合为． 7. 若方程组的解也是方程的解，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解方程组得， 将代入得，解得. 8. 是的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质，结合充分性和必要性的定义即可求解. 【详解】当，时，显然不成立； 当时，显然，由不等式性质可知，， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 9. 已知关于的一元二次方程的解集含有两个元素，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用判别式列不等式求得的取值范围. 【详解】因为 是关于 的一元二次方程，所以 ，即 . 又方程的解集含有两个元素，即方程有两个不相等的实根， 所以 ，解得 . 综上， 的取值范围是 . 10. 如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用拼接后的图形面积不变建立方程，进而求解即可. 【详解】由题意得拼接后，图形面积不变， 则，化简得， 两端同时除以，可得， 解得（负根舍去），故C正确. 故选：C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共40分.把答案填在题中横线上. 11. 集合的真子集有_______个. 【答案】15 【解析】 【分析】先求出集合，再根据元素个数得出真子集个数. 【详解】，则集合的真子集有个. 12. 已知，，若集合，则的值为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据要有意义得到，进而得到，结合元素互异性求出，从而求出的值. 【详解】有意义，故，又， 所以，解得， 则，所以，解得， 当时，与元素互异性矛盾，舍去， 当时，满足要求， 故. 故答案为： 13. 已知关于的不等式的解集为{或}，则的解集为____________. 【答案】 【解析】 【详解】因为关于的不等式的解集为{或}， 所以，且为方程的两根， 所以. 所以不等式可化为. 又，所以. 即不等式的解集为. 14. 若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】 条件可转化为方程至多有一个根，然后分和两种情况讨论即可. 【详解】因为集合中至多有一个元素 所以方程至多有一个根， 当时解得，满足题意 当时，，解得 综上：或 【点睛】解答本题时一定要注意讨论的情况，否则就会漏解. 15. 下列不等式： ①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1. 其中可以作为“x2<1”的一个充分条件的所有序号为________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】解不等式得其解集A，再根据充分必要条件的含义，可得使不等式成立的充分条件对应的范围应该是集合A的子集就不难得到正确答案． 【详解】由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意． 【点睛】本题以一个不等式成立为例，通过讨论其解集，着重考查了充分必要条件的判定与证明和一元二次不等式的解法等知识点，属于基础题．0 16. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，不等式为，显然成立，符合题意； 当时，则，解得. 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：. 17. 已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【详解】因为是的必要不充分条件，所以需满足，解得. 18. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种； ②这三天售出的商品最少有_______种. 【答案】 ①. 16； ②. 29 【解析】 【详解】试题分析：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C， 如图， 则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种； ②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种 商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种． 故答案为①16；②29． 【名师点睛】 本题将统计与实际情况相结合，创新味十足，是能力立意的好题，关键在于分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论时要做到不重复、不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用. 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 求下列方程或不等式或不等式组的解集： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 由，得，解得 ，， 所以方程的解集为. 【小问2详解】 由得，所以， 所以不等式的解集是. 【小问3详解】 由，得 ， 分式不等式 等价于，解得， 所以不等式的解集是. 【小问4详解】 ， 解第一个不等式，由，因此 ，对任意实数恒成立，即， 解第二个不等式， 得，展开整理：， 取两个解集的交集，得不等式组的解集为. 20. 设，是方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系化简求值即可. 【小问1详解】 因为，是方程的两个根， 所以，. 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 . 21. 已知集合，. （1）已知，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解不等式求出，再求的补集并与取交集； （2）把转化为，按是否为空集分类讨论，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 由得，即. 当时，，所以. 于是. 【小问2详解】 由得. 若，则，即，此时成立； 若，则，即， 此时需且，即，结合得. 综上，的取值范围是. 22. 已知集合，. （1）求； （2）记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简两个集合，再根据并集的定义运算； （2）求解一元二次不等式得出，再结合数轴即可得出的取值范围. 【小问1详解】 ，或， 则. 【小问2详解】 ，得， 得，即， 因，则且，得， 则实数的取值范围为. 23. 已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. （1）写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； （2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【答案】（1） （2） 法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2，因为 ，， 故可设，，两边同时除以得，，因为， 所以，与矛盾，不合要求，故假设不成立， 元素，中至少有一个大于2； 法二；集合是“二元和谐集”，设， 则，可以看成一元二次方程的两正根，则， 解得：(舍)或，即，所以至少有一个大于2； （3）存在1个，，理由如下： 设正整数集为“三元和谐集”，则， 不妨设，则，解得， 因为，故只有，满足要求， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即. 【解析】 【分析】(1)令得到答案； (2)法一：利用反证法进行证明；法二：构造一元二次方程利用判别式法证明； (3)设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，，求出答案. 【小问1详解】 不妨令，此时，满足要求； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $