精品解析：辽宁沈阳市第二十中学2026-2027学年高一上学期阶段测试数学试卷

2026-2027学年度（上）沈阳市第二十中学 阶段测试高一数学试卷 考试时间：120分钟 考试分数：150分 试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷选择题（1－11题，共58分）和第Ⅱ卷（非选择题，12－19题，共92分）．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．作答时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 设全集，集合，，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 0或3 5. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 已知关于的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 25 8. 若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于实数，，，正确的命题是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则， D. 若，，则 10. 下列命题正确的是（ ） A. 设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B. “关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C. 真包含于 D. 命题“，”为假命题 11. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 13. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 14. 设是实数，且，则的取值范围是_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 16. 求下列方程组的解集： （1） （2） 17. 解下列关于x的不等式 （1） （2） 18. 某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，当年产量为5台时，需另投入成本225万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度（上）沈阳市第二十中学 阶段测试高一数学试卷 考试时间：120分钟 考试分数：150分 试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷选择题（1－11题，共58分）和第Ⅱ卷（非选择题，12－19题，共92分）．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．作答时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题，只改量词与结论，前提条件不变. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 2. 在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标轴上的点特征判断选项. 【详解】直角坐标系中，轴上所有点的坐标满足，轴上所有点的坐标满足，原点同时属于两条坐标轴， 因此坐标轴上的点等价于满足“或”的点， 由实数乘法性质，的充要条件为或， 因此坐标轴上的点的集合可表示为，其余选项逐一排除； 选项A：集合中不含原点，原点属于坐标轴上的点，A错误； 选项B：“不同时为0”等价于，不含原点，B错误； 选项C：仅表示y轴上除原点外的点，遗漏x轴上的所有点和原点，C错误. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 4. 设全集，集合，，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 0或3 【答案】A 【解析】 【详解】由集合知，，即，而，全集， 所以，解得，经验证满足条件，所以实数的值为0． 5. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间是区间的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 6. 已知关于的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 7. 已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 8. 若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于实数，，，正确的命题是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则， D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，.故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD 10. 下列命题正确的是（ ） A. 设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B. “关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C. 真包含于 D. 命题“，”为假命题 【答案】BC 【解析】 【详解】A选项，当时，若，则，所以是的不充分条件， 反之，若，则必然成立， 所以是的必要条件，则是的必要不充分条件，所以A选项错误； B选项，关于的不等式恒成立等价于，解得：， 所以是不等式恒成立的充分不必要条件，所以B选项正确； C选项，设集合，集合， ，当时，为奇数， ，当时，为奇数或偶数， 所以真包含于，所以C选项正确； D选项，不妨设，由， 所以恒成立，则，为真命题，所以D选项错误. 11. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：由题意，，. 所以，. 当且仅当，即，，取等号，故A正确； 对于B：， 由（1）知，所以，即，故B不正确； 对于C：. 所以，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即，即时取等号（负值舍去），所以D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【解析】 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 13. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，再根据一元二次方程性质与分式方程性质分类讨论即可得答案． 【详解】方程两边同时乘以得，即， ①当，即时，方程只有一个解； ②当其中一个解为增根时，方程也只有一个解， （i）若增根为0时，； （ii）若增根为1时，； 故k的值为或0或2，即的可能取值构成的集合为. 14. 设是实数，且，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把等式看作关于的一元二次方程，由是实数得到判别式大于等于0，最后用因式分解解一元二次不等式得到取值范围． 【详解】已知是实数，且， 则关于的一元二次方程有实数根， 所以， 即，因式分解得， 解得或， 则的取值范围是． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，由得，分和非空两类讨论求的取值； （2）由命题为真得，求解中方程的根，结合子集关系求的值 【小问1详解】 解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或. 16. 求下列方程组的解集： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由， 由②知，得， 代入①中，整理得， 令（），则，解得，， 当时，，解得，对应， 当时，，解得，对应， 综上，方程组的解集为； 【小问2详解】 由， 由②知，则， 当，即，代入①中，解得或， 此时对应的分别为和，得到两组解，； 当，即，代入①中， 所以，此时对应的，得到两组解，； 综上，方程组的解集为. 17. 解下列关于x的不等式 （1） （2） 【答案】（1）当时，解集为；当或时，解集为． （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）根据判别式分类，当时，不等式无解； 当或时，不等式的解在两根之间． （2）先因式分解，按、、分类讨论求解集． 【小问1详解】 解：对于方程，判别式， 当，即时，不等式无解； 当，即或时， 方程的两根为， 不等式的解集为， 综上，当时，解集为；当或时，解集为． 【小问2详解】 解：当时，不等式化为，解得； 当时，不等式因式分解得，即． 若，即时，解集为； 若，即时，解集为； 若，即时，解集为． 当时，，不等式因式分解得， 即，解集为或． 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 18. 某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，当年产量为5台时，需另投入成本225万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为40台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是920万元 【解析】 【分析】（1）根据题干函数，由利润的定义，分段给出利润函数的表达式； （2）根据（1）的利润函数，结合二次函数和基本不等式分别求出两段的最大值，进行比较，得出最大利润. 【小问1详解】 由题意，当时，，所以. 当时， 当时， . 所以年利润关于年产量的函数关系式为 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， 当时，； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， . 因为，故当时，年利润最大，最大年利润是920万元. 综上，当年产量为40台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是920万元. 19. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. 【小问3详解】 当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $