精品解析：辽宁沈阳市第二中学2026-2027学年高一上学期10月阶段考试数学试题

沈阳二中2026-2027学年度上学期10月阶段考试 高一（29届）数学试题 说明：1．测试时间：120分钟 总分：150分 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】等价于，即，因此. 2. 已知不等式的解集为，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的解集为，得到是方程的两个根，由根与系数的关系求出，即可得到答案． 【详解】由题意，是方程的两个根， ∴，，解得，， ∴. 故选：B． 3. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ ，，且， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，，满足，等号可取. ∴的最小值为. 4. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为 A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设，是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可； 【详解】设，是的两个实数根， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴或， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键 5. 用反证法证明命题“如果可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ） A. a，b都不能被5整除 B. a，b都能被5整除 C. a，b不都能被5整除 D. a不能被5整除 【答案】A 【解析】 【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案. 【详解】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”. 故选：A. 【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题. 6. 若不等式，，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：用变量替换，再得出解集 详解： 点睛：不等式只能线性运算,． 7. 关于x的方程有唯一解，则m的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式方程转化为一次方程、二次方程的情况分类讨论，求出m即可. 【详解】由有唯一解可知有唯一解， 当时，方程为，有一解，满足题意； 当时，方程为，有一解，满足题意； 当时，由原方程可得有唯一解， 所以，解得，此时方程有一解，满足题意. 综上，m的取值集合为， 故选：D 8. 设集合，若非空集合同时满足：①；②，（其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素）称集合为的一个好子集，则的所有好子集的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据好子集的定义，分类讨论即可求出． 【详解】当时，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为； 当时，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为； 当时，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为， 综上所述：I的所有好子集的个数为8， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 结合Venn图，利用充分条件和必要条件的定义，对选项逐一判断即可. 【详解】如图Venn图所示， 选项A中，若，则；反过来，若，则.故互为充要条件. 选项C中，若，则；反过来，若，则.故互为充要条件. 选项D中，若，则，故；反过来，若，则，故.故互为充要条件. 选项B中，如下Venn图， 若，则，推不出.故错误. 故选：ACD. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A；利用不等式的性质确定选项B；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D. 【详解】命题p的否定是，，故A正确； 不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 当时，，故C错误； 若关于x的方程有一正一负根，则， 所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：AD. 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为或 D. 若为常数，且，则的最小值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令()，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据将用表示，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到，代入所求式，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解，则一元二次不等式恒成立，且，A正确； B选项，令，则、、， ∴不等式可转化为，当时，得，其解集不等于原来的，故B错误； C选项，若，则，且和是一元二次方程的两根,且，， 所以，, 把代入可得， 因为,所以不等式的解集为或，C正确； D选项，因为，所以开口向上且，即， 又，得,把代入得, 令，则， ，当且仅当等号成立， 所以的最小值为，D正确. 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数轴上，，，若线段的中点到的距离小于5，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】数轴上两点、的中点坐标为，由线段的中点到的距离小于5可得： ​， 即，故的取值范围是. 13. 已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【解析】 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 14. 若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解此不等式即可得的取值范围． 【详解】因为正实数满足，即，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 因此的最小值为4， 又恒成立，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，． （1）若，求； （2）若不是空集，且是成立的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）当时，先求出集合及，再求出即可；（2）由是成立的充分条件，可知，再结合不是空集，建立关系即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由，得，又，， 则，所以； 【小问2详解】 因为是成立的充分条件，所以，又集合不是空集，则， 解得，所以，实数的取值范围为． 16. 求下列不等式的解集． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由分式不等式等价关系结合“数轴穿根法”，即可求出不等式解集； （2）根据分式不等式与整式不等式等价关系，求出不等式的解集即可； （3）根据绝对值性质，对分类讨论，去掉绝对值，求解不等式的解集即可. 【小问1详解】 由不等式，因式分解可得， 则， 因为方程的根分别为，，， 所以由“数轴穿根法”可得，不等式的解集为． 【小问2详解】 由，可得，即，等价于， 解得，所以原不等式的解集为； 【小问3详解】 由，当时，不等式显然成立； 当时，则，得，即， 解得，又，所以， 综上，不等式解集为． 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集是，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）结合题意，分和两种情况讨论求解即可； （2）根据题意，分，，，，五种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 不等式． 若即，不等式可化为，恒成立； 若，即，由得解集为， 所以，解得． 综上，，即实数的取值范围为． 【小问2详解】 由 若，则不等式可化为； 若，则不等式可化为； 若，则不等式可化为． 当，即时，不等式的解为或； 当，即时，不等式的解为； 当，即时，不等式的解为或 综上：当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 18. 若方程有两根，，则，可得. （1）若方程有三个根，，，求证：. （2）设，，为给定的互不相等的实数，求解关于，，的方程组, . （3）设，，满足方程组，求． 【答案】（1）证明：原方程改写为：，即， 又原方程为，所以. （2） （3）45 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知得：，，为关于的方程的三个不同的根， ，即， 又，. 【小问3详解】 因为12，15，18是关于的方程的根， 通分得：， 整理得：，又， 所以， 又，. 19. 若关于的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和不小于4，设的根为、，的根为、． （1）将这四个根从小到大排序，并说明理由． （2）求的取值范围． 【答案】（1），理由如下： ∵的根为，且 的根为、且， ∴， ∴，，且这4个根2正2负，互不相等 ∴，即 ∵，∴ 若，则，即，∵，∴，则有，∴，与矛盾； ，，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理得，，，再假设，进而推得与矛盾，故，进一步得; （2）结合（1）得不等式的解集为，再结合区间长度和不小于4求解即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：原不等式 ∵方程的实数根为，且， ∴不等式的解集为 ∴区间长度之和：， ∵这些区间的长度的和不小于4，∴ ，解得或， ∴的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳二中2026-2027学年度上学期10月阶段考试 高一（29届）数学试题 说明：1．测试时间：120分钟 总分：150分 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知不等式的解集为，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为 A. B. C. 或 D. 或 5. 用反证法证明命题“如果可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ） A. a，b都不能被5整除 B. a，b都能被5整除 C. a，b不都能被5整除 D. a不能被5整除 6. 若不等式，，则的取值范围是 A. B. C. D. 7. 关于x的方程有唯一解，则m的取值集合为（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，若非空集合同时满足：①；②，（其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素）称集合为的一个好子集，则的所有好子集的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为或 D. 若为常数，且，则的最小值为8 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数轴上，，，若线段的中点到的距离小于5，则的取值范围是________． 13. 已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 14. 若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，． （1）若，求； （2）若不是空集，且是成立的充分条件，求实数的取值范围． 16. 求下列不等式的解集． （1）； （2）； （3）． 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集是，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 18. 若方程有两根，，则，可得. （1）若方程有三个根，，，求证：. （2）设，，为给定的互不相等的实数，求解关于，，的方程组, . （3）设，，满足方程组，求． 19. 若关于的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和不小于4，设的根为、，的根为、． （1）将这四个根从小到大排序，并说明理由． （2）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $